数列求和课件资料

1、数列求和数列求和的方法将一个数列拆成若干个简单数列, 然后分别求和. 将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新数列(容易求和).一、拆项求和二、并项求和例 求和 Sn=12+23+n(n+1).例 求和 Sn=1-2+3-4+5-6+(-1)n+1n.三、裂项求和 将数列的每一项拆(裂开)成两项之差, 使得正负项能相互抵消, 剩下首尾若干项.n2Sn=- ,n 为偶数时, , n 为奇数时. n+1 2n(n+1)(n+2) 3 n+1n例 求和 Sn= + + .121231n(n+1)1四、错位求和 将数列的每一项都作相同的变换, 然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各

2、项相减.例 等比数列求和公式的推导. 五、倒序求和 将数列的倒数第 k 项(k=1, 2, 3, )变为正数第 k 项, 然后将得到的新数列与原数列进行变换(相加、相减等).例 等差数列求和公式的推导.典型例题(1)已知 an= , 求 Sn; n(n+1)2 2n+1 (2)已知 an= , 求 Sn; (2n-1)(2n+1) (2n)2 n2+2n n2+2n+12n2+2n 2n+1Sn=(3n+2)2n-1 Sn=3n-2n(公比为的等比数列) 23(4)Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1; 法1 Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+nn-(n-1) =n(1+2+3+

3、n)-21+32+n(n-1) =n(1+2+3+n)-12+22+(n-1)2-1+2+(n-1) 法2 Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1 =1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n) 而 an=1+2+3+n= n(n+1). 12(5)Sn=3n-1+3n-22+3n-322+2n-1. (3)Sn=Cn+4Cn+7Cn+10Cn+(3n+1)Cn; 0 1 2 3 n n(n+1)(n+2) 6 课后练习 1.已知数列 an 是等差数列, 且 a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求数列 an 的通项公式; (2)令 bn=an3n, 求数列 bn 前 n 项

4、和的公式.解: (1)设数列 an 的公差为 d, 则由已知得 3a1+3d=12, d=2. an=2+(n-1)2=2n. 故数列 an 的通项公式为 an=2n. (2)由 bn=an3n=2n3n 得数列 bn 前 n 项和 Sn=23+432+(2n-2)3n-1+2n3n 3Sn=232+433+(2n-2)3n+2n3n+1 将 式减 式得: -2Sn=2(3+32+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1. Sn= +n3n+1. 3(1-3n) 2又 a1=2, 2.将上题 (2) 中“ bn=an3n ” 改为“ bn=anxn(xR)”, 仍求 bn 的前 n

5、项和.解: 令 Sn=b1+b2+bn, 则由 bn=anxn=2nxn 得:Sn=2x+4x2+(2n-2)xn-1+2nxn xSn=2x2+4x3+(2n-2)xn+2nxn+1 当 x1 时, 将 式减 式得: (1-x)Sn=2(x+x2+xn)-2nxn+1= -2nxn+1. 2x(1-xn) 1-x Sn= - .2x(1-xn) (1-x)2 2nxn+1 1-x 当 x=1 时, Sn=2+4+2n=n(n+1); 综上所述, Sn= n(n+1), x=1 时, 2x(1-xn) (1-x)2 2nxn+1 1-x - , x1 时. 3.求和: Sn=1+(1+ )+(

6、1+ + )+(1+ + + ).121412121412n-1 121412n-1 解: an=1+ + + = =2- . 1- 121- 1212n-1 12n-1 Sn=2n-(1+ + + ) 121412n-1 =2n-2+ . 12n-1 4.求数列 n(n+1)(2n+1) 的前 n 项和 Sn.解: 通项 ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k,Sn=2(13+23+n3)+3(12+22+n2)+(1+2+n) n2(n+1)2 = + + 2n(n+1) 2n(n+1)(2n+1) 2= . n(n+1)2(n+2) 2 5.数列 an 中, an= + +

