材料力学上册高等教育课后答案ch

1、第十二章能量法（一）题号页码12-2 . 112-3 . 212-4 . 312-5 . 412-6 . 412-8 . 512-9 . 612-10 . 712-12 . 812-14 . 912-15 . 912-16 . 1012-17 . 1112-18 . 1312-21 . 1512-23 . 1612-24 . 1612-26 . 1712-28 . 1812-29 . 1912-30 . 2012-31 . 2112-33 . 2312-34 . 2412-36 . 2512-38 . 2612-40 . 27( 也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解)12-2 图示变宽度平板

2、，承受轴向载荷 F 作用。试计算板件的总伸长。板件的厚度为 ，长度为 l，左、右端的截面宽度分别为 b1 与 b2，材料的弹性模量为 E。题 12-2 图解：由题图可知，1 b2 b1 x Ax b1lF x b2 b1 bx 1l x2F 22EF 2l 1lb lV A x dx dx ln22E b2 b1 b1 b2 b12E00bx1lW 1 Fl2根据W V ，得到Flbl 2lnE b b b12112-3变关系为 c图示等截面直杆，承受轴向载荷 F 作用。设杆的横截面面积为 A，材料的应力应 ，其中 c 为已知常数。试计算外力所作之功。题 12-3 图解：根据FAl ,及 c得

3、lF cA由图 12-3 可知，2图 12-3 cA ddW fdl积分得2F 3l2cAW cAd l33 23c2 A2l012-4 图示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力 F 作用。试用能量法证明弹簧的轴向变形为8FD3n 2G sin2 cos E cosGd 4式中：D 为弹簧的平均直径，d 为弹簧丝的直径，n 为弹簧的圈数，G 为切变模量。为螺旋升角，E 为弹性模量，题 12-4 图解：由截面法M s FD sin,T s FD cos（a）22据能量守恒定律，有W V（b）其中，F2W （c）而l T 2 sl M 2 s 0 2GIds 0Vds（d）2EIP式中， l 为簧丝总长

4、，其值为Dncosl （e）将式（a）代入式（d），完成积分，并注意到式（e），得3GI sin2F 2D3nV (cos P)（f）EIcos8GIP最后，将式（c）和（f）代入式（b），化简后，得 8FD n 2Gsin 32(cos)EcosGd 412-5 图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为 F 的横向力作用。设截面宽度为 b、拉压刚度为 EA，材料的泊松比为 。试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为l bFEA题 12-5 图解：设该杆两端承受轴向拉力 F1 作用，依据功的互等定理，有b FF l F 11EA由此得l bFEA12-6方向。当正应力 1 单独图示增强复合材料

5、，轴 1 沿方向，轴 2 垂直于作用时（图 a），材料沿 1 和 2 方向的正应变分别为 , 112 112EE11式中，E1 与 12 分别为复合材料的纵向弹性模量与纵向泊松比。当 2 单独作用时（图 b），上述二方向的正应变则分别为 E 21 2,212E22式中，E2 与 21 分别为复合材料的横向弹性模量与横向泊松比。试证明：12 21E1E2即上述四个弹性常数中，只有三个是独立的。4题 12-6 图解：依据功的互等定理，有 2 2 1 1即 ( 121 ) ( 21 2 )21EE12由此得12 21E1E212-8 图示桁架，在节点 B 承受载荷 F 作用。试用卡氏定理计算该节点的

6、铅垂位移 B 。各杆各截面的拉压刚度均为 EA。题 12-8 图解：根据卡氏定理，有F51FNili Ni B FEA i 1各杆示如图 12-8。5图 12-8求 B 的运算过程示如下表：由此得3 2 2 FaB （）2EA12-9 图示刚架，承受载荷 F 作用。试用卡氏定理计算截面 C 的转角。设弯曲刚度 EI 为常数。6lliFNiFNiFF l FNiNi i F12a2 F2222 Fa222a2 F2222 Fa23a1 F2121 Fa44a1 F2121 Fa45aF1Fa3 2 2 Fa2题 12-9 图解：在截面 C 处假想附加一矩为 MC 的力偶（见图 12-9），由图M

