九年级上册数学反比例函数经典拓展难题[1]

1、1 ：（2017年浙江省初中数学竞赛）函数y 1图象的大致形状是（）xABCD32 (2017年牡丹江市 )如图，点 A 、 B 是双曲线 y 上的点，分别经过 A 、 B 两点向 x 轴、 y 轴作垂 x，则S1S2线段，若 S阴影 1yAS1BS2Ox8 题图3 已知 y 与 2 x 3成反比例，且 x1时， y 2 ，求 y 与 x 的函数关系式44 已知函数 y y 1 y 2 ，且 y 1 为 x 的反比例函数， y2 为 x 的正比例函数，且 x3和 x 1 时， y 的值2都是 1 求 y 关于 x 的函数关系式125 作出反比例函数y的图象，并根据图象解答下列问题：x当 x 4

2、 时，求 y 的值； (2) 当 y 2 时，求 x 的值； (3) 当 y 2 时，求 x 的范围46 作出反比例函数y的图象，结合图象回答：x当 x 2 时， y 的值； (2) 当 1 x 4 时， y 的取值范围； (3) 当 1 y 4 时， x 的取值范围127 作出函数y的图象，并根据图象回答下列问题：x当 x 2 时，求 y 的值；当 2 y 3 时，求 x 的取值范围；当 3 x 2 时，求 y 的取值范围8 如图， A、 B 是函数 y2 的图象上关于原点对称的任意两点，BC x 轴， AC y 轴，x ABC 的面积记为S，则 (s=)9 如图，点A、B是函数y x 与y

3、1的图象的两个交点，作AC x轴于C，作BD x 轴于D，则四x边形ACBD的面积为()10 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中， Rt OCD 的一边 OC 在 x 轴上， C 90 ，点 D 在第一象限， OC 3 ， DC 4 ，反比例函数的图象经过OD 的中点 A求该反比例函数的解析式；(2) 若该反比例函数的图象与Rt OCD 的另一边交于点B，求过 A、 B 两点的直线的解析式11 如图， A、 B 两点在函数ym ( x 0) 的图象上x(1) 求m的值及直线AB的解析式；(2) 如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点请直接写出图中阴影部分边界 )所含格点的个

4、数(不包括12 如图，已知点A 在反比例函数的图象上，反比例函数的解析式为_AB x轴于点B，点C(0，1)，若ABC的面积是3 ，则13 如图，直线 y mx 与双曲线ykA 作 AM x 轴，垂足为M，连结 BM ，交于 A， B 两点，过点若 S ABM 2 ，则 k 的值是 (x)14 如图，双曲线yk (k 0) 经过矩形 OABC 的边 BC 的中点 E，交 AB 于点 D。若梯形 ODBC 的面x积为 3 ，则双曲线的解析式为()15 如图，直线y kx b 与反比例函数 y k (x 0) 的图象交于点 A，B ，与 x 轴交于点 C，其中点 A x的坐标为 ( 2， 4) ，

5、点 B 的横坐标为 4(1) 试确定反比例函数的关系式；(2) 求 AOC 的面积16 如图，已知 A( 4 ，n )， B (2 ， 4) 是一次函数y kx b 的图象和反比例函数 ym的图象的两个x交点求反比例函数和一次函数的解析式；求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及 AOB 的面积；(3)求方程kxb0()；m的解 请直接写出答案x(4)求不等式 kxm0 的解集 (请直接写出答案 )bx17 已知：如图，正比例函数y ax 的图象与反比例函数 yk 的图象交于点A(3，2) x试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的

6、值大于正比例函数的值；M (m ， n )是反比例函数图象上的一动点，其中0 m 3 ，过点 M 作直线 MB x 轴，交 y 轴于点B ；过点 A 作直线 AC y 轴交于点 C，交直线判断线段 BM 与 DM 的大小关系，并说明理由MB 于点 D当四边形OADM 的面积为6 时，请18 如图，已知点A， B在双曲线yk( x0) 上， AC x 轴于点C， BD y轴于点D，AC与 BD交x于点P，P 是AC 的中点，若ABP的面积为3，求k的值19 （ 2017 山东济南）如图 ,已知直线 y1kx 与双曲线 y(k 0) 交 A， B 两点，且点 A 的横坐标为2x4.（ 1）求 k

