概率论与数理统计第二章随机变量及其分布函数通用PPT课件

1、随机变量及其分布Chapter 2Random variable and Distribution目录CONTENTS随机变量及其分布2.12.22.32.4常用的连续型随机变量常用的离散型随机变量随机变量函数的分布2.1 随机变量及其分布函数 Random variable and distribution E4：在土地里种下一粒种子。E1：记录一个路口在一段时间内经过的车辆数1=0，1，2，3，E2：扔一个骰子，出现的点数2=1，2，3，4，5，64=发芽，不发芽E5：在工厂生产的零件中任取一件。5=正品，次品E3：检验灯泡的寿命3=t|t0随机试验的结果虽然不是数量，但是可以将它数量化！

2、引例:2.1 随机变量及其分布函数E4：在土地里种下一粒种子。4=发芽，不发芽E5：在工厂生产的零件中任取一件。5=正品，次品随机试验的结果虽然不是数量，但是可以将它数量化！由于试验的结果是随机的，因而X=X()的取值也是随机的，所以将X=X()称为随机变量！在样本空间上定义一个集合函数 一、随机变量 Random variable例如：设 X=某路口在一段时间内通过的车辆数A = 通过的车辆数不超过 4B = 通过至少 6 辆车设 X=取到次品的件数= 至多取到 2件次品= A= 恰好取到 2 件次品= B今后，我们用随机变量的取值和取值范围来表示随机事件！为随机变量,记为 R.V.X.(r

3、andom variable X)。 二、分布函数 Distribution function 取值或取值范围的概率？例如：将一枚硬币连抛三次，观察正反面向上的情况。设 X=正面向上的次数二、分布函数 Distribution function 对于任意区间（a，b二、分布函数 Distribution function 定义2 设X为随机变量,x为任意实数,函数为随机变量X的分布函数(distribution function)。分布函数F(x)是随机事件Xx的概率,它是一个普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量.随机点实数点二、分布函数 Distribution function 分

4、布函数利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性质: 1、0F(x)1;2、F(x) 在其间断点处是右连续.3、F(-)=0, F(+)=1 4、F(x)是单调不减函数,即对任意实数x1,x2(x1x2), 有F(x1) F(x2) ;5、Px1Xx2=F(x2)-F(x1)图像值域范围图像左右趋势间断点右连续(离散型)图像自左至右呈上升利用分布函数计算事件概率【例1】设随机变量X的分布函数为试求 (1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1中的概率。 解（1）由 解得： 于是，分布函数为： （2）由分布函数计算事件概率公式得： 解：已知分布函数为： 【例1】设随机变量X的分布函数为试求 (

5、1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1中的概率。【例2】设随机变量X的分布函数为求: 常数 a 和 b。解：因为 F(x) 在 x=0 点右连续所以又因为故3、F(-)=0, F(+)=12.1 离散型随机变量 Discrete random variable一、概念定义2 设离散型随机变量X所有可能取值为 , 且X取各个可能值的概率为 定义1 若随机变量 X 的全部可能取值为有限个或可列无限个可能值 ,则称 X 为离散型随机变量.称为离散型随机变量 X 的概率分布(分布律或分布列).注意：离散型随机变量 X 的概率分布(分布律或分布列) 与分布函数 不是一回事！Discrete Dist

6、ribution数列: 分布列的表示方法:表格: 概率分布图：PX0.51由概率的性质易知离散型随机变量的分布列 满足下列特征性质: 非负性规范性用于确定待定参数随机点实数点NonnegativityNormalizationAdditivity注 意 Attention 对离散随机变量的分布函数 distribution function 应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值. Figure 1 The distribution function 【例1】给定离散型R.V.

7、X的分布列如下：解：所以有：求： 常数 C； 分布函数 F(x) 概率求： 分布函数 F(x) 概率解：当 时， 在 内不含X的任何取值当 时， 在 内含X的一个取值当 时， 在 内含X的2个取值当 时， 在 内含X的3个取值当 时， 在 内含有X的全部取值综上所述：因为 X的可能取值中没有1，所以求： 概率解：2.2 常用离散型随机变量的分布1、两点分布 或（0 - 1）分布定义1 设离散型随机变量X的分布列为则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X （0 - 1）分布（0 - 1）分布的分布函数11-p01F(x)x其中 0p1two-point distribution设随机试验E的只

