概率课件：第五章 大数定律及中心极限定理

1、5.1 大数定律5.2 中心极限定理 大数定律 及中心极限定理第五章 本章要解决的问题 2022/7/1121.为何能以某事件发生的频率 作为该事件的概率的估计？2.为何能以样本均值作为总体 期望的估计？3.为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？4.大样本统计推断的理论基础 是什么？大数定律中心极限定理 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率一、大数定律主要：(1) 频率稳定性(2) 大量测量结果算术平均值的稳定性。 定理 设随机变量X的数学期望E(X)= , 方差D(X)=2, 则对任意的正数，有 -切比雪夫(cheb

2、yshev)不等式切比雪夫不等式证明:（X为连续型）设X的概率密度为f(x)，则(1)这个不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下事件 |x-| 0,有【注】 辛钦大数定理不要求随机变量的方差存在.它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.证由切比雪夫不等式即推论1（伯努利大数定律）设nA是n 次独立重复试验中A发生的次数.p 是事件A在每次试验中发生的概率, 则对任意 0,有因而 E(Xk)=p， (k=1,2,.),由辛钦大数定理证:因为有即 1. 伯努利大数定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性.【注】2.伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法. 在实际应用中，当试验

3、次数很大时，往往用事件发生的频率来代替事件的概率 二、中心极限定理中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常需考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.瞄准时的误差，如空气阻力所产生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.对我们来说重要的是这些随机因素的总影响. 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.现在我们研究独立随机变量之和的规律性问题：1.当n无限增大时，这个和的极限分布是什么？2.在什么条件下极限分布是正态分布？3. 考虑n个随机变量之和的

4、标准化的随机变量的分布函数的极限.定理1 设随机变量X1,X2,Xn, 相互独立,服从同一分布,且 E(Xk)=，D(Xk)=20 (k=1,2, .) ,则定理表明,当n充分大时,Yn近似服从标准正态分布.的分布函数Fn(x)满足:对任意实数x，有(证明略)独立同分布的中心极限定理例1 一盒同型号螺丝钉共100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g ，求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率. 且解：设Xi 为第i个螺丝钉的重量, i=1,2,100.Xi相互独立同分布.于是, 一盒螺丝钉的重量为由中心极限定理定理2 (李雅普诺夫定理)设随机变量X1,X2,Xn,相互独立, E(Xk)=k，D(Xk)=2k 0 (k=1,2,.) , 当n充分大时，Zn的分布近似于标准正态分布.记,若存在 0,使得则随机变量的分布函数Fn(x) 对任意x，有(证明略)证 由4.2例知, n可以看成n个相互独立的服从同一(0-1)分布的随机变量X1,.,Xn之和，即 定理3 (棣莫弗-拉普拉斯定理)设随机变量n(n=1,2,)服从参数为n，p(0 p 30000=PX152022/7/11252022/7/11262022/7/1127 0 1 2 0.05 0.