7、, 又 bn= , 求数列 bn 的前 n 项的和.n+1 1 n+1 2 n+1 n anan+1 2解: an= (1+2+n)= , n+1 1 2 nbn= =8( - ). 2 n2 n+12n+1 1 n1Sn=8(1- )+( - )+( - )+( - ) 1213121314n+1 1 n1=8(1- ) n+1 1 n+1 8n = . 6.已知 lgx+lgy=a, 且 Sn=lgxn +lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn, 求 Sn. 解: Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn,又 Sn=lgyn +lg(xyn-1)+lg

8、(xn-1y)+lgxn,2Sn=lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn)n+1 项 =n(n+1)lg(xy).lgx+lgy=a, lg(xy)=a.Sn= lg(xy)= a. n(n+1) 2 n(n+1) 2 注: 本题亦可用对数的运算性质求解: Sn= lg(xy)= a. n(n+1) 2 n(n+1) 2 Sn=lgxn+(n-1)+3+2+1y1+2+3+(n-1)+n, 8.求数列 1, 2+3, 4+5+6, 7+8+9+10, 的通项 an 及前 n 项和Sn.解: an= +1+ +2+ +nn(n-1) 2 n(n-1) 2 n(n-1

9、) 2 n2(n-1) 2 = + = n3+ n. n(n+1) 2 1212 Sn= (13+23+n3)+ (1+2+n)1212n(n+1) 2 = 2+ 1212n(n+1) 2 = (n4+2n3+3n2+2n). 187.求证: Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn=(n+1)2n. 0 1 2 n 证: 令 Sn=Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn. 0 1 2 n 又 Sn=(2n+1)Cn+(2n-1)Cn +3Cn+Cn, n n-1 1 0 2Sn=2(n+1)(Cn+Cn+Cn)=2(n+1)2n. 0 1 n Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn=(n+1)

10、2n.0 1 2 n 9.已知递增的等比数列 an 前 3 项之积为 512, 且这三项分别减去 1, 3, 9 后又成等差数列, 求数列 的前 n 项和.an n 解: 设等比数列 an 的公比为 q, 依题意得:a1a2a3=512a23=512a2=8.前三项分别减去 1, 3, 9 后又成等差数列,( -1)+(8q-9)=2(8-3) q=2 或 q= (舍去).q812an=a2qn-2=82n-2=2n+1.所求数列的前 n 项和 Sn= + + 122 223 2n+1 n2n+1 n-1 123 224 Sn= + + + 122n+2 n- 得: Sn= + + -2n+1

11、 1 122 123 122n+2 nSn= + + -12n 122 2n+1 n12=1- - .12n 2n+1 n 10.已知数列 an 中, a1=1, (2n+1)an=(2n-3)an-1(n2, nN*), 求数列 an 的前 n 项和 Sn. = . an-1 an 2n-3 2n+1 Sn=a1+a2+an 解: (2n+1)an=(2n-3)an-1, 则 = , , = , = . an-2 an-1 2n-5 2n-1 a2 a3 37a1 a2 15 = . a1 an (2n+1)(2n-1) 3 an=(2n+1)(2n-1)3 = ( - ). 321 2n-

12、1 1 2n+1 321 2n-1 1 2n+1 = (1- )+( - )+( - )+( - ) 2n+1 = . 解: (1) a1C -a2C +a3C =a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2. 222210 11.已知 an 是 首 项 为 a1, 公 比 为 q 的 等 比 数 列. (1)求和: a1C2-a2C2+a3C2, a1C3-a2C3+a3C3-a4C3 ; (2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论, 并加以证明; (3)设q1, Sn是an的前 n 项和, 求 S1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+ +(-1)nSn

13、+1Cn.00011122233n3210a1C -a2C +a3C -a4C =a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3. 3333(2) 归纳概括的结论为: a1C -a2C +a3C -a4C +(-1)nan+1C =a1(1-q)n, 其中, 3n210nnnnnn 为正整数. 证明如下: a1C -a2C +a3C -a4C +(-1)nan+1C 3n210nnnnn=a1C -a1qC +a1q2C -a1q3C +(-1)na1qnC 3n210nnnnn=a1C -qC +q2C -q3C +(-1)nqnC 3n210nnnnn=a1(1-q)n. a1C