7、的值；（ 2 ）若双曲线 yk (k0) 上一点 C 的纵坐标为8 ，求 AOC 的面积；x（ 3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 yk ( k 0)于 P， Q 两点（ P 点在第一象限） ，若由点 A，xB， P， Q 为顶点组成的四边形面积为24 ，求点 P 的坐标yDMABNOCEx图 1320 （ 2017河北）如图13 ，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O与坐标原点重合，顶点，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为A4 ，2）过点 D（0，3）和 E（6 ，0）的直线分别与 AB ，BC 交于点 M，N1 ）求直线 DE 的解析式和点 M 的坐标；（ 2）若反比例函数 ym

8、（ x 0 ）的图象经过点 M ，求该x反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上；（ 3）若反比例函数 ym （x 0）的图象与 MNB 有公共点，请直接 写出 m 的取值范围x21 （ 2017 四川）一次函数y=kx+b图象与反比例函数y= m 的图象交于点A（2 ， 1 ）， B （ 1 ， n ）x两点。（ 1 ）求反比例函数的解析式（ 2）求一次例函数的解析式（ 3 ）求 AOB 的面积yAOCDBx图 10反比例函数难题拓展二、填空题1. （2017 浙江金华， 16 ，4 分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，kB （2 ，0 ）， AOC

9、60 ，点 A 在第一象限，过点 A 的双曲线为 y= x，在 x 轴上取一点，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是OB.P（1）当点 O 与点 A 重合时，点 P 的坐标是.（2）设 P（t ， 0）当 O B 与双曲线有交点时， t 的取值范围是.【答案】（ 1 ）（4 ，0 ）；（2 ）4 t 25或25 t 42. （ 2017广东东莞， 6，4分）已知反比例函数yk的图象经过（1 ，2 ）则 kx【答案】23. （2017山东滨州，18 ，4分）若点A(m ， 2) 在反比例函数y4 的图像上，则当函数x值 y 2 时，自变量 x 的取值范围是 _

10、.【答案】 x -2 或 x04. （2017四川南充市，14 ，3分）过反比例函数y=k(k 0) 图象上一点A ，分别作x 轴，xy 轴的垂线，垂足分别为B,C，如果ABC的面积为3. 则k的值为.【答案】 6 或 6.25. （ 2017 宁波市， 18 ，3 分）如图，正方形 A1 B 1P1 P2 的顶点 P1 、P2 在反比例函数 y x（ x0 ）的图像上，顶点 A1、B 1 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上， 再在其右侧作正方形P2 P3 A2 B 2 ，2顶点 P3 在反比例函数 y x（ x 0 ）的图象上，顶点A 3 在 x 轴的正半轴上，则点P3 的坐标为【答案】（3

11、1 ，3 1）6. （ 2017 浙江衢州 ,5,4 分）在直角坐标系中，有如图所示的Rt ABO , ABx轴于点 B ，斜边 AO10， sinAOB3 ,反比例函数 y k (x 0) 的图像经过 AO 的中点 C ，且与 AB 交于点5xD ,则点 D 的坐标为.yICDOBx（第 15 题）3（ ，）【答案】823 上的点，则7. (2017浙江绍兴， 13 ， 5 分) 若点 A(1,y1), B(2, y2 ) 是双曲线 yxy1y2 （填“ ”, “8. （2017 浙江丽水， 16 ，4 分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，kB (2，0)， AOC 60

