数理分析方法PPT

1、 数理分析方法11、经济学的研究对象2、经济学与数学2第一讲 基本概念第二讲 经济理论中的最优化（1）第三讲 应用(1)：消费者行为理论第四讲 应用(2)：厂商理论第五讲 经济理论中的最优化（2）（略）第六讲 应用(3)：最优增长理论 （略）3第一章 基本概念一、集合 二、笛卡尔积与空间三、线性变换、特征值与特征向量、二次型四、收敛性、闭集与紧集、连续性五、凸集和凹函数4一、集合 20 世纪的数学革命，是从Cantor（康托） 建立集合论开始的，继而是积分学的革命Lebesgue（勒贝格）积分理论的建立。到了20 世纪30 年代，在集合中引进各种结构，包括代数结构、拓扑结构、测度结构、序结构以

2、及这些基本结构的各种复合，形成了各种各样的抽象空间。研究这些抽象空间的性质及其映射，就构成了十分庞大的现代数学体系。这是继欧氏几何和微积分之后，数学发展史和数学教育发展史上的第三个里程碑。51、集合的基本概念1）定义：集合就是任何种类的对象的集体。集合中的对象称为集合的元素。所有自然数的集合方程x2 - 3x+2=0 的所有根的集合平面上全部点的集合某一经济系统中全体消费者的集合，满足收入约束的所有商品向量的集合，等等。61、集合的基本概念2）标记a S , a属于集合S，a是集合S的元素。a S , a不属于集合S，a不是集合S的元素。71、集合的基本概念3）有限集与无限集当集合中元素的个数

3、是有限的，就称它为有限集合，否则称为无限集合。81、集合的基本概念4）表示方法列举法： 用确定的性质表示集合： 例如，92、子集、集合相等、交与并1）子集若属于A的元素都属于B，则称A是B的子集，也称A包含于B，或称B包含A，记做： A B 或B A 。102、子集、集合相等、交与并2）真子集如果A是B 的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记做A B 。112、子集、集合相等、交与并3）集合相等如果两个集合A、B含有的元素相同，则称集合A与B是相等的，记做A=B，或A B 且B A ，则A=B122、子集、集合相等、交与并4）并所有属于A和属于B的，以及同时属于A和B的元

4、素组成，即：132、子集、集合相等、交与并5）交由所有同时属于A和B的元素组成，即：142、子集、集合相等、交与并6）空集不包含任何元素的集合为空集，记为 。152、子集、集合相等、交与并7）全集 在某个范围内，若所有集合都是某一集合的子集，则该集合称为全集。如果B是全集，A在全集中的补集，就简称为A的补集，记做A或 。162、子集、集合相等、交与并8) 记法的问题：有时A B 称为A,B的积，记为 ； 称为A,B的和，记为A+B .若B是A的子集，则称A B 是B关于A的补集，即 由所有属于A且不属于B的元素组成。172、子集、集合相等、交与并8) 记法的问题：图示：Ac为A关于全集的补集1

5、83、集合的运算性质多个集合的交与并记为：194、分划（或划分）集合A的一个分划是由A的一些非空子集构成的集合，表示为 ，使得这些非空子集Ai 的并等于A，并满足任意两个不同的子集 。分划中每一个非空子集Ai称为分划的块。换言之，一个集合的分划就是把该集合中的元素分为不相交的非空子集。205、有序对将两个对象排成一个固定的次序。用符号(a,b)表示一个有序对，其中第一个元素是a，第二个元素是b。注意，(a,b)和(b,a)是两个不同的有序对。216、笛卡尔积定义：如果A和B是集合，所有第一个坐标是A的一个元素，而第二个坐标是B的一个元素的有序对的集合，就称为A和B的笛卡尔积集，记作A x B，

6、用符号表示为： A B = (a, b) | a A, b B。约定：若A = 或B = ，则A B = 。例：若C = a,b,D = x, y， 则C D = (a, x),(a, y),(b, x),(b, y) DC = (x, a),(x,b),( y, a),( y,b)若F = 1,2则F F = (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)227、集合中元素间的二元关系 1）定义：设A与B是集合，从A到B的关系是 A B 的一个子集，用符号表示为：当且仅当r A B时，从A到B的关系是r。设r是从A到B的一个二元关系，若有序对(a,b)r ，则称元素a 相关于元素b ，记做a

7、(r)b 。237、集合中元素间的二元关系关系的例子常常出现于日常生活的经验之中例如，若P是一个意义明确的人的集合，则“x是y的儿子”，x是y的姐姐”，“x是y的学生”就是确定关系的例子。这就是说，第一句话意味着，所有第一坐标是第二坐标的儿子，这样的人的有序对的集合组成一个PxP的子集。又如，S是联合国成员组成的集合，x 进入联合国不迟于y 或者成立，或者不成立，关系 “进入联合国不迟于”是二元关系。247、集合中元素间的二元关系2）基本的二元关系从集合S到S本身的关系r，称为S上的二元关系。基本的二元关系包括：（1）自反关系：如果x(r)x 对于S中的每一个元素x成立，则称r为自反关系。 换

8、言之，在自反关系中，S中每一个元素都与其自身相关。对于所有的 x S，x(r)x。257、集合中元素间的二元关系（2）传递关系：设r是S上的一个二元关系，若对于(a,b)r 且(b,c)r ，必有(a,c)r，则称r为传递关系。（3）对称关系：设r是S上的一个二元关系，若对于(a,b)r 必有(b,a)r ，则称r为对称关系。267、集合中元素间的二元关系（4）反对称关系：设r是S上的一个二元关系，若对于(a,b)r ，除非a = b ， (b,a)必不属于r，则称r为反对称关系，换言之，对于反对称关系，若(a,b)和(b,a)都属于r，则有a = b 。（5）非对称关系：如果(a,b)r，则

