复变函数课件：第五章 留数

1、第五章 留数1 孤立奇点 函数不解析的点为奇点.如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点. 将函数 f (z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|d 内展开成洛朗级数. 根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类.可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则孤立奇点z0称为 f (z)的可去奇点. f (z)= c0 + c1(z-z0) +.+ cn(z-z0)n +. 0|z-z0|d ,从而 f (z)在z0解析.所以z0称为可去奇点. 则在圆域 |z-z0| d 内就有 f (z)= c0 + c

2、1(z-z0)+.+cn(z-z0)n +.,由于 求 在 的去心邻域内的洛朗级数，有 解 如果约定 在 点的值为 1， 则 在 点 就解析了， 因此称 为 的可去奇点。 2. 极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项, 且其中关于(z-z0)-1的最高幂为 (z-z0)-m, 即 f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0 +c1(z-z0)+. (m1, c-m0),则孤立奇点z0称为函数 f (z)的m级极点. 上式也可写成 其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +. , 在 |z

3、-z0|d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为的 且g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.如果z0为 f (z)的极点, 由(*)式, 就有3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.综上所述: 我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.4.函数的零点与极点的关系则称 为 的零点； (1) 若 所谓函数 的零点就是方程 的根。 定义 设函数 在 处解析， (2) 若 在 处解析且 则称 为 的 m 阶零点。 对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的。 结论

4、 即在零点的一个小邻域内，函数无其它零点。 (1) 为 的 m 阶零点。 (2) 其中， (3) 在 内的泰勒展开式为 定理1 设函数 在 处解析，则下列条件是等价的： 收敛且解析 定理2 如果 z0 是 f (z)的m级零点, 则z0就是1/f (z)的 m级极点, 反过来也成立. 解 函数1/sin z的奇点显然是使sin z=0的点. 这些奇点是z=k (k=0,1,2,). 由于(sin z)|z=k = cos z|z=k =(-1)k 0, 所以z=k 一级极点亦称简单极点例 2 对 讨论函数 在 处的性态。例 35. 函数在无穷远点的性态 如果函数 f (z)在无穷远点 z= 的

5、去心邻域 R|z|内解析, 称点为 f (z)的孤立奇点.作变换 把扩充z平面上的去心邻域 R|z|+ 映射成扩充w平面上原点的去心邻域： f (z)在无穷远点 z= 的奇点类型,等价于j (w)在w=0的奇点类型。例题1例题2例题3 即z=是 f (z)的可去奇点, 极点或本性奇点, 完全看极限 是否存在(有限值), 为无穷大或即不存在又不是无穷大来决定.2 留数留数的定义及留数定理 如果函数 f (z)在z0的邻域D内 解析,那末根据柯西积分定理 但是, 如果z0为 f (z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域 0|z-z0|R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 一般就不

6、等于零.因此 f (z) = . +c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+. 0|z-z0|R 两端沿C逐项积分:称 C-1为 f (z)在 z0 的留数, 记作 Res f (z), z0, 即定理一(留数定理) 设函数 f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, ., zn 外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则Dz1z2z3znC1C2C3CnC证 把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正 向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有注意定理中的条件要满足。例如不能应用留数

7、定理。 求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中 (z-z0)-1 项的系数 c-1 即可. 但如果知道奇点的类型, 对 求留数可能更有利. 如果 z0是 f (z)的可去奇点, 则 Resf(z),z0=0 . 如果 z0 是本性奇点, 则只好将其按洛朗级数展开. 如果 z0 是极点, 则有一些对求 c-1有用的规则.2. 留数的计算规则规则2 如果 z0为 f (z)的m级极点, 则事实上, 由于f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,规则1 如果z0为 f (z)的一级极点, 则(z-z0)m f (z)=

8、c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+., 令两端 zz0, 同除(m-1)!即得规则2, 当 m=1时就是规则1。即得 规则3。由规则1, 得我们也可以用规则3来求留数:这比用规则1要简单些.例 5 解：所以 原式=例 4 解：z = 0为一级极点。3.在无穷远点的留数 设函数 f (z)在圆环域 R|z|内解析, C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分的值与C无关, 称其为f (z)在点的留数, 记作f (z)在圆环域 R|z|内解析： 理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。 这就是说, f (z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.定理二 如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末 f (z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.证：除点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n). 且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有z1z2z3znC1C2C3CnC 事实上, 在无穷远点的留数定义中