12、 ，点 A 在第一象限， 过点 A 的双曲线为 y= x ，在 x 轴上取一点 P，过点 P 作直线 OA 的垂线 l，以直线 l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O B .（1 ）当点 O 与点 A 重合时，点 P 的坐标是.（2 ）设 P(t ， 0)当 OB 与双曲线有交点时， t 的取值范围是.【答案】（ 1 ） (4，0) ；（2 ）4 t 25 或 25 t 49. （2017 湖南常德， 5 ，3 分）如图 1 所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A 在此曲线上，则该反比例函数的解析式为_.y3AO 1x图 13【答案】 yx10 （2017江苏苏州， 18,3分）如

13、图，已知点 A 的坐标为（3 ， 3 ），AB x 轴，垂足为B ，连接 OA ，反比例函数 y= k（k0 ）的图象与线段 OA 、AB 分别交于点 C 、D. 若 AB=3BD ，x以点 C 为圆心， CA 的 5 倍的长为半径作圆，则该圆与x 轴的位置关系是 _（填4“相离”、“相切”或“相交” ）【答案】相交11. （ 2017山东济宁， 11 ，3 分）反比例函数 ym1 的图象在第一、三象限，则m 的取x值范围是【答案】 x 112. （2017四川成都， 25,4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知反比例函数 y2k(k 0) 满x足：当 x 0 时， y 随 x 的增大而减

14、小若该反比例函数的图象与直线yx3k 都经过点 P，且 OP7 ，则实数 k=_.【答案】 7 .313. （ 2017安徽芜湖， 15 ， 5 分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数 yk 经过正方形 AOBC 对角线的交点，半径为（4 2 2 ）的圆内切于 ABC ，则 kx的值为【答案】 414. （ 2017广东省， 6 ，4 分）已知反比例函数 yk 的图象经过（ 1 ，2 ）则 kx【答案】 21 5. (2017 江苏南京，15 ，2 分)设函数 y2 与 yx 1 的图象的交战坐标为 （ a，b ），则 11xab的值为 _【答案】12k16. （2017

15、上海，11 ，4 分）如果反比例函数y是常数，k）的图像经过点 ，（k0(1x，那么这个函数的解析式是 _2【答案】 yx17.（ 2017 湖北武汉市， 16 ，3 分）如图， ABCD 的顶点 A， B 的坐标分别是 A（ 1 ，0 ），B （ 0， 2 ），顶点 C，D 在双曲线 y= kx上，边 AD 交 y 轴于点 E ，且四边形 BCDE 的面积是 ABE 面积的 5 倍，则 k =_【答案】 1218.（ 2017 湖北黄冈， 4，3 分）如图：点 A 在双曲线 yk 上，AB x 轴于 B，且 AOBx的面积 SAOB =2 ，则 k=_ yBOxA第4题图【答案】 419.

16、（ 2017湖北黄石， 15 ，3分）若一次函数 y=kx +1 的图象与反比例函数 y= 1 的图象没x有公共点，则实数 k 的取值范围是。【答案】 k - 1420 （2017湖南常德， 3 ，3 分）函数 y1 中自变量 x 的取值范围是 _.x3【答案】 x321. （ 2017湖南永州， 7 ，3分）若点 P1(1 ，m) ， P2 （2 ，n ）在反比例函数 yk (k 0) 的x图象上，则 m_n( 填“”、“”或“=”号）【答案】22. （2017 内蒙古乌兰察布， 17 ，4 分）函数 y1x( x0) ,y290) 的图象如图所示，(xx则结论： 两函数图象的交点 A 的坐

17、标为（3,3)当x3 时， y2y1 当 x 1 时，BC=8当 x 逐渐增大时， y1 随着 x 的增大而增大， y2 随着 x的增大而减小其中正确结论的序号是.yy1 x9y2x第 17题图【答案】23. （2017 广东中山， 6,4 分）已知反比例函数yk 的图象经过（1 ，2 ）则 kx【答案】 224.（ 2017 湖北鄂州， 4，3 分）如图：点 A 在双曲线 yk 上，AB x 轴于 B，且 AOBx的面积 SAOB =2 ，则 k=_ yBOxA第4题图【答案】 425.（ 2017 湖北孝感， 15 ，3 分） 如图，点 A 在双曲线 y1 上，点 B 在双曲线 y 3 上

