必修5第二章《数列》

1、必修5第二章数列 (时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知数列an满足a13，anan110(nN)，则此数列中a10等于()A7B11C12 D6解析：选C.易知an为等差数列，且公差为1，a103(101)112.2数列an是由实数构成的等比数列，Sna1a2an，则数列Sn中()A任一项均不为0B必有一项不为0C至多有有限项为0D或无一项为0，或有无穷多项为0解析：选D.如在数列2，2,2，2中，S12，S20，S32，S40，如果一项为0，那么就会有无限多项为0.3已知某等差数列共有10项，其奇数项之和

2、为15，偶数项之和为30，则其公差为()A2 B3C4 D5解析：选B.由S偶S奇30155d得d3.4已知an是公比为q的等比数列，且a1、a3、a2成等差数列，则q()A1或eq f(1,2) B1Ceq f(1,2) D2解析：选A.an为等比数列且公比为q，且a1，a3，a2成等差数列，则2a1q2a1a1q，即2q2q10，q1或qeq f(1,2).5等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2a8a11是一个定值，则下列各数也为定值的是()AS7 BS8CS13 DS15解析：选C.由a2a8a113a118d3(a16d)3a7，知a7为一个定值，S13e

3、q f(13a1a13,2)13 a7也为定值6计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是12312202112013，那么将二进制数转换成十进制数的形式是()A2172 B2161C2162 D2151解析：选B.题目虽然比较新，但是我们仔细分析题目中的条件，按照其规律有：2152142131eq f(1216,12)2161.7在RtABC中，已知abc，且a、b、c成等比数列，则ac等于()A34 B(eq r(5)1)2C1(eq r(5)1) D.eq r(2)1解析：选B.由a2b2c2及b2ac，即可推得

4、ac(eq r(5)1)2.8等差数列an的前n项和为Sn，若S22，S410，则S6等于()A12 B18C24 D42解析：选C.S2，S4S2，S6S4成等差数列，2(S4S2)S2(S6S4)，解得S624.9根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n个月内累计的需求量Sn(万件)近似地满足Sneq f(n,90)(21nn25)(n1,2，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A5月、6月 B6月、7月C7月、8月 D8月、9月解析：选C.Sneq f(n,90)(21nn25)eq f(1,90)(21n2n35n)由anSnSn1，得anSnSn1eq

5、 f(1,90)(21n2n35n)eq f(1,90)21(n1)2(n1)35(n1)eq f(1,90)21(2n1)(n2n2nn22n1)5eq f(1,90)(3n245n27)eq f(3,90)(neq f(15,2)2eq f(63,40).当n7或8时，超过1.5万件10给定anlogn1(n2)(nN)，定义使a1a2a3ak为整数的数k(kN)叫企盼数，则区间(1,10000)内所有企盼数之和为()A15356 B16356C17356 D16380解析：选B.a1a2a3aklog23log34log45logk1(k2)log2(k2)为整数，k2必是2的整数次幂k

6、(1,10000)，k可取222,232，2132，所求企盼数之和为(222)(232)(2132)(2223213)212eq f(42121,21)2416356.11已知数列an的前n项的和Sn3nn2，则当n2时，下列不等式中成立的是()ASnna1nan BSnnanna1Cna1Snnan DnanSnna1解析：选C.利用SnSn1an求出an，再进行作差比较三者的关系12数列an的通项公式为aneq f(1,r(n1)r(n)，已知它的前n项和Sn6，则项数n等于()A6 B7C48 D49解析：选C.将通项公式变形得：aneq f(1,r(n1)r(n)eq f(r(n1)r

7、(n),r(n1)r(n)r(n1)r(n)eq r(n1)eq r(n)，则Sn(eq r(2)eq r(1)(eq r(3)eq r(2)(eq r(4)eq r(3)(eq r(n1)eq r(n)eq r(n1)1，由Sn6，则有eq r(n1)16，n48.二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)13等比数列an中，a1512，公比qeq f(1,2)，用n表示它的n项之积：na1a2a3an，n取得最大值时n_.解析：法一：令ylog2nlog2(a1a2a3an)log2a1log2a2log2a3log2an，而log2an构成公差为log2qlog2eq f(1,2

8、)1的等差数列，则我们可以用等差数列前n项和公式得：y9neq f(n1n,2)eq f(1,2)(neq f(19,2)2eq f(361,2)，又a101，当n9或10时，n最大法二：an512(eq f(1,2)n1，当n10时，an1，n9时，an1，n10时，0an1，n最大时，n取9或10.答案：9或1014数列an中，a1a，aneq f(an1,nan11)(n2)(a0)，则an_.解析：由aneq f(an1,nan11)，可得eq f(1,an)neq f(1,an1)(n2)，令bneq f(1,an)，则b22b1，b33b2，bnnbn1，各式相加，得bnb1(23