8、有两个样本点： ，其中 则称这种试验为贝努利试验(Bernoulli experiment)。显然，贝努利试验服从（0 - 1）分布若将一个贝努利试验 独立 重复 地做 n 次，则称之为 n 重贝努利试验。各次试验的结果互不影响每次试验中P(A)=p例如： 抛一枚硬币，观察正反面出现的次数。 这是一个一重贝努利试验。 若将一枚硬币连抛 n 次，观察正反面出现的次数。 令 A 表示出现正面，那么这是一个 n 重贝努利试验。 袋中有 a 个红球，b 个白球，任取一球，观察其颜色，令 A 表示“取到红球”，则若连续有放回的取 n 次，那么这是一个 n 重贝努利试验。问题：n 重贝努利试验服从什么分布

9、？注意：不放回抽样取 n 次，不是 n 重贝努利试验！假设在 n 重贝努利试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数那么 X 是一个离散型随机变量，其可能取值为0,1,2，n求：P(X=k)=? k= 0,1,2,.,n假设在 n 重贝努利试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数那么 X 是一个离散型随机变量，其可能取值为0,1,2，n求：P(X=k)=? k= 0,1,2,.,n现在：取 n=3，k=2, 即进行3次贝努利试验，事件A发生2次的概率。设 Ai = 事件 A 在第 i 次发生（i=1,2,3）, X = “三次试验中 A 发生的次数”，2、二项分布 binomial distri

10、bution则称 X 服从参数 n，p 的二项分布，记为 特别的，当n=1时，称之为两点分布或 0-1分布。设n 重贝努利试验中事件A发生的概率为 令随机变量X表示“n次试验中事件A发生的次数”，则其可能取值为0，1，2，n ，且其分布列为例2.2.1 一批产品中，一等品率为20%，从这批产品中任取20件，则取出的产品中至少 2 件一等品的概率？解：设 X 表示20件产品中一等品的件数，则 X 的可能取值为 0,1,2，20A = 抽检产品为一等品20重贝努利试验X 表示“ n 次试验中事件A 发生的次数” 例2.2.2 某种特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用， 问至少有8人治愈的概

11、率是多少？ 令 X 表示治愈的人数，则 X 表示“ n 次试验中事件A 发生的次数”由此得： 从而解得: p = 2/3. 例2.2.3 设 ， 已知 ， 求 解: 由 ，知 P(X=0) = 1/9. 所以 3、泊松分布 Poisson distribution定义3 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2,， 且其分布律为则称随机变量 X 服从参数为的泊松分布,记为 泊松分布主要用于描述 （i）稀有事件发生的概率;（ii）单位时间或单位面积上的计数过程解：令 X 表示铸件的砂眼数，则 故所求事件的概率为： 例2.2.4 由某商店过去的销售记录可知，某种商品每月的销售数可用参数为

12、 的泊松分布描述。为了有99% 以上的把握保证商品不脱销，问：商店在月底至少要进货该商品多少件？设商店月底进货 N 件 令 X 表示“商店每月销售该种商品的件数”,则有r.v. XP(5)。【解】由题意可知，当 时，产品不脱销。 所以有 即 查泊松分布表可得：或 关于二项分布的近似计算，当n20，p0.05时，满足泊松逼近定理的条件。 泊松分布可作为二项分布的一种近似计算。 （二项分布的泊松逼近定理）设当 n 很大，np很小时，有其中例2.2.5 某射击运动员射击400次，每次射击击中目标的概率为0.01，问：至少2次击中目标的概率？解：设 X = 击中目标的次数，则 X 的可能取值为0,1,

13、2,400根据题意可知，则所求事件的概率为又因为利用泊松逼近定理有：400重贝努利试验4 . 几何分布 Geometric distribution定义4 独立重复的进行一个试验（无数次），设事件A在每次试验中发生的概率为 p，0p1，用 X 表示事件 A 首次发生时已进行的试验次数，则X的可能取值为 k=1,2， ,若Ai=在第i次试验中事件A发生，则有则称随机变量X服从参数为p的几何分布,记做或表示为：直到事件A发生为止，已经进行 的试验次数【例2.2.6】设甲袋中有9个白球，1个红球，乙袋中有10个白球。每次从甲乙两袋中各取一球交换后放回袋中，求红球首次放入乙袋中时，取球次数不超过3次的

14、概率？解：设 X=红球首次放入乙袋时的取球次数故 随机变量X服从参数为p=0.1的几何分布, A=取到红球则 P(A)=0.1其概率分布律为所求事件的概率为 一、概念定义1 设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负函数 f(x),使对任意实数x均有则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度(函数).例如：牛顿-莱布尼兹公式2.3 连续型随机变量 Continuous random variableprobability density function of X 二、概率密度的性质 Properties由概率密度求分布函数由分布函数求概率密度“规范性”，用于确定待定参数由于