18、，xx且 AB x 轴， C、D 在 x 轴上，若四边形ABCD 的面积为矩形，则它的面积为.【答案】 226.（ 2017湖北荆州，16 ，4分）如图，双曲线y2(x0) 经过四边形OABC的顶点A、xC ，ABC 90 ，OC 平分 OA 与 x 轴正半 轴的夹角， AB x 轴，将 ABC 沿 AC 翻折后得到 AB C，B 点落在 OA 上，则四边形 OABC 的面积是.【答案】 227.三、解答题1. （ 2017浙江省舟山，19 ，6分）如图，已知直线y2 x经过点P（2 ， a ），点P 关于y轴的对称 点P在反比例函数yk（ k0 ）的图象上x（1 ）求 a 的值；（2 ）直接

19、写出点 P的坐标；（3 ）求反比例函数的解析式yPPky1xO1xy2x（第 19 题）【答案】（ 1 ）将 P（-2 ，a）代入 y2 x 得 a=- 2(-2)=4;P（2 ，4）k（ 3 ）将 P（2 ，4 ）代入 yx得 4= k ，解得 k =8 ，反比例函数的解析式为y8 2x2. （2017 安徽， 21 ，12 分）如图，函数 y1k1 xb 的图象与函数 y2k2 （ x 0 ）的图象x交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 A 点坐标为（ 2 ，1 ），C 点坐标为（ 0 ，3 ）（ 1）求函数 y1 的表达式和 B 点的坐标；（ 2）观察图象，比较当x0 时，

20、y1 与 y2 的大小 .yCBAOx【答案】（ 1 ）由题意，得2k1b1,解得k11, y1x3 ;b3.b3.又 A 点在函数 y2k2上，所以 1k 2，解得 k22 , 所以 y22 ;x2xyx3,x11x22解方程组2得,y2yxy121所以点 B 的坐标为（ 1, 2）（2 ）当 x=1 或 x=2 时， y1 =y2 ；当 1 x 2 时， y1 y2 ；当 0 x 1 或 x 2 时， y 1 y2 （2017 广东广州市， 23 ，12 分）已知 Rt ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （ 1， 3 ）在反比例函数y =k3的图象上，且 sin BAC

21、 = 5 （1 ）求 k 的值和边 AC 的长；（2 ）求点 B 的坐标k【答案】（ 1 ）把 C（ 1 ， 3 ）代入 y = x 得 k =3设斜边 AB 上的高为 CD ，则CD 3sin BAC = AC =5C（1，3）CD=3 ， AC=5（2 ）分两种情况，当点 B 在点 A 右侧时，如图1 有：AD= 52 3 2=4 ，AO=4 1=3 ACD ABCAC 2 =AD ABAC2 25AB= AD = 42513OB=AB AO= 4 3= 413，0 ）此时 B 点坐标为（4yCyCB ODAxAODBx图1图2当点 B 在点 A 左侧时，如图 2此时 AO=4 1=525

22、5OB= AB AO= 5=445此时 B 点坐标为（，0 ）4135所以点 B 的坐标为（ 4 ，0）或（ 4，0 ）4. （2017山东菏泽， 17 （ 1），7 分）已知一次函数yx2 与反比例函数yk ，其中x一次函数 yx2 的图象经过点P( k ，5)试确定反比例函数的表达式；若点 Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标【答案】解：因一次函数y=x 2的图象经过点 P(k ， 5)，所以得 5= k 2 ，解得 k =3所以反比例函数的表达式为3yxy x2（ 2 ）联立得方程组3yx解得 x1或 x3y3y1故第三象限的交点Q 的坐标为 (3 ， 1)

