电路在正弦激励下非正弦稳态的响应

1、电路在正弦激励下非正弦稳态的响应收稿日期： 修回日期： 基金项目：教育部高等学校仪器类专业新工科建设立项项目（2018C051）。第一作者：田社平（1967 ），男，博士，副教授，主要从事电路理论和动态测试技术等的教学和科研工作。E-mail: HYPERLINK mailto: 。田社平1，孙盾2，张峰1(1上海交通大学电子信息与电气工程学院 上海 200240；2浙江大学电气工程学院 杭州 310027)摘要：基于作者的教学实践，讨论了电路在正弦激励下产生非正弦稳态的响应的各种情况。零状态动态电路存在正弦稳态响应的充要条件为，响应的象函数Y(s)存在且仅存在一对共轭虚极点，而Y(s)的其它

2、极点均位于复平面的开左半平面上。通过实例说明了在正弦激励下产生非正弦稳态的响应的情形。电路本文的讨论对丰富正弦稳态电路分析的教学内容，加深学生对相关知识的理解，具有良好的助益。关键词：正弦激励；非正弦稳态响应；电路中图分类号： TM13 文献标识码 ANon-sinusoidal Steady-state Response of Circuit with Sinusoidal ExcitationTIAN She-ping1, SUN Dun2, ZHANG Feng1(1School of Electronic, Information and Electrical Engineering,

3、 Shanghai Jiao Tong Univ., Shanghai 200240, China; 2College of Electrical and Electronic Eng，Zhejiang Univ.，Hangzhou 310027,China)Abstract: Based on the teaching practice, various situations of non-sinusoidal steady-state response of circuit with sinusoidal excitation are discussed. The necessary an

4、d sufficient condition for the existence of sinusoidal steady-state response in a zero-state dynamic circuit is that the Laplace transform of the response which is Y (s) exists and has only one pair of conjugate virtual poles, while the other poles of Y (s) lie on the left open plane of the complex

5、plane. Several examples are given to illustrate the non-sinusoidal steady-state response with sinusoidal excitation. The discussion is helpful to enrich the teaching content of sinusoidal steady-state circuit analysis and deepen students understanding of relevant knowledge.Key words: sinusoidal exci

6、tation; non-sinusoidal steady-state response; circuit处于正弦稳态的电路称为正弦稳态电路。一般而言，线性非时变电路在正弦激励下，其响应（电压、电流）都是与激励同频率的正弦量。其理论依据是正弦稳态电路的主定理1, 2：任意个角频率相同的正弦量以及任意个这种正弦量的任意阶导数的代数和，仍为一个同频率的正弦量。尽管如此，对一个动态电路，在正弦激励下，其响应就一定会进入正弦稳态吗？响应可以不是正弦稳态的吗？这是笔者在教学中碰到的问题。本文结合笔者的教学实践，试图对这一问题进行讨论，以就教于大家。理论分析对某一单一激励的零状态线性非时变电路，假设其激励

7、为 (1)在该激励下，电路的某一电压/电流响应为y(t)。由该电路的s域模型，可以得到对应的网络函数H(s)，且有(2)由式(2)可知，电路响应的象函数（对应电路的时域响应）Y(s)完全由H(s)、X(s)决定。具体而言，H(s)、X(s)的零点、极点共同决定了电路的响应。显然，X(s)包含一对共轭虚极点p1,2=j和一个零点z1=tan。根据H(s)的零点、极点，可以得到如下结论：如果H(s)包含p1,2=j的虚极点，则该极点是Y(s)的二重虚极点，对应地，响应y(t)中就会出现形式的项3。此时，响应y(t)中不会包含有频率为的正弦量。如果H(s)不包含z1,2=j的虚零点，则响应y(t)中