14、-a2C +a3C -a4C +(-1)nan+1C =a1(1-q)n. 3n210nnnnn解: (3)记 t= , 则由 Sn=t(1-qn) 得: 1-q a1 0123nS1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+ +(-1)nSn+1Cn =t(1-q)Cn-(1-q2)Cn+(1-q3)Cn+ +(-1)n(1-qn+1)Cn 012n0123n-tqCn-qCn+q2Cn-q3Cn+ +(-1)nqnCn=tCn-Cn+Cn-Cn+ +(-1)nCn 012n3=t(1-1)n -tq(1-q)n =-tq(1-q)n, 从而有: 0123nS1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+

15、 +(-1)nSn+1Cn =-tq(1-q)n =- (1-q)n. 1-q a1q 11.已知 an 是 首 项 为 a1, 公 比 为 q 的 等 比 数 列. (1)求和: a1C2-a2C2+a3C2, a1C3-a2C3+a3C3-a4C3 ; (2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论, 并加以证明; (3)设q1, Sn是an的前 n 项和, 求 S1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+ +(-1)nSn+1Cn.00011122233n(1)证: 由已知 S1=a1=a, Sn=aqn-1, 当 n2 时, an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=a(q-

16、1)qn-2. 在 an中, 从第 2 项开始成等比数列. 12.数列 an 中, a1=a, 前 n 项和 Sn 构成公比为 q(q1) 的等比数列. (1)求证: 在 an中, 从第 2 项开始成等比数列; (2)当 a=250, q= 时, 设 bn=log2|an|, 求 |b1|+|b2|+|bn|.12an+1an = =q(n2), a(q-1)qn-2 a(q-1)qn-1 (2)解: 由(1)知 an= a, n=1, a(q-1)qn-2, n2. 当 a=250, q= 时, b1=log2|a1|=log2250=50, 12 n2 时, bn=log2|an|=log

17、2|250( -1)( )n-2|=51-n, 1212bn=51-n(nN*). 当 1n51 时, |b1|+|b2|+|bn| =(51-1)+(51-2)+(51-n) =51n-n(n+1) 2=- n2+ n; 101212当 n52 时, |b1|+|b2|+|bn|= + 50(50+1) 2(n-51)(1+n-51) 2= n2- n+2550. 101212 n2- n+2550, n52. 101212综上所述 |b1|+|b2|+|bn|=- n2+ n, 1n51, 101212=(50+49+1)+1+2+(n-51) =51n-(1+2+n) 合乐平台 mqu6

18、8hno 儿出来！这要烧着了，可不是闹着玩儿的！”说着就要跳下土圪台。郭氏赶快拉住她，说：“没有事儿，摇火团儿是三狗子的绝活儿，他掌握着分寸呢！你没有看见妞儿看得多高兴吗？就别去扫娃娃们的兴了！”刘氏只好继续提心吊胆地看着，发现这三狗子果然很会掌握分寸，每一次在妞儿面前变换花样儿都是有惊无险，也就慢慢放下心来。一会儿，裴氏发现青山从人群中挤出来了。再继续望去，呵，这小子往对面的一棵垂柳树下快步走去了很快，青海也出来了。左顾右盼一会儿以后，往南面儿人群外一溜儿小跑。顺着青海跑去的方向望去，一个穿了花裳儿的人影儿正在那儿招手呢！一会儿，俩人并肩走到旁边的树阴里看不清楚了裴氏无声地笑了。顺着裴氏的眼神儿，郭氏也看到了这一切。看着裴氏宽心的笑容，郭氏满怀歉意地说：“弟妹啊，很快了！等秀儿做了俺的媳妇以后，你也就可以当婆婆了！”裴氏高兴地点点头，说：“是啊，俺和他爹盼了好几年了哇！”刘氏也说：“俺家二壮也在等着了呢！等英子嫁给大壮以后，俺们就给二壮定了那门亲了！”郭氏问：“没有听你说过哇！也是咱们镇上的