9、有(b,a)r。277、集合中元素间的二元关系3）几种重要的二元关系：序关系、等价关系和函数关系 287、集合中元素间的二元关系（1）拟序关系：S上的二元关系r被称为拟序关系，如果下列性质成立：自反性、传递性。例如：如果r表示“进入联合国不迟于”，那么对于这一关系，自反性和传递性成立；如果r表示“出口小麦至”，那么这一关系是自反的，但不具备传递性。297、集合中元素间的二元关系（2）偏序关系：如果集合S上的一个二元关系具有自反性、反对称性和传递性，则称它为S上的偏序关系。例如，实数集上的关系“”是偏序关系： a b 且 b a , 意味着 a = b。307、集合中元素间的二元关系（3）等价关

10、系：若集合上的一个二元关系是自反的、对称的和传递的，则称它为等价关系。317、集合中元素间的二元关系（4）函数关系327、集合中元素间的二元关系4）一个重要的应用定义在商品向量x=(x1,x2,xn ) 构成的集合X 上的偏好关系 是X 上的一个二元关系，其意义为：x y表示 x 至少与y 一样好。此二元关系通常被假定为拟序关系。337、集合中元素间的二元关系 由导出的X 中的关系：x y 表示：x y且y x 。x y读作“ x 和y 无差异”，通常假定为等价关系。x y 表示：x y但y x不成立。x y读作“ x （严格）优于y ”，通常假定为非对称关系（即如果x(r) y ，则有y(r

11、)x不成立）。34二、笛卡尔积与空间351、笛卡尔积与n 元组1）笛卡尔积：设A和B是两个集合，A和B的笛卡尔积用A B 表示，它是形如（a, b） 的有序对的集合，其中a A, b B 。几何意义：元素（a, b）可以称为点，集合A与B可以称为坐标轴。如x 为横坐标或第一坐标， y 称为纵坐标或第二坐标。于是，一个平面上的点的集合可以看作是笛卡尔积R R，其中R是实数的集合。361、笛卡尔积与n 元组2）n 元组集合族的笛卡尔积： 这个集合的元素称为n 元组（n-tuple），就象有序对（pair）一样，只不过有n个元素。例如：1,2,3,4,5,6,7,8,9的笛卡尔积为： (1,4,7)

12、,(1,4,8),.， 其中元素(1,4,7)称为n元组。n元组中的单个元素称为分量或坐标。372、空间1）向量令R是所有实数的集合，那么实数的一个有序n元组x ，x = (x1 , x2,.,xn) 称为一个向量，数n是x 的维数。Rn 表示所有（有序）实数n元组的集合， Rn = (x1 , x2,.,xn)|xi R, i=1, 2, . . . , nx Rn 的第i 个元素xi称作是x 的第 i 个坐标。当n=1时，x 显然是一个实数，称为数量或标量。38例：二维空间R2 中的向量用两个沿列向顺序排列的元素表示。设392、空间2）向量运算：加法与数乘两个n维向量x 和y 的加法定义为

13、对应坐标相加，即 x+ y = ( x1+y1 , x2+y2 , xn+yn) 显然， x+ y也在Rn 中。换句话说，在上面的加法运算中，Rn是封闭的。给定一个任意的标量a R ，一个向量x Rn与a 的乘积（称作数乘）定义为a 与x 的相应坐标的乘积，即： ax = (ax1 , ax2,.,axn) 显然，x Rn且a R 可推出ax Rn，也就是说，Rn在数乘运算下也是封闭的。40412、空间3）定义线性空间的性质Rn是所有有序实数n元组的集合。在Rn 中给定上述加法和数乘规则，我们可以很容易检验下面8条性质，对Rn中任意元素x, y, z 和标量, R ，都是成立的： L1: x+

14、(y+z)=(x+ y)+z L2: 存在一个称为0 的元素，使得x+0=0+x L3：对每个x ，存在一个元素x，使得x+(x)=0 L4：x+y=y+x L5: (x)=()x L6: 1x=x L7: (x+y)= x+ y L8: (+)x= x+ x注意：0既可表示标量，也可是0的n元组，即零向量或原点。422、空间4）向量空间给定任一集合X（不必是Rn ），如果定义了加法和数乘，且X在这两种运算下是封闭的，并满足性质L1到L8，则X称作一个（实）线性空间，或（实）向量空间。X的一个元素称为一个向量。433、线性相关、Rn 子空间与基1）子空间定义：Rn 中的一个子空间是Rn中的集合

15、H，具有以下三个性质： a.零向量属于H b.对H 中任意的向量u和v，u+v属于H c.对H中任意向量u和数c，cu属于H.也就是说，子空间对加法和数乘运算是封闭的，并且子空间经过原点。44下图是一个三维空间中通过两个向量张成一个平面子空间的例子。 H = Span v1 , v2 45 注意：Rn是它本身的子空间，因为三个性质都满足。另一个特殊的例子是仅含零向量的集合（即原点），它也满足子空间的条件，称为零子空间。另外，上图中H是R3的一个子空间，它是一个平面，尽管H看起来是R2，但其向量有三个分量。463、线性相关、Rn 子空间与基2）线性无关我们希望尽可能“有效率地”生成一个向量空间V