8、包含有频率为的正弦量。如果H(s)包含z1,2=j的虚零点，则该零点与X(s)中的共轭虚极点p1,2=j对消，从而响应y(t)中不包含有频率为的正弦量。如果H(s)包含p=0的极点（零固有频率），且0，则响应y(t)中就会出现直流项4。当=0时，X(s)包含一个等于零的零点，如果此时H(s)包含一个零固有频率，则该零固有频率会与X(s)中的相应零点对消，从而响应y(t)中就不会出现直流项。应用实例与仿真基于上述分析，我们可以举出若干正弦激励下出现非正弦响应的电路例子。2.1 H(s)包含p1,2=j的虚极点的情况如图1所示为LC二阶电路，电路的激励为 (3)从而得到 (4)图1 LC电路由图中

9、参数可知，电容电压uo所对应的网络函数为 (5)可见，H(s)包含p1,2=j10的虚极点，与X(s)的极点相同，电路不可能包含正弦稳态响应。由式(4)、式(5)可得 (6)利用Multisim软件对图1进行仿真，结果如图2所示。可见，uo随时间递增，电路不能进入正弦稳态。图2 图1电路电容电压uo的响应曲线2.2 共轭虚极点、共轭虚零点对消的情况如图3所示电路，由三个一阶低通滤波电路与一个加法电路构成。对该电路进行分析，不难得出网络函数为 (7)可见，H(s)包含z1,2=j的虚零点。图3 含共轭虚零点的电路现取定电路的激励为 (8)从而得到 (9)则X(s)的极点与H(s)的零点正号对消，

10、从而有 (10)可见，电路不能进入正弦稳态，而是达到零稳态。利用Multisim软件对图3进行仿真的仿真结果见图4。图4 图3电路电容电压uo的响应曲线2.3 H(s)包含零固有频率的情况。如图5所示电路，由一个积分电路、一个一阶低通滤波电路与一个加法电路构成。对该电路进行分析，可得出网络函数为 (11)可见，图5电路包含一阶零固有频率。如果取定激励如式(8)所示，则有(12)同样，电路无法进入正弦稳态，因为响应中包含直流稳态分量。利用Multisim软件对图5进行仿真的仿真结果见图6。图5 含零固有频率的电路图6 图5电路电容电压uo的响应曲线如果对图5电路取激励为x(t)=cost V，则

11、有 (13)(14)可见，由于等于零的零点与零固有频率对消，响应中不再有直流分量，电路能够进入正弦稳态。进一步的讨论由上面分析可知，可以总结出如下结论：零状态动态电路存在正弦稳态响应的充要条件为，响应的象函数Y(s)存在且仅存在一对共轭虚极点，而Y(s)的其它极点均位于复平面的开左半平面上。如果电路存在初始状态，则上述结论不一定成立。下面举例加以说明。考虑图7所示电路，采用拉式变换求解响应电压uo。作出s域模型如图8所示，可得图7 非零状态电路图8 图7电路的s域模型(15)可见，Uo(s)包含一个等于零的极点。由上式解得时域响应为(16)由式(16)可知，电路无法进入正弦稳态，而是进入非正弦

12、周期稳态，其中的直流项是由电路的非零状态引起的。对图7电路，只要初始状态为零，电路就将进入正弦稳态！下面再举一例。如图1所示电路，假设电感的初始状态为零，电容的初始状态为uo(0+)=2V，激励为x(t)=cos(20t)V，作出s域模型如图9所示，可得图9 图1电路的s域模型(17)可见，Uo(s)包含1个等于零的极点、2个共轭虚极点。由上式求得时域响应为 (18)由式(18)可知，电路无法进入正弦稳态，而是进入非正弦周期稳态，其中的直流项是由电路的非零状态引起的，-7sin(10t)/3项则是由电路的虚固有频率引起的。4 结语正弦稳态电路是电路理论教学中的重要内容。尽管如此，在教学中较少涉及电路在正弦激励下的非正弦稳态的响应。本文基于作者的教学实践，讨论了电路在正弦激励下产生非正弦稳态响应的各种情况，对丰富正弦稳态电路分析的教学内容，加深学生对相关知识的理解，具有良好的助益。值得指出的是，在实际应用中，可以改变正弦激励的频率，确保