高考专题训练十　三角变换与解三角形、平面向量

1、高考专题训练十三角变换与解三角形、平面向量一、选择题：本大题共6小题，每题5分，共30分在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上1a，b是不共线的向量，假设eq o(AB,sup6()1ab，eq o(AC,sup6()a2b(1，2R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为()A121B121C1210 D1210解析：只要eq o(AC,sup6()，eq o(AB,sup6()共线即可，根据向量共线的条件即存在实数使得eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()，即a2b(1ab)，由于a，b不共线，根据平面向量根本定理得11且2，消掉得121.答案：D2(辽

2、宁)假设a，b，c均为向量，且ab0，(ac)(bc)0，那么|abc|的最大值为()A.eq r(2)1 B1C.eq r(2) D2解析：ab0，(ac)(bc)0，即ab(acbc)c20acbc1.又|abc|eq r(abc2)eq r(a2b2c22ab2ac2bc)eq r(32acbc)1.答案：B3(全国)设向量a，b，c满足|a|b|1，abeq f(1,2)，ac，bc60，那么|c|的最大值等于()A2B.eq r(3) C.eq r(2)D1解析：设eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,sup6()c()假设OC在AOB内，如

3、图因为abeq f(1,2)，所以AOB120，又ac，bc60，那么O，A，C，B四点共圆|AB|2|OA|2|OB|22|OA|OB|cos1203，|AB|eq r(3).2Req f(|AB|,sin120)eq f(r(3),f(r(3),2)2，|OC|2，即|c|2.()假设OC在AOB外，如图由()知AOB120，又ACB60，|OA|OB|1，知点C在以O为圆心的圆上，知|c|eq o(OC,sup6()|1.综合()，()|c|最大值为2.答案：A4在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，其中a(3,1)，b(

4、1,3)假设eq o(OC,sup6()ab，且01，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的选项是()解析：由题意知eq o(OC,sup6()(3，3)，取特殊值，0，0，知所求区域包含原点，取0，1，知所求区域包含(1,3)，从而选A.答案：A5(天津)如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABeq r(3)BD，BC2BD，那么sinC的值为()A.eq f(r(3),3) B.eq f(r(3),6)C.eq f(r(6),3) D.eq f(r(6),6)解析：如题图所示在BCD中，BC2BD，eq f(sinC,sinBDC)eq f(1,2).在ABD中，ABAD,2

5、ABeq r(3)BD，cosADBeq f(AD2BD2AB2,2ADBD)eq f(r(3),3)，sinADBeq f(r(6),3)，ADBBDC，sinADBsinBDC，sinCeq f(1,2)eq f(r(6),3)eq f(r(6),6).答案：DABC中，sin2Acos2B1，那么cosAcosBcosC的最大值为()A.eq f(5,4)B.eq r(2) C1D.eq f(3,2)解析：由sin2Acos2B1，得cos2Bcos2A.又A、B为ABC的内角，所以AB，那么C2A.cosAcosBcosC2cosAcos(2A)2cosAcos2A2cos2A2cos

6、A12eq blc(rc)(avs4alco1(cosAf(1,2)2eq f(3,2)，可知当cosAeq f(1,2)时，cosAcosBcosC取得最大值eq f(3,2).答案：D二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上7(江苏)taneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)2，那么eq f(tanx,tan2x)的值为_解析：taneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)eq f(1tanx,1tanx)2，tanxeq f(1,3)，tan2xeq f(2tanx,1tan2x)eq f(3,4)，那么eq f(tanx,ta

7、n2x)eq f(f(1,3),f(3,4)eq f(4,9).答案：eq f(4,9)8(上海)函数ysineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)x)的最大值为_解析：ycosxeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)cosxf(1,2)sinx)eq f(r(3),2)cos2xeq f(1,2)sinxcosxeq f(r(3),2)eq f(cos2x1,2)eq f(1,4)sin2xeq f(r(3),4)cos2xeq f(1,4)sin2xeq f(r(3),4)eq f(1,2)s

8、ineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)eq f(r(3),4).故ymaxeq f(1,2)eq f(r(3),4).答案：eq f(1,2)eq f(r(3),4)9(江西)|a|b|2，(a2b)(ab)2，那么a与b的夹角为_解析：(a2b)(ab)2a2ab2b22|a|2，|b|2，4ab82，ab2coseq f(ab,|a|b|)eq f(2,4)eq f(1,2)，0，eq f(,3).答案：eq f(,3)10(湖南)在边长为1的正三角形ABC中，设eq o(BC,sup6()2eq o(BD,sup6()，eq o(CA,sup6()3eq o(CE,

9、sup6()，那么eq o(AD,sup6()eq o(BE,sup6()_.解析：eq o(BC,sup6()2eq o(BD,sup6()，D为BC中点eq o(CA,sup6()3eq o(CE,sup6()，E为AC边上距C近的一个三等分点eq o(AD,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(BE,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6().又|eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|1，eq o(AB,s

10、up6()与eq o(AC,sup6()夹角为60，eq o(AD,sup6()eq o(BE,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)o(AC,sup6()o(AB,sup6()eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)o(AC,sup6()2o(AB,sup6()2f(1,3)o(AB,sup6()o(AC,sup6()eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)1f(1,3)11cos60)eq f(1,2)eq blc(rc)(

11、avs4alco1(f(2,3)1f(1,6)eq f(1,4).答案：eq f(1,4)三、解答题：本大题共2小题，共25分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤11(12分)(广东)函数f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)xf(,6)，xR.(1)求feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)的值；(2)设，eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，feq blc(rc)(avs4alco1(3f(,2)eq f(10,13)，f(32)eq f(6,5)，求cos()的值解：(1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(5

12、,4)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(5,4)f(,6)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)f(,6)2sineq f(,4)eq r(2).(2)feq blc(rc)(avs4alco1(3f(,2)2sineq blcrc(avs4alco1(f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(3f(,2)f(,6)2sineq f(10,13)，sineq f(5,13)，又eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，coseq f(12,13)，f(32)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(32,3

13、)f(,6)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2coseq f(6,5)，coseq f(3,5)，又eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)，sineq f(4,5).cos()coscossinsineq f(12,13)eq f(3,5)eq f(5,13)eq f(4,5)eq f(16,65).12(13分)(湖北)设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.a1，b2，cosCeq f(1,4).(1)求ABC的周长；(2)求cos(AC)的值解：(1)c2a2b22abcosC144eq f(1,4)4.c2ABC的周长为abc1225.(2)cosCeq f(1,4)，sinCeq r(1cos2C) eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)2)eq f(r(1