16、 或一个子空间H ，关键的思想是线性无关。473、线性相关、Rn 子空间与基2）线性无关（1）线性组合：令X是任一线性空间（可以不是Rn ），因此加法和数乘定义在X中，并且X在这些运算下是封闭的。给定X中的k 个向量x1 , x2, . . . , xk ，由 定义的向量z 称为这k 个向量的一个线性组合。483、线性相关、Rn 子空间与基2）线性无关（2）线性无关：线性空间中的k 个向量x1, x2, , xk被称为是线性无关的，如果由 可推出对于每个j，有aj=0 ；相反，如果 aj 不全为0，那么称 k 个向量线性相关。49从方程组的角度看，下面的齐次方程： 肯定有零解，问题在于是否只有

17、零解。在只有零解的情况下，方程组中的三个向量线性无关。50确定下列向量组是否线性无关：解答：a：因v2 是v1 的倍数，即v2 = 2v1 ，因此 2v1 + v2=0 ，表明v1 , v2 线性相关。b：v2和v1中任意一个不是另一个的倍数，设c v1 + d v2 =0 ，若c 0，我们可以用v2表示v1 ，即v1 = (d / c) v2 ，但因为两者没有倍数关系，这是不成立的，因此，只有c = 0，类似地必然d = 0。于是，两向量线性无关。在两个向量的情况下，我们可以通过观察两个向量之间是否存在倍数关系来判断线性相关或无关。51523、线性相关、Rn 子空间与基3）基（1）定义：Rn

18、 的子空间H的一组基是H中的一个线性无关集，它生成H。在线性空间理论中，基是一个非常重要的概念。因为子空间一般含有无穷多个向量，子空间中的问题最后能够通过研究生成这个子空间的一个小的有限集合来解决，这个集合越小越好，可以证明，最小可能的生成集合必是线性无关的。533、线性相关、Rn 子空间与基543、线性相关、Rn 子空间与基553、线性相关、Rn 子空间与基563、线性相关、Rn 子空间与基573、线性相关、Rn 子空间与基3）基（2）子空间的维数令X是一个线性空间，若X中的一个线性无关集S具有性质：X中的每一个向量x 都可以表示为S中向量的线性组合，则称S为X的一个基。一个基S可由有限或无

19、限多个元素组成。如果它是有限的，X称作是有限维的；否则X称作是无限维的。对于一个给定的线性空间X，可以有很多基。但是可以证明，一个给定线性空间的任何两个基都可以通过一一对应联系起来。因此，一个有限维空间的任何一个基的元素数目和该空间其他基的数目都是相等的。于是我们可以定义一个有限维空间的基的元素数目为这个空间的维数。58 R3的子空间可用维数分类：0维子空间：只有零子空间是0维子空间；1维子空间：任一由单一非零向量生成的子空间，这样的子空间是经过原点的直线；2维子空间：任一个由两个线性无关向量生产的子空间，这一子空间是通过原点的平面；3维子空间：只有R3本身是3维子空间，R3中任意3个线性无关

20、向量生成整个R3。59604、向量内积和正交性前面对各基向量的要求只是线性无关，实际工程中往往还要求他们之间互相正交，并且长度为1，从而引出内积和单位向量的概念。二维和三维空间中的长度、距离和垂直等几何概念已经为人们所熟知，这里则需要把这些概念引入到Rn空间。在Rn中，这三个概念建立在两个向量的内积基础之上。614、向量内积和正交性1）内积与向量的长度（1）内积的定义在三维空间中，u和v两个向量的内积定义为： u, v = u1v1 + u2v2 + u3v3 。n 维情况可以写成：注意，内积是一个标量。我们把uTv称为u和v的内积，记做u,v或u v或。624、向量内积和正交性1）内积与向量

21、的长度（2）内积的性质定理：设u, v 和w 是Rn空间中的向量，c 是一个数，那么634、向量内积和正交性1）内积与向量的长度（3）向量的长度向量 v 与自身求内积： 得到的是其各分量的平方和，其平方根就等于向量的长度（或模、或范数norm）:64654、向量内积和正交性2）Rn空间中的距离Rn 空间中的距离可用于描述一个向量如何逼近另一个向量。定义：Rn 中向量u和v的距离,记做dist(u,v)，表示向量u-v的长度，即： dist(u,v) =u v6667684、向量内积和正交性3)正交向量正交向量是把二维空间中的直线垂直概念扩展到Rn 空间。当向量u和v看作几何点时，通过这些点和原

22、点的两条直线相互垂直，就称Rn 空间中两个向量是正交的。694、向量内积和正交性如图所示，两条直线几何上垂直，当且仅当从u到v的距离与从u到-v的距离相等。也就是要求他们距离的平方要相等。可以证明，如果两个向量u和v的内积为0，那么两个向量是（相互）正交的。704、向量内积和正交性4）超平面Hyperplane设一个n维常向量a = (a1, a2 ,., a n) ，x是一个n维向量，方程a x = 0左边是一个内积，该方程的含义是：满足该方程的某个向量x 是任意与给定向量a 相垂直的向量。方程的解，在2维的情况下，与一个给定的向量垂直的向量构成一条直线；在3维的情况下，是一个平面；在n维的

23、情况下，是我们所称的超平面。因此，超平面是由Rn中与给定的向量a内积等于0的点构成的集合。714、向量内积和正交性724、向量内积和正交性735、抽象空间1）线性空间，或向量空间本讲第二节“笛卡尔积与空间”对空间概念的介绍，是针对线性空间或向量空间的。本节首先把这一概念重述一遍，然后在此基础上把空间的概念扩展到其他类型的抽象空间。745、抽象空间1）线性空间，或向量空间定义：一个（R上的）向量空间（或线性空间）是一元素为向量的集合V，其中两种运算：“加法”（V V V ）和“数量乘法”（R V V ），对于所有V中的元素x, y, z 和R中的任意实数和，满足： L1: x+(y+z)=(x+