7、 ( x1 ) x1MM x (F ) x,C11MaaCM ( x2 ) 1M ( x ) Fx M,22CMC图 12-9根据卡氏定理，得2 5Fa 1 x aa(Fx1 )( 1 )dx1 (Fx2 )(1)dx2 （）CEIa6EI0012-10 试用卡氏定理计算图示各梁横截面 A 的挠度A 与转角A。设弯曲刚度 EI 为常数。题 12-10 图7（a）解：令 Fa M A ，由图 12-10a 易得M x x ，M x 1M x M Fx ，AFMA图 12-10(a)注意到左半段梁上 M 0 ，于是得Fa31EIa (Fa F 6EI（）A0Fa2 1 A a(Fa Fx)(1)d

8、x 0（）EI2EI（b）解：令qa F ，并在 A 端附加一顺钟向的力偶矩 M A ，自 A 向左取坐标 x，有M ( x) x ，M ( x) 1M x M Fx 1 qx 2 ，AFM2A根据卡氏定理，得11qa41EI1a (qax q（）A224EI0a12qa3(qax qx2 )(1)dx （） 1 A EI23EI012-12 图示圆截面轴，右半段承受集度为 m 的均布扭力矩作用。试用卡氏第二定理计算杆端截面 A 的扭转角。设扭转刚度 GIp 为常数。题 12-12 图解：在 A 端附加一扭力矩 M A ，自 A 向左取坐标 x1 ，自轴中间截面向左取坐标 x2 ，于是有T x

9、1 M A mx1,T x2 M A ma及8T x1 T x2 1M AM A依据卡氏定理，得3ma2 1 aa(mx1 )(1)dx1 (ma)(1)dx 002AGI2GIpp12-14 图示，承受集度为 q(x) 的分布载荷作用，现在，使梁发生横向虚位移w* (x) ，该位移满足位移边界条件与变形连续条件，试证明：l w ( x)q( x)dx M ( x)d*l即证明外载荷 q (x) 在虚位移上所作之总虚功 We ，等于可能内力 M(x)在相应虚变形上所作之总虚功 Wi 。题 12-14 图解：应用下列微分关系 dwq dF dM,FS xSx,dxdxdx及分部积分公式，有d w

10、 d FllW e w ( x )q ( x )dx FS l0w ( x ) S d x w FSd xd xd xl00d Mll ll0 d x MM ( x )d M ( x )d Wid x0012-15 图示阶梯形与横截面 A 的转角 A 。，承受载荷 F 作用。试用载荷法计算横截面 C 的挠度 C题 12-15 图解：设两种状态如下：1令 F 1；2在截面 A 处假想加一顺钟向力偶矩 M A 1 ，坐标示如图 12-15。9图 12-15三种弯矩方程为M x 1 x , 1M x F xM x1 1 x,1111133a 13a3M x 1 x , M x F xM x2 1 x

11、,2222233M x 2 x ,13aM x 2F x M x3 x ,3333333依据载荷法，有 1 aF 1 1 a 22F xa( x1 )(x1 )dx1(x)()dxCEI332EI2EI33a 13Fa()54EI及 1 EIxF 1 2EIxF 1 x2Fa2 aa (1 )(x )dx (1 )(x )dx 12()(x )dx3A1122333a33a32EI3a30a02 31Fa（）108EI12-16 图示含梁间铰的组合梁，外伸段承受均布载荷 q 作用。试用链两侧横截面间的相对转角 。二梁各截面的弯曲刚度均为 EI。载荷法计算该铰题 12-16 图解：求 的状态及坐

12、标取法示如图 12-16。图 12-16两种弯矩方程为10qM x 0,M x x21112M x 1 x2 ,M x qa x222a2M x 1 x3 ,M x qa x333a2由此得到qa33EI 1 EIxqa 1 EIxqaaa (1 )(x )dx (1 )(x )dx 23（）2233a2a20012-17 图示桁架，在节点 B 处承受载荷 F 作用。试用B 与杆 AB 的转角。各杆各截面的拉压刚度均为 EA。载荷法计算该节点的水平位移题 12-17 图( a) 解：求 B 和 AB 的状态分别示如图 12-17a（1）和 a（2）。图 12-17a求B 的运算过程列表如下：1

13、1iliF NiF1a332a33故有3F Ni FNili3FaB i 1求 AB 的运算过程列表如下： EA12EA（）故有3F Ni FNili 5 3F（）ABEA6EAi 1( b) 解：求B 和 AB 的状态分别示如图 12-17b（1）和 b（2）。图 12-17b求B 的运算过程列表如下：FliiF Ni1a112iliF NiF1a23aF2 3 F32a 1 3aF3 F33a 1 3aF23 F65 3 F63a363 Fa12故有(2 2 2 )Fa5F Ni FNiliB i 1（）EAEA求 AB 的运算过程列表如下：故有 (2 45F Ni FNili2 )F（）