9、n)eq f(1,a)eq f(n1n2,2)，aneq f(1,bn)eq f(2a,n1n2a2).答案：eq f(2a,n1n2a2)15一个数列an，其中a13，a26，an2an1an，那么这个数列的第5项是_解析：a3a2a13，a4a3a23，a5a4a36.答案：616蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(4)_；f(n)_.解析：11,7116,1911626，则f(4)116263637.f(n)116

10、26(n1)616(12n1)13n(n1)答案：3713n(n1)三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列an的通项an；(2)令bn2an10，证明数列bn为等比数列解：(1)设等差数列an的公差为d，则eq blcrc (avs4alco1(a19d30，,a119d50，)解得eq blcrc (avs4alco1(a112，,d2.)an122(n1)2n10.(2)证明：由(1)得bn2an1022n4n，eq f(bn1,bn)eq f(4n1,4n)4.bn是首项是4，公比q4的等比数列18(

11、2011年济南高二检测)数列an的前n项和为Sn，且a11，an1eq f(1,3)Sn，n1，nN.求(1)数列an的通项公式；(2)a2a4a6a2n的值解：(1)由a11，an1eq f(1,3)Sn，n1,2,3，得a2eq f(1,3)S1eq f(1,3)a1eq f(1,3)，由an1aneq f(1,3)(SnSn1)eq f(1,3)an(n2)，得an1eq f(4,3)an(n2)，又a2eq f(1,3)，所以aneq f(1,3)(eq f(4,3)n2(n2)，数列an的通项公式为aneq blcrc (avs4alco1(1n1,f(1,3)f(4,3)n2 n2

12、).(2)由(1)可知a2，a4，a2n是首项为eq f(1,3)，公比为(eq f(4,3)2，且项数为n的等比数列，所以a2a4a6a2neq f(1,3)eq f(1f(4,3)2n,1f(4,3)2)eq f(3,7)(eq f(4,3)2n119在等差数列an中，a11，前n项和Sn满足条件eq f(S2n,Sn)eq f(4n2,n1)，n1,2，.(1)求数列an的通项公式；(2)记bnanpan(p0)，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设等差数列an的公差为d，由eq f(S2n,Sn)eq f(4n2,n1)，得eq f(a1a2,a1)3，所以a22，即da2a11.又

13、eq f(4n2,n1)eq f(S2n,Sn)eq f(f(annda1,2)2n,f(ana1,2)n)eq f(2annda1,ana1)eq f(2ann1,an1)，所以ann.(2)由bnanpan，得bnnpn，所以Tnp2p23p3(n1)pn1npn，当p1时，Tneq f(nn1,2)；当p1时，pTnp22p33p4(n1)pnnpn1，得(1p)Tnpp2p3pn1pnnpn1eq f(p1pn,1p)npn1.所以Tneq blcrc (avs4alco1(f(nn1,2)，p1，,f(p1pn,1p2)f(npn1,1p)，p1.)20等比数列an中，已知a12，a

14、416.(1)求数列an的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.解：(1)设an的公比为q.由已知得162q3，解得q2. ana1qn12n.(2)由(1)得a38，a532，则b38，b532.设bn的公差为d，则有eq blcrc (avs4alco1(b12d8，,b14d32，)解得eq blcrc (avs4alco1(b116，,d12.)从而bn1612(n1)12n28.所以数列bn的前n项和Sneq f(n1612n28,2)6n222n.21某国采用养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1

15、，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额(1)写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式；(2)求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列解：(1)由题意知TnTn1(1r)an(n2)(2)证明：T1a1，对n2反复使用(1)中的关系式，得TnTn1(1r)anTn2

16、(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an. 在式两端同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)aneq f(d,r)(1r)n1ra1(1r)nan，即Tneq f(a1rd,r2)(1r)neq f(d,r)neq f(a1rd,r2).如果记Aneq f(a1rd,r2)(1r)n，Bneq f(a1rd,r2)eq f(d,r)n，则TnAnBn，其中An是以eq f(a1rd,r2)(1r)为首项，以1r(r0)为公比的等比数列；Bn是以eq f(a1rd,r2)eq f(d,r)为首项，以eq f(d,r)为公差的等差数列22已知数列an满足a11，a22，an2eq f(anan1,2)，nN.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式解：(1)证明：b1a2a11，当n2时，bnan1aneq f(an1an,2)aneq f(1,2)(anan1)eq f(1,2)b