24、 y)+z L2: 存在一个称为0 的元素，使得x+0=0+x L3：对每个x ，存在一个元素x，使得x+(x)=0 L4：x+y=y+x L5: (x)=()x L6: 1x=x L7: (x+y)= x+ y L8: (+)x= x+ x75与前面定义的不同之处： 1、我们只讨论R 上的线性空间。因此，此定义中的V实际上就是Rn空间。 2、上述对加法和数乘的记法为：“加法”（V V V ）和“数量乘法”（R V V ），其中的乘号表示某种运算，前者是V 中的两个向量的运算结果为V 中的一个向量，后者是一个实数与V 中一个向量的运算结果为V 中的一个向量，这也就是线性空间中的加法和数乘运算的

25、结果仍然在线性空间中，即在线性空间中封闭。765、抽象空间2）内积空间从线性运算得到线性空间，我们还可以从其他的运算得到不同的空间。根据上面对内积及其运算性质的界定，我们进一步定义内积空间。775、抽象空间2）内积空间 定义：（R上的）向量空间V中的内积是一个函数，对每一对属于V的向量u和v，存在一个实数，对于任意属于V的w和所有数c，满足以下公理： （1）= （2) = + （3) = c （4) 0，且= 0的充分必要条件是u = 0。 一个赋予上面内积的向量空间称为内积空间。785、抽象空间3）度量空间度量是距离的一种测量，一个度量空间只是一个集合它具备由集合内的点之间定义的距离的概念。

26、有了度量空间，我们便能精确地知道各点之间彼此“相接近”的含义是什么。79例如： 实直线R是一个度量空间，两点x，y的距离d(x, y) =| x y |为一实数。 一个R2平面也是一个度量空间，平面上的两点 之间的距离： 也是一个实数。 据此可以类推到Rn。80 =因此,有: 81825、抽象空间3）度量空间定义：度量空间是一个集合 M，具有距离函数 d :M M R，使得对于所有M 中的元素x, y, z，满足以下公理： （a）d(x, y) 0，并且d(x, y) = 0 x = y； （b）d(x, y) = d(y, x)； （c）d(x, y) d(x, z) + d(z, y)。

27、距离函数 d 称为M 上的一个度量。83三、线性变换、特征值与特征向量、二次型841、线性变换1）定义：变换（或映射）T 称为线性的，若（1）对T的定义域中的一切u，v，有 T(u + v) = T(u) + T(v)（2）对一切u和标量c，T(cu) = cT(u)85如下 的矩阵变换就属于线性变换： 由此，线性变换推广了函数的概念，通常的函数是把一个实数变为另一个实数的规则，而由 的变换则是由一个向量集到另一个向量集的函数。 由Rn到Rm的一个变换（或称函数、映射）T是一个规则，它把Rn中的每个向量x对应于Rm中的一个向量T(x)。86871、线性变换2）若干变换的几何说明：882）剪切8

28、9902、特征值与特征向量尽管变换 有可能使向量往各个方向移动，但通常会有某些特殊向量，A对这些向量的作用很简单。91例如： 可以看出Av正好是2v，A仅仅拉伸了v，而我们正是要研究形如Ax = 2x，或Ax = 4x的方程，并且去寻找那些被变换成自身一个数量倍的向量。92定义：A为n n矩阵，x为非零向量，若存在数 ，使得Ax = x成立，则称 为A的特征值， x 称为对应于 的特征向量。求解特征值与特征向量可以通过求解方程： (A I ) = 0 而得到。933、二次型1）二次型含义94写成矩阵形式：952）二次型的分类当 A是一个n n矩阵时，二次型Q(x) = x Ax是一个定义域为R

29、n的实值函数。三维空间中，对于二次型Q(x)的定义域中的每一个点(x1,x2) ，可画出点(x1,x2,z )，其中z = Q(x)。9697定义：一个二次型Q(x)，以及相应的对称矩阵A是：（1）正定的，如果对于所有x 0，有Q(x) 0；（2）负定的，如果对于所有x 0，有Q(x) 0之间的t，如果z = tx1 + (1 t)x2，我们称z是x1与x2的凸组合。由于t介于0与1之间，凸组合z在一定意义上也就是“介于”点x1与x2之间的一个点。128Minkowski 分离定理：超平面x | a x = A，a x A a y对于所有x S和所有y T 成立，称为分离。1292、凹函数和凸

30、函数1）映射与实值函数 定义：给定集合X 和Y ，一个从X 到Y 的映射是使X 中的每一个元素，对应于Y中一个非空子集的规则。如果Y 中的这些非空子集都仅由一个元素组成，则称这个映射是单值的，并记为：f : X Y 。否则称为多值的，并记为F : X Y 。简单地说，当X 中的每个点只与Y 中的一个点相对应，我们称其为单值函数，简称为函数。当Y R时，函数称为实值函数。也就是说，如果定义域是Rn的子集，那么，一个实值函数将会把Rn中的向量映射到R上的点。1302、凹函数和凸函数2）水平集level sets（1）水平集的定义:图示Rn到R的函数的另外一种方法是将函数的图像投影到定义域空间上。因