14、ABEAEAi 112-18 图示刚架，弯曲刚度 EI 为常数。试用水平或铅垂位移。载荷法计算截面 A 的转角及截面 D 的13iliF NiF1a1aFF22a2a2F2 2F3a0F042a2a2F2 2F5a 1aFF2 4 2 F22a02F03a142a22F2 2Fa5a0F02 2 2 Fa题 12-18 图( a) 解：求 A 及D 的状态分别示如图 12-18a（1）和（2）。图 12-18a弯矩方程依次为q M x 1,M x1 x ,M x qax x2111112M x 1 x , M x qa xM x2 a,2222a2 M x 0,M x3 x ,M x 0333

15、依据载荷法，有 A （）及D （）( b)解：求 A 及 D 的状态如图 12-18b（1）和 b（2）所示。14图 12-18b弯矩方程为M eM x 1 x, 1 x,M x Mxxa2a注意到 BC 段的 M 和 M 均为 0，AB 段的 M 为 0，于是得到 1 xMM e aa A ()(x)dx e（）EIaa3EI0a21EIxMMaD x)dx e()(e（）2a6EI012-21 图示圆截面刚架，横截面的直径为 d，且 a =10d 。试按下述原则计算节点 A 的铅垂位移 A ，并进行比较。同时考虑弯矩与轴力的作用；只考虑弯矩的作用。题 12-21 图解：令 F=1 即为求A

16、 的状态，坐标 x 自下顺轴线向上取。（1）考虑 M 与 FN 同时作用M x 2 x,M x 2 Fx4415利用对称性，Fa3Fa16030F2EI22222a (x)(Fx)dx ()(F )a （）A44EA4412EI4EA3Ed0（2）只考虑 M 作用此时，有Fa316000FA 12EI3Ed（）比较可知，后者只比前者小 0.2%。12-23 图示变截面梁端承受集中载荷 F = 1kN 作用，材料的弹性模量 E =200GPa。试用载荷法计算截面 A 的挠度。题 12-23 图解：令 F=1 即为求 A 的状态，自 A 向左取坐标 x，则有M x x,M x Fx梁截面之惯性矩为

17、x1.000 107b( x)h30.0103I z x (0.020 ) 5 (0.100 x)12126由此得6 1103 0.0560943x2M ( x)M ( x)6Fl0 400A dx 0.100 x dx 107 200 109m7EI ( x)10 E00z 0.01683m 16.83mm （）12-24 图示结构，在截面 C 处承受载荷 F 作用。试用载荷法计算该截面的铅垂位移C 与转角 C 。梁 BC 各截面的弯曲刚度均为 EI，杆 DG 各截面的拉压刚度均为 EA。16题 12-24 图解：令 F=1 作为求C 的状态；求 C 的状态如图 12-24 所示，坐标取法亦

18、示于图中。图 12-24梁的弯矩方程为 M x x ,M x1 1,M x Fx1111x M x2 2 , M x x ,M x Fx2222a杆的轴力为 2FN F N2,依据载荷法，得2Fa32EI1EA8 2FaaC ( x)(Fx )dx (22 )(22a) 2F )(（）1113EIEA0及1EIax(1)(Fx )dx ( 2 )(Fx)dx (2 )(2 2F )( 2a)1a C1122aEAa005Fa 24 2F（）6EIEA12-26 图示结构，在铰链 A 处承受载荷 F 作用。试用间的相对转角 。各曲杆各截面的弯曲刚度均为 EI。载荷法计算该铰链两侧横截面17题 1

19、2-26 图解：求 的状态如图 12-26 所示。图 12-26自 A 处量起，弯矩方程为M FR sin cos 1M cos,注意到左右对称，2 2 EI ) FR (sin cos 1)Rd 2 (cos20( 2)FR22FR 2(sincos cos cos )d 2EI4EI0（）12-28 图示圆弧形小曲率杆，横截面 A 与 B 间存在一夹角为 的微小缝隙。试问在横截面 A 与 B 上需加何种外力，才能使该二截面恰好密合。设弯曲刚度 EI 为常数。题 12-28 图解：设在 A、B 面上需加一对力偶矩 Me 及一对力 F 后可使二截面恰好密合，现确定 Me 及 F之值。载荷状态及