23、5. （ 2017 山东济宁， 20 ，7 分）如图，正比例函数 y1x 的图象与反比例函数 yk (k 0)2x在第一象限的图象交于A点，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M ，已知OAM 的面积为 1.（1 ）求反比例函数的解析式；（2 ）如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点 A 不重合），且 B 点的横坐标为yAxOM(第 20题)1 ，在 x 轴上求一点 P ，使 PAPB最小.【答案】（ 1 ） 设 A 点的坐标为（ a ， b ），则 bk . ab k . 1 ab 1, 1 k 1. k 2 .a222 . 反比例函数的解析式为y3 分xy2x2,x(2)

24、由得4 分1 x A 为（ 2 ，1）. yy1.2设 A 点关于 x 轴的对称点为 C ，则 C 点的坐标为（ 2， 1）.令直线 BC 的解析式为 ymxn . B 为（ 1， 2 ） 2 m n, m 3,12mn.n 5. BC 的解析式为 y3x5 . 6 分当 y0 时， x5 . P 点为（ 5 ， 0 ）. 7分33（2017 山东泰安， 26 ， 10 分）如图，一次函数 y=k 1x+b 的图象经过 A （0 ，-2 ），B12（1 ，0 ）两点，与反比例函数y= x 的图象在第一象限内的交点为M ，若 OBM 的面积为 2 。（1 ）求一次函数和反比全例函数的表达式。（2

25、 ）在 x 轴上存在点 P，使 AM PM ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由。【答案】（ 1 ）直线 y=k 1x+b 过 A （0 ，-2 ）， B （ 1 ，0 ）b=-2b=-2k 1 +b=0k 1 =2一次函数的表达式为y=2x -2设 M （m,n ），作 MDx 轴于点 DS OBM=2112OB MD =2 2n =2n=4将 M （m ，4 ）代入 y=2 x-2 得： 4=2 m - 2m =3k 24=3k 2 =1212所以反比例函数的表达式为y=x(2)过点 M （ 3 ，4 ）作 MP AM 交 x 轴于点 PMD BP PMD= MBD= ABOOA

26、2tan PMD= tan MBD= tan ABO= =2OB1PD在 Rt PDM 中， MD =2PD =2 MD =8PO=OD +PD =11在 x 轴上存在点 P，使 PM AM ，此时点 P 的坐标为（ 11 ，0 ）7.（ 2017山东烟台， 22,8 分）如图，已知反比例函数1k1（ k1 0 ）与一次函数yxy2k2 x 1(k20) 相交于 A 、B 两点， AC x 轴于点 C .若 OAC 的面积为1 ，且 tan AOC2 .（1 ）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2 ）请直接写出 B 点的坐标，并指出当x 为何值时，反比例函数y1 的值大于一次函数y 2的值？

27、【答案】解（ 1 ）在 Rt OAC 中，设 OC m .tan AOC AC 2 ，OCAC 2OC 2m .S OAC 1 OC AC 1 m 2m 1 ，22m 2 1m 1 （负值舍去） .A 点的坐标为（ 1，2 ）.把 A 点的坐标代入 y1k1 中，得xk 1 2.反比例函数的表达式为y12 .x把 A 点的坐标代入 y2k2 x1 中，得k 2 1 2 ，k 2 1.一次函数的表达式y2x1 .2）B 点的坐标为（ 2， 1）.当 0 x 1 和 x 2 时， y 1 y 2 .8. （2017 浙江省， 18 ， 8 分）若反比例函数yk 与一次函数 y 2x 4 的图象都经过点 Ax（a ,2 ）求反比例函数 y k 的解析式； x(2) 当反比例函数yk的值大于一次函数y2x4 的值时，求自变量x 的取值范围x【答案】y 2 x4的图象过点 A（a,2 ） a=3(1) yk6x 过点 A（3,2 ） k=6yxykx 与一次函数 y2x 4 的图象的交点坐标，得到方程：(2) 求反比例函数62x4x解得： x1 = 3,x2 = -1 另外一个交点是（ -1 ，-6 ）6 当 x-12x 4或 0 x 0 ）的图象经过点 A(2，m )，过点 A 作 AB x 轴于点 B ，且 AOB 的面积为 .