15、F(x)是变上限积分函数，则F(x)是实数集上的连续函数非负性NonnegativityNormalizationAdditivity需要指出的是：对于连续型R.V.X来说，X 取任一指定实数值 a 的概率均为0即：因此，对于连续型R.V.X来说，这条性质对于离散型R.V.X来说不成立！注意区分：f(x) 是概率密度函数，用来求解概率 F(x)！ P(A)=0 A=.由此可知：不可能事件与零概率事件的关系为【例1】设随机变量X的概率密度为求： A的值 分布函数 F(x)解：-11求： A的值 分布函数 F(x)【例1】设随机变量X的概率密度为解：-11【例1】设随机变量X的概率密度为求： A的

16、值 分布函数 F(x)解：-11当 时，当 时，【例1】设随机变量X的概率密度为求： A的值 分布函数 F(x)解：-11当 时， 【例2】设随机变量X的分布函数为（1）求概率（2）求概率密度。 【解】（1）由分布函数求概率公式得： （2）对分布函数求导数即得概率密度：【例3】设连续型随机变量 X 的分布函数为求：系数 A？根据F(x)的连续性，有连续型密度函数 X f(x) ( 不唯一 )2.4. P(X=a) = 0离散型分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ) 2. F(x) = 3. F(a+0) = F(a); P(a a 和 B = Y a 独立， 解: 因为 X 与 Y

17、同分布，故 P(A) = P(B), P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B)从中解得且 P(AB)=3/4,求常数 a .且由A、B 独立，得：= 2P(A) P(A)2 = 3/4从中解得: P(A)=1/2, 由此得 0a a )例4例4 某种型号电子元件的寿命 X (小时) 具有以下的概率密度函数现有一批元件(设各元件工作相互独立)，问： 任取一只，其寿命大于1500小时的概率是多少？ 任取4只，4只寿命都大于1500小时的概率是多少？ 任取4只，4只中至少有一只寿命大于1500小时的概率？ 若已知一只元件的寿命大于1500小时，则该元件的寿命大 于2000小时的概率是多少？

18、解：（1）（2）由于各元件工作独立，故所求事件的概率为：（3）所求事件的概率为：任取一只，其寿命大于1500小时的概率是多少？ 任取4只，4只寿命都大于1500小时的概率是多少？ 任取4只，4只中至少有一只寿命大于1500小时的概率？各元件工作相互独立 令 则所求事件的概率为：已知：且有：又因为：所以(4) 若已知一只元件的寿命大于1500小时，则该元件的寿命大 于2000小时的概率是多少？均匀分布的意义 例2.4.2 假设 X U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测， 试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解：记 A = X 3 , 则 P(A) = P( X 3)设 Y 表示三次独

19、立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3, 2/3)，所求概率为 P(Y2) =P(Y=2)+P(Y=3)=20/27已知例2.4.3 某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X（单位：吨）服从（300,500)上的均匀分布，每售出一吨该原料，公司可获利1.5（千元）；若积压1吨，则公司损失0.5（千元）问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？解：由已知 ， 可得设公司应组织 a 吨货源，收益 Y 千元。故平均收益为定义3 设连续型随机变量X的概率密度为其中0为常数,则称随机变量X服从参数为的指数分布，记为2、指数分布 Exponential Distribution注：指

20、数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间.例如，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.易求得的分布函数凑微分例2.4.3 设打一次电话所用时间（分钟）服从参数为0.2的指数分布。如果有人刚好在你面前走进公用电话亭并开始打电话（假定只有一部电话），试求你等待： 超过 5 分钟的概率； 5分钟到10分钟之间的概率？解：设 X 表示打电话所用的时间则其概率密度函数为根据题意可有：即：等候的时间 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.(1)

21、正态分布的应用与背景 3、正态分布 Normal Distribution 定义4 设连续型随机变量X的概率密度函数为其中 均为常数,则称随机变量X服从参数为 的正态分布或高斯分布,记为(2) 正态概率密度函数的几何特征(3) 正态分布的分布函数及其图像连续型随机变量的分布函数的图像是一条连续没有间断的曲线！标准正态分布的概率密度表示为4. 标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为定义5在正态分布 中，如果 ，则称该正态分布为标准正态分布，记作标准正态分布的图形概率密度函数概率分布函数2、标准正态分布的概率计算若 ，则有例1= 0.7517= 1-0.9591= 0.0409= 0.8925= 2*0.975-1= 0.95= 0.9591-1+0.7517= 0.7108= 2*(1-0.9671)= 0.0658一般正态分布的标准化过程对于一般的正态分布 只要通过一个线性变换就能将其转化为标准正态分布！