31、为三维以上的空间是难以想象的。这一方法只适用于图像是R3中曲面的情况，只能用于R2到R的函数（下面正式表述中允许有更高维的定义域）。函数f : Rn R的水平集是f 定义域中的一个子集，该子集中的每一点都被变换为值域中的同一个点。换句话说，水平集是R 中的点的f 映射的前象点集。我们还可以用另外一种函数图示方式来描述R2到R的函数的图像，它是R3中的一个曲面。假设有一个平行于平面( x1,x2 ) 并在其上方的平面，高度为x3 = a ，该平面将横切那一曲面，曲面和平面的交点构成R3中的一个曲线。令这一曲线垂直落到平面(x1 , x2) 上，就是该函数对应于a点的水平集。这正是水平集这一名称的

32、由来。131 定义（水平集）：当且仅当L( y0 ) = x | x D, f (x) = y0时，这里y0 R为实数，L( y0 )是实值函数f : D R的水平集。132（2）上优集与下劣集我们首先定义相对于某一点的水平集：如果l(x0 ) = x | x D, f (x) = f (x0 )，那么，l(x0 )则是一个相对于x0的水平集。这一概念与水平集的区别可以理解为：水平集L( y0 ) = x | x D, f (x) = y0是具有同样高度为y0 的x 点的集合， 而相对于某一点的水平集l(x0 ) = x | x D, f (x) = f (x0 )则是与x0点的高度f (x0

33、 )具有相同高度的x点的集合。133从右图我们可以看出不同点间的相对高度，但这要取决于函数f (x)是递增还是递减的。如果f (x)严格递增，那么f (x1 )与f (x3 )大于y0，而f (x2 )与f (x4 )则小于y0；如果f (x)严格递减，则情况正好相反。134定义：上优集与下劣集 S( y0 ) = x | x D, f (x) y0被称为相对于水平y0的上优集或上水平集、上等高线集； I ( y0 ) = x | x D, f (x) y0被称为相对于水平y0的下劣集或下水平集、下等高线集； S( y0 ) = x | x D, f (x) y0被称为相对于水平y0的严格上优

34、集；I ( y0 ) = x | x D, f (x) f (x) + (1 ) f (x0 )1411426）拟凹函数 凹性无论严格与否，都是对函数所提出的一种比较强的限制，而在理论工作中，我们更倾向于采用一种相对较弱的性质，也就是只强调那些必要的性质。这里，在凹函数基础上，进一步提出了拟凹函数。143定义1：（利用水平集概念） f (x)在凸集S Rn上是拟凹的，如果（上）水平集合：P = x S | f (x) a 对于每一实数a 是凸的。144 右图为一个典型的二元拟凹函数。145定义2：f (x)是在Rn中开凸集S 上的拟凹函数，当且仅当对于所有属于S的x1与x2，以及所有t 0,1

35、，有： f (xt ) = f (tx1 + (1 t)x2 ) min f (x1 ), f (x2 )说明：（1）含义：如果我们在定义域内任取两点，并形成此两点的凸组合，那么函数值必定不会小于在这两点所取的最低值。（2）拟凹函数的定义式为 f (xt ) = f (tx1 + (1 t)x2 ) min f (x1 ), f (x2 )，而凹函数的定义式为 f (x + (1 )x0 ) f (x) + (1 ) f (x0 )，可以看出，拟凹性相对于凹性是一个较弱的性质。146定义3：（严格拟凹函数） f (x)是在Rn中开凸集S 上的严格拟凹函数，当且仅当 f (x) f (x0 )

36、f (x + (1 )x0 ) f (x0 )对于所有x x0 S和所有 0,1成立。147定义4：定义在Rn中凸集S上的实值函数f (x)称为拟凸函数，如果- f (x)是拟凹函数。实值函数f (x)称为严格拟凸函数，如果- f (x)是严格拟凹函数。148几点结论：（1）f (x)是凹的 f (x)是拟凹的；（2）f (x)是凸的 f (x)是拟凸的；（3）任意递增或递减的一元函数是拟凹的和拟凸的；（4）一组拟凹函数的和不一定是拟凹的；（5）一组拟凸函数的和不一定是拟凸的；（6）如果f (x)是拟凹（拟凸）的，且F 是递增的，则F( f (x)是拟凹（拟凸）的；（7）如果f (x)是拟凹（

37、拟凸）的，且F 是递减的，则F( f (x)是拟凸（拟凹）的； 149作为上面第（6）条的推广： 如果f 1,., fm 是定义在Rn中的凸集S上的凹函数，g对于每一x S定义为 g(x) = F (f 1(x ),., f m(x ) 且F(u1,.,um ) 对每一变量是拟凹和递增的，则g是拟凹的。150第二讲 经济理论中的最优化（1）一、导数与微分二、无约束最优化三、约束最优化四、比较静态分析151一、导数与微分1521、单变量函数153154定义：令X 是R 中的一个开集，令x0 是X 中的一点，函数f : X R 称作在x0可微，如果存在一个实数a ，使得 这里h 0 且x0 + h

38、 X ，我们称a 为f 在x0 点的导 数，记做f (x0 ) 。如果f 对X 中的每个x 都可导，那么f 称作X 中的一个可微函数。由于在上面的定义中，极限依赖于x0 ，当x0 在X 中变化时， f (x0 ) 的值也在R 中变化，因此f是x0的函数，记为f (x0 )。155156微分定义： 如果y = f (x) ，且dx 是任一数，dy = f (x)dx 是y 的微分。几何图示：157158进一步推广：1593）利用导数判断凹性：a）设函数f 在区间D上二次连续可微，则f 在区间D 为凹函数（严格凹函数）的充分必要条件是f 在区间内单调下降（严格单调下降）；b）设函数f 在区间D上二

