第10课时13.4课题学习　最短路径问题

1、【学习目标】 能利用轴对称和平移的知识解决路径最短的问题。【学习重、难点】 重难点：能利用轴对称和平移的知识解决路径最短的问题。【预习导学】1、自学1：自学课本P8586页“问题1”，掌握在直线上找一点到直线同侧两点距离和最短的问题，完成下列填空。10分钟点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上打到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短。解：连接AB交直线l于点P，则根据“两点之间，线段最短”，可得AP+BP最短。则点P即为所求。如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 分析：如果我们能把点B移到l的另一侧B处，同时

2、对直线l上的任一点C，都保持CBCB，就把问题转化为第题的情况了。如果直线l上的任一点到B、B的距离都相等，则说明直线l是线段BB的 垂直平分线 ，则点B与点B关于直线l对称。解：作点B关于直线l的对称点B,连接点A、B交直线l于点P， 则根据“两点之间，线段最短”，可得AP+BP最短。理由如下：在直线l上取任意一点P（不与点P重合），连接AP、BP、BP，在APB中，根据两边之和大于第三边，可得ABAP+PB，而因为点B与点B关于直线l对称，则PBPB，所以AP+PBAP+PBAB，则AP+PBAP+PB。第10课时13.4课题学习最短路径问题【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上

3、台展示并讲解思路。5分钟1、如图，某牧童在A外放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且ACBD，若A到河岸CD的中点的距离为500米。牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水所走的路程最短？试通过作图找出这个点；最短路程是多少？解：作点A关于直线b的对称点A，连接AB交直线b于点E，则AE+BEAE+BEAB，根据两点之间线段最短，AE+BE的路程最短。点A与点A关于直线b对称 AEAE，ACAC AECAEC BEDAEC AECBED ACEBDE90，ACBD AECBED(AAS) ECED，BEAE 点A到河岸CD的中点的距离为500米 BEAE500 AE

4、+BE1000（米），即最短路是1000米。【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟探究1 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。） 分析：因为河岸宽度是固定的，所以当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小，这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能够通过将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A，则AAMN，AM+NBAN+NB，当AB在一条直线上时，根据“两点之间，线段最短”，可得AN+NB

5、的值最小，则路径AMNB最短。解：在直线a上取任意一点M，作MNb于点N，平移AM，使点M移动点N的位置，点A移动到点A的位置，连接AB交直线b于点N，过点N作MNa于点M，则路径AMNB最短。理由如下：如图，点M为直线a上任意一点（不与点M重合）， 线段AN是线段AM平移得到的 AAMN，ANAM AM+MN+BNAN+AA+BN MN平行AA且MNAA MN能够看作是AA经过平移得到的 ANAM AM+NBAN+NB 根据两点之间线段最短，得AN+NBABAN+BN AM+NBAM+BN MNMN AM+MN+NBAM+MN+NB，即路径AMNB最短。【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组

6、活动后，小组代表展示活动成果。10分钟探究1 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。） 分析：因为河岸宽度是固定的，所以当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小，这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能够通过将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A，则AAMN，AM+NBAN+NB，当AB在一条直线上时，根据“两点之间，线段最短”，可得AN+NB的值最小，则路径AMNB最短。解：在直线a上取任意一点M，作MNb于点N，平移AM

7、，使点M移动点N的位置，点A移动到点A的位置，连接AB交直线b于点N，过点N作MNa于点M，则路径AMNB最短。理由如下：如图，点M为直线a上任意一点（不与点M重合）， 线段AN是线段AM平移得到的 AAMN，ANAM AM+MN+BNAN+AA+BN MN平行AA且MNAA MN能够看作是AA经过平移得到的 ANAM AM+NBAN+NB 根据两点之间线段最短，得AN+NBABAN+BN AM+NBAM+BN MNMN AM+MN+NBAM+MN+NB，即路径AMNB最短。【点拨精讲】（3分钟） 1、在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出

8、最短路径的选择。 2、证明路线最短常采取作对称点的依法，利用两点之间线段最短及三角形三边关系来解决问题。，【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟探究1 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。） 分析：因为河岸宽度是固定的，所以当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小，这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能够通过将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A，则AAMN，AM+NBAN+NB，当

9、AB在一条直线上时，根据“两点之间，线段最短”，可得AN+NB的值最小，则路径AMNB最短。解：在直线a上取任意一点M，作MNb于点N，平移AM，使点M移动点N的位置，点A移动到点A的位置，连接AB交直线b于点N，过点N作MNa于点M，则路径AMNB最短。理由如下：如图，点M为直线a上任意一点（不与点M重合）， 线段AN是线段AM平移得到的 AAMN，ANAM AM+MN+BNAN+AA+BN MN平行AA且MNAA MN能够看作是AA经过平移得到的 ANAM AM+NBAN+NB 根据两点之间线段最短，得AN+NBABAN+BN AM+NBAM+BN MNMN AM+MN+NBAM+MN+N

10、B，即路径AMNB最短。第10课时13.4课题学习最短路径问题【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟1、如图，某牧童在A外放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且ACBD，若A到河岸CD的中点的距离为500米。牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水所走的路程最短？试通过作图找出这个点；最短路程是多少？解：作点A关于直线b的对称点A，连接AB交直线b于点E，则AE+BEAE+BEAB，根据两点之间线段最短，AE+BE的路程最短。点A与点A关于直线b对称 AEAE，ACAC AECAEC BEDAEC AECBED ACEBDE90，ACBD AECBED(AAS) ECED，BEAE 点A到河岸CD的中点的距离为500米 BEAE500 AE+BE1000（米），即最短路是1000米。第10课