20、求 A/ B 、 A / B 的状态分别示如图 11-28（a）,（b）和（c）。18图 12-28弯矩方程依次为 R1 cos M M FR1 cos ,M 1,Me根据载荷法，有 2 EI2R(1)M e FR(1 cos )Rd (M FR)A / BeEI02R223EIR(1 cos )M FR(1 cos )Rd (M e 2 FR)A / BeEI0根据题意要求，应有 A / B , RA / B由此得EI F 0,M e2R2R 的力偶，可使缝隙处该二截面恰好密合。 EI结论：加一对矩为 M e12-29 图示开口平面刚架，在截面 A 与 B 处作用一对与刚架平面垂直的集中力

21、F。试用载荷法计算该二截面沿载荷作用方向的相对线位移 A / B 。弯曲刚度 EIy 与 EIz 以及扭转刚度 GIt均为常数，且 Iy=Iz= I 。题 12-29 图解：求A / B 的状态及路径分段坐标示如图 12-29。19图 12-29载荷状态及状态的弯矩方程依次为M x1 Fx1,M x2 Fx2 ,M x3 Fx3 ,M x1 x1 M x2 x2M x3 x3两种状态的扭矩方程依次为T x Fl ,T x l2222T x3 Fl,根据载荷法，并据 I y I z I ，T x3 l1l Fl 21EI1EI1EI1GIl / 2ll / 2l / 20 2Fx dx 2Fx

22、dx 2dx Fx dx 22A / BFl dx3 1122233GI40000tt33 5Fl 3Fl（）6EI2GI t12-30 图示圆弧形小曲率杆，承受矩为 Me 的力偶作用。试用扭转角 A 与铅垂位移A 。弯曲刚度 EI 与扭转刚度 GI t 均为常数。载荷法计算截面 A 的题 12-30 图20解：求 A 和A 的状态俯视图如图 12-30a 和 b 所示。图 12-30求 A 的弯矩、扭矩方程依次为M sin ,T cos ,由此得M M esinT M e cos2Rd M e R M e R 1 EI 1 GI tM esin 2RdM ecos（）A2EI2GI t00求

23、A 的状态的弯矩，扭矩方程依次为 Rsin , R1 cos MT由此得1EI1GItMR2MR2M Rsin Rd M R(cos cos )Rd A 22e2EIe2GIt（）ee0012-31 图示桁架，在节点 C 承受载荷 F 作用。试用载荷法计算该节点的铅垂位移 y与水平位移 x 。各杆的材料相同，应力-应变关系呈非线性，拉伸时为 c ，压缩时亦同，其中 c 为已知常数。各杆的横截面面积均为 A。题 12-31 图21解：1令 F=1 作为求y 的状态；求x 的状态及各杆示如图 12-31。图 12-312内力计算结果及杆长列于下表：3建立li 与 FNi 的关系根据 c （压缩时为

24、 c ）得 2 c 2或写成 l2F 2N c 2A2c 2l由此得F 2lF 2 ll N , Ni i l（拉取“”号，压取“”号）iA2 c 2A2 c 24求位移根据载荷法及以上内力结果，得22iF NiFNiFNili1010l210Fl310Fl4000l5202F2l6F 2l5 F Ni li i1y （）A2 c 25 FNi li 0 xi112-33 图示等截面刚架，杆 AB 的左侧及杆 BC 的顶面的温度升高 T1，另一侧的温度升高 T2，并沿截面高度线性变化。试用载荷法计算截面 C 的铅垂位移 y 、水平位移 x 与转角 C 。横截面的高度为 h，材料的线膨胀系数为

25、l 。题 12-33 图解：1求d 和d设T2 T1 ，由题 12-32 之解可知， l T2 T1 dx , l T2 T1 dxddh22求截面 C 的位移求y ，x 和 C 的状态依次示如图 12-33a,b 和 c。图 12-33由图 a 可知，M x1 x1 ,M x2 l, 1F N 2由此得23 T T T T T T lll x dx l dx l21l211l21dxy1122hh20003l 2 T T l T T l21 l21 （）2h2由图 b 可知，M x2 x2 1,F N由此得l T T l 2T T T T T T x ldx1 l x2 dx2 1l212l21