39、次连续可微，则f 在区间D为凹函数的充分必要条件是：二阶导数小于等于0，即f (x) 0；如果f (x) 0，则f 是严格凹的；160c）形如右图的凹函数，两条切线l0与l1完全处于函数f 的上方。因为一条斜率为 f (x0) 的直线，经过点(x0, f (x0 ) ，该直线方程为： l0(x )= f (x0) (x- x0 )+ f (x0 )由于l0位于f 之上，也就是对于所有x ， l0(x ) f (x) ，也就是对于一切x，有： f (x) f (x0) (x- x0 )+ f (x0 )，以此对凹性进行描述。161我们把这些判断标准归纳为关于凹性与一阶和二阶导数的定理：设D是一个

40、定义域区间，在此区间上f (x)是二次连续可微的，如下a)至c)的阐述是等价的： a） f (x)是凹的； b） f (x) 0，对于x D； c）对于一切x0 D：f (x) f (x0) (x- x0 )+ f (x0 )，对于x D； 此外，d）如果f (x) f (x)，我们称函数在点x*处获得唯一局部极大值。如果对于点x*的定义域内的所有x x*，有f (x* ) f (x)，我们称函数在点x*处获得全局最大值。1841852）多变量实值函数的极值定义：设D Rn，并且令f : D R是n个变量的二次连续可微的实值函数。如果沿任意方向偏离x*的微小移动不会引致函数值增加，那么函数在点

41、x*处获得了局部极大值。在Rn中，一些以x*为中心，以 为半径的球B (x* ) 包含了我们所选择的所有越来越接近x*的点，并且，对于任意的 0，使对于一切x B (x* ) ，将有f (x* ) f (x)，那么函数在x*处获得一个局部极大值。1861872、单变量函数局部内点最优化 我们知道：如果函数f (x)在点x0处有极值，且f (x0 )存在，则f (x0 )0。也就是说，如果函数在某点处有极值，且一阶导数存在（有时通过“二次连续可微”来定义；另外，一阶导数不存在的点也可能是极值点，也可能不是），那么它的一阶导数必为0。我们一阶导数为0的点称为驻点。驻点给出了单变量函数局部内点最优化

42、的一阶必要条件。1881893、多变量极值的一阶和二阶条件如何将单变量的情形扩展到多变量的情形，我们需要记住的是：对于各种向量x与z，怎样才能充分利用函数g(t) = f (x + tz)，将有关多变量函数的问题简化成关于单变量函数的问题。在这样一种联系的基础上，如果多变量函数在x*处最大化，那么对于任何向量z，单变量函数g(t) = f (x* + tz)将会在点t = 0处被最大化，因此，可以在t = 0处把单变量函数的一阶与二阶必要条件应用于g 。这时对函数f 而言，我们所要考察的是它在x*处关于函数f 的梯度和海赛矩阵的条件约束。1901）一阶条件（必要条件）对应于单变量函数最优化的一

43、阶条件在最优点处导数为 0，多变量函数在最优点处的梯度为0。它的含义是：通过让其中的任何一个变量xi 增加或减少，同时使其他所有变量保持不变，将无法增加f 的值。实际上，只要梯度向量为0，则所有方向导数都为0，因为方向导数是梯度的线性组合。1911922）二阶条件一阶条件是一个必要条件，如果某点为极值点，那么在一点上函数的梯度为必为0。但从一阶必要条件我们并不能知道该点处函数是极大值还是极小值。为此，同单变量函数一样，我们需要二阶必要条件。从直观上来看，对于f (x* ) = 0的点x*，如果函数在该点的一个邻域里，函数是“局部凹的”，那么该点是一个极大点；如果是“局部凸的”，则是一个极小点。

44、因为函数的曲率又依赖于海赛矩阵的正负定性质，从直观上说，如果海赛矩阵H(x)是负半定，显然函数在x 附近是局部凹的；如果是正半定的，则是局部凸的。193194说明：二阶必要条件中，强调了在驻点上，如果获得极大值，则函数是负半定的，也就是凹函数；如果获得极小值，则函数是正半定的，也就是凸函数；而在二阶充分条件中，则强调了在驻点上，如果函数是严格凹函数，则获得极大值，如果是严格凸函数则获得极小值。二阶充分条件同二阶必要条件相比，显得更为严格，要求所讨论的点如果是一个驻点，并且要求在其严格形式上曲率条件成立，也就是H(x* )负定或正定，那么，在一些以x*为中心的球的周围，函数是严格凹的，或凸的。两

45、者的区别表明，如果函数在某点是负半定，而非负定的，我们仍不能判断该点是否是局部最大值点。195 定理（海赛矩阵是负定与正定的充分条件）：设f (x)是二次连续可微的，并设Di(x) 是海赛矩阵H(x)的第i阶顺序主子式： 1）如果(1)i Di(x) 0 ，i = 1,.,n，那么H(x)是负定的； 2）如果Di (x) 0 ，i = 1,.,n，那么H(x)是正定的。也就是说，在定义域内，对所有x 条件1 成立，那么f 是严格凹的，如果条件2 成立，那么f 是严格凸的。这也就是说，如果海赛矩阵的顺序主子式总在改变符号，并由负号开始，那么函数是严格凹的，如果海赛矩阵的顺序主子式全是正号，那么函

46、数将是严格凸的。196（3）全局最优化进一步，对于凹函数，如果存在一个局部极大值，那么该点也必然是全局最大值；同时，如果是严格凹函数，那么这一全局最大值是唯一的。极小值的情况与之类似。需要注意的是，局部内点最大值的二阶必要条件是该点处海赛矩阵是凹的，二阶充分条件则是该点处海赛矩阵是严格凹的，而这里凹函数对应全局最大值，而严格凹函数对应唯一全局最大值，其中的凹性是针对所研究的原函数而言的。197定理：（无约束）局部与全局最优化 设f 是D上一个二次连续可微的实值凹函数，这里，点x*是D的一个内点，那么，如下三个命题等价： a）f (x* ) = 0； b）在x*处f 获得一个局部极大值； c）在

47、x*处f 获得一个全局极大值。198199三、约束最优化2001、等式约束与拉格朗日方法201202拉格朗日方法则是一种解决这类困难问题的有效方法。实际上，它也无非是一种把等式约束最优化问题转换为无约束优化问题，从而使问题得以解决的一种方法。对于上面的原问题，构造一个新的函数拉格朗日函数，并转换为求该无约束函数的最优：2032、拉格朗日方法的有效性现在我们要就拉格朗日方法解决等式约束最优化问题的有效性进行说明，也就是说：对拉格朗日函数求最优化所获得的结果，即一阶条件所得到的驻点(x1*, x2* , * )对于一切满足约束条件的d x1 与d x2 ,d(x1*, x2*)=0204具体说明如

48、下：205我们所需要证明的是：对于所有dx1 、dx2 与d ，dL = 0蕴含着，或可推导出，对于所允许的 dx1 、dx2，df = 0，也就是证明：拉格朗日函数L的一阶条件也优化了受g(x)约束的f (x)，或者说，在驻点，目标函数f (x)的全微分等于0。206我们的说明是从全微分公式（2.4）开始，对它逐步简化的过程，分为以下4个步骤：2072083、基于图形的说明(Dixit)2092102112122132142154、多个变量216结合m个约束条件，得到的方程数正好等于未知数的个数，从而获得方程的解x,。2172185、二阶条件1）加边海赛矩阵21922022122222322

49、46、非负约束2252262277、库恩塔克条件228229230231232四、比较静态分析2331、比较静态分析拉格朗日方法把约束的最优化问题转换为无约束问题，但是对于拉格朗日乘子 本身具有怎样的经济含义，我们并未给出说明，而这正是这里所要解决的问题。实际上，我们在约束条件最优化问题中，有多个参数，如约束G(x) = c下最大化F(x)问题中的参数c，以及其他在函数F和G 中的参数，如价格水平等。我们往往想知道的是，当这些参数值改变的时候，将对最优问题的结果产生什么样的影响。例如，在消费者理论中，我们通过比较不同价格和收入带来预算线的变动，并进一步影响到最优选择，由此讨论价格变动的收入效应

50、和替代效应。这种比较最优解如何随着参数的变动而变动的一般方法被称为比较静态分析。拉格朗日乘子的重要性在于，它为一个非常重要的比较静态问题提供了答案。2342、影子价格1）拉格朗日乘子的含义2352）推广到用矩阵表示的多个选择变量和多个约束2363）拉格朗日乘子的解释237238更为简洁的一个例子是：考虑两种资源，资源1 为劳动，资源2 为土地，在这两种资源约束下， 1和2分别表示各自的乘子。现在假定增加劳动投入dc1，相应要减少土地使用 dc2 。在这一交易中，如果社会福利净收益 1 dc1 2dc2 是正的，就能得到社会福利的增加。因此，计划者最多愿意放弃的土地为(1 /2 )dc1。同时，

51、把比例( 1/ 2) 称为以土地单位来衡量的每单位劳动需求价格。239 3、值函数与包络定理比较静态分析中，得出拉格朗日乘子 = dv / dc = v(c)，即目标函数最大值与约束等式右边参数两者变化的比率。实际上，目标函数和约束等式还包括其他参数，而目标函数所能达到的最大值也依赖于所有这些参数。本部分正是对这种依赖关系的更为一般的扩展。2401）目标函数中的参数：参数只影响目标函数的情形问题1：生产者选择一组投入要素的组合，以最小成本生产给定的产量。目标函数是成本函数，这时投入价格成为影响目标函数的参数，但约束函数，即应该生产的产量，只涉及生产函数，而不涉及价格。问题2：一国选择生产方式，

52、使用世界价格衡量的全国产出最大化。这时目标函数是产出，受价格参数的影响。241242243244245246247 2）影响所有函数的参数：G和F都含有参数248249 3）值函数与包络定理250251252第三讲 应用(1)：消费者行为理论一、基本概念二、从偏好关系到效用函数三、消费者问题四、间接效用函数五、支出函数六、间接效用函数与支出函数的关系七、消费者需求的性质八、可积分性九、反需求函数253一、基本概念消费者选择模型主要由四个部分构成，即消费集、可行集、偏好关系与行为假定。2541、消费集消费集X 代表一切备择物或整个消费计划的集合，它们是消费者所能够设想到的集合，而不管其中一些它可

53、能是无法得到的。因此，我们可以看到消费者即使对于他们在其能力范围内所无法得到的消费选择仍然可以有一个优劣的评判，我们正是探讨消费集之上的偏好关系。消费集有时称为选择集。255如果令x i R代表第种商品的数量，假定其有意义时为非负，则令x=(x1,xn )为一个向量，它包含n种不同数量的商品，并称 x 为消费束或消费计划。显然，一个消费束x X可由一个点x Rn+表示。也就是将消费集视为整个非负象限。因此，消费集有如下性质：消费集的最低条件：1） X Rn+ ; 2）X 是闭的; 3）X 是凸的; 4）0 X 。2562、可行集可行集不仅是可想象到的，也是在现实条件下消费者可以获得的消费备择物

54、。因此，可行集B 代表一切可选择的消费计划。因此，可以想象可行集B 是消费集X 的子集，即B X 。2573、偏好关系偏好关系就是消费者对想要的各种消费束的排序。2584、行为假设行为假设确保消费者作出选择的指导原则。一般假定消费者在其可获得的备择物中，依照其个人偏好，作出最受偏好的选择。259二、从偏好关系到效用函数2601、偏好关系消费者偏好是以公理化为特征的。消费者选择的公理旨在为消费者行为的基本方面及其对选择对象的态度给予正式的表达。通过公理化体系表达了消费者能够选择，并且这些选择以特定方式保持一致性。261我们正式用定义在消费集X 上的二元关系 代表消费者偏好。如果x1 x2，我们称

55、对于这个消费者“x1 与 x2至少一样好”。如下公理提出了二元比较必须遵循的基本标准：公理1（完备性）：对于属于X 的任意两个选择x1 与 x2 ，要么x1 x2 ，要么x2 x1 。公理2（传递性）：对于属于X 的任意三个选择x1 、x2 与 x3，如果x1 x2 且x2 x3 ，则x1 x3 。262完备性公理表明消费者具有辨别能力，并能够对任何两个消费计划作出比较。传递性公理表明消费者的选择具有一致性，可以将成对的比较按一种一致性的方式联系起来，并排斥了循环偏好的出现。我们把消费集X上满足公理1 与公理2 的二元关系 称为一种偏好关系。偏好关系使消费者建立一种排序，并反映那些消费者的偏好

56、。满足上面两个公理，将使消费者能够完整地对消费集X 中的任何有限的要素排序（从最好到最坏，包括有些同样好）。如果偏好关系 满足以上两个公理，我们就称偏好关系 是理性的。263264265公理1 和公理2 告诉我们，相对于x0 ，消费者必须把X 中的每一点放到三种相互排斥的类型中去：每个其他点或劣于x0 ，或与x0无差异，或比x0更受偏爱。因此，对于任何消费束，三个集合 (x0 )、 (x0 ) 与 (x0 )，划分了消费集。266267268269270局部非饱和性指的是消费者无论在一个多么小的选择区域里，都可以作出选择，但并没有给出具体偏好关系的信息。一般来说，人们总认为“多比少好”，但局部

57、非饱和性并没有作出类似这样的限定，也就是在没有更加限制性的条件下，非饱和性并不排除受偏好的备择物可能涉及较少的商品，也意味着并没有赋予消费者更多的每件东西就必然使消费者得到改善。2712722732742752、效用函数把偏好关系转换为效用函数，使我们便于利用微积分方法进行分析。效用函数的定义如下：定义：代表偏好关系 的效用函数 如果对于所有x0 , x1 Rn+ ， u(x0 ) u(x1 ) x0 x1, 那么实值函数u : Rn+ R被称为代表偏好关系的一个效用函数。276因此，如果一个效用函数分派一个较大的数给所偏爱的消费束，那么该函数则代表了一个消费者的偏好关系。因此，在偏好关系与效

58、用函数之间能否具有这种联系，也就是能否保证偏好关系能由一个连续的实值函数来代表的问题。在数学上，这一问题就是代表偏好关系的一个连续效用函数的存在性问题。可以证明, 任何一个具备完备性、传递性与连续性的二元关系才能被用一个连续实值函数来表达，如Debreu在其1983 年文献中所给出的证明。但通常教科书中的有关效用函数存在性的证明，为简化分析的需要，往往附加严格单调性的假定，但不要求任何凸性。277定理：代表偏好关系的实值函数的存在性如果二元关系 是完备的、可传递的、连续的及严格单调的，那么，必存在一个连续的实值函数u : Rn+ R ，它一定代表 。 （证明略）278以上定理把用基本的集合论所

59、表示的偏好关系转换为用一个连续效用函数来对偏好关系加以表述。但效用函数不是唯一的，如果函数u 代表一个消费者偏好,那么u + 5和u 3同样是对该消费者偏好的表述。对这一性质，我们有：定理：效用函数对正单调变化的不变性令 是Rn+上的一个偏好关系，并设u(x)是一个代表此偏好关系的效用函数。对于每个x，当且仅当v(x) = f (u(x)，这里f : R R ，在由u所确定的值集上是严格递增的，那么v(x)也代表偏好关系。（证明略）279效用函数的序数性实际上就是指效用函数具有单调递增变换的性质。进一步关于偏好性质与效用函数间的关系如下：定理：偏好性质与效用函数令 是由u : Rn+ R表示，

60、那么：1）当且仅当 是严格单调的，u(x)是严格递增的；2）当且仅当 是凸的，u(x)是拟凹的；3）当且仅当 是严格凸的，u(x)是严格拟凹的。因此，效用函数作为实值函数一般具有连续性、严格递增性和严格拟凹性。280281282三、消费者问题 现在我们所要研究的消费者将具有如下一些要素：1）他拥有一个消费集X = Rn+ ，包含消费者所可想象到的消费备择物；2）他对备择物的倾向由定义在Rn+上的偏好关系 描述；3）消费者受限定而实际可获得的备择物构成一个可行集B Rn+ ；4）消费者按偏好关系选择最受偏爱的可行备择物，即：x* B，使得对于所有x B， x* x.在将偏好关系转换为效用函数后，