理论力学A课本习题答案：5第五章习题解答

1、PAGE 动力学第五章部分习题解答5-2解：M1gM2gFI2FI1x2x1取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重物的重力。假设重物的加速度的方向竖直向下，则重物的加速度竖直向上，两个重物惯性力为：(1)该系统有一个自由度，假设重物有一向下的虚位移，则重物的虚位移竖直向上。由动力学普遍方程有：（2）根据运动学关系可知：M2gTa2（3）将(1)式和(3)式代入(2)式，可得对于任意有：方向竖直向下。取重物为研究对象，受力如图所示，由牛顿第二定律有：解得绳子的拉力。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。零势面5-4解：该系统为保守系统，有一个自由

2、度，取为广义坐标。系统的动能为：取圆柱轴线O所在的水平面为零势面，系统的势能为：拉格朗日函数，代入拉格朗日方程有：整理得摆的运动微分方程为：h零势面5-6解：该系统为保守系统有一个自由度，取弧坐标为广义坐标。系统的动能为：取轨线最低点O所在的水平面为零势面，系统的势能为：由题可知，因此有：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理得摆的运动微分方程为：，解得质点的运动规律为：，其中为积分常数。零势位5-13解：1.求质点的运动微分方程圆环（质量不计）以匀角速度绕铅垂轴AB转动，该系统有一个自由度，取角度为广义坐标。系统的动能为：取为零势位，系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理得

3、质点的运动微分方程为：2.求维持圆环作匀速转动的力偶如果求力偶，必须考虑圆环绕铅垂轴AB的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB匀速转动”这一约束，将力偶视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度和圆环绕轴AB的转角为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以代替，则拉格朗日函数为：力偶为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力偶所作的虚功为，因此力偶对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下力偶所作的虚功为，因此力偶对应于广义坐标的广义力；代入拉格朗日方程，整理可得：代入拉格朗日方程，整理可得：圆环绕铅垂轴AB匀速转动，即：，代入上式可得：5-14解： 以该物体为研究对象

4、，有一个自由度，取和OC的夹角为广义坐标。若以框架为动系，则物体的相对运动是以角速度绕轴的定轴转动，牵连运动是以角xzyzGO3垂直于O1O2的平面y速度绕轴的定轴转动，物体的绝对角速度是和的矢量之和。为了方便起见，以为轴，为轴，如图建立一个固连在物体上的坐标系，该刚体的角速度可表示成：。由于坐标系的三个坐标轴为过点的三个惯量主轴，则系统的动能为：取为零势位，系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理后，可得物体的运动微分方程为：5-15解：框架（质量不计）以匀角速度绕铅垂边转动，该系统是保守系统，有一个自由度，取AB杆与铅垂边的夹角为广义坐标。若以框架为动系，AB杆上任意一点的速

5、度是该点相对于框架的相对速度和随框架运动的牵连速度的矢量和，且相对速度和牵连速度相互垂直, 因此杆AB的动能可表示为相对于框架运动的动能和随框架转动的动能之和。AB杆相对于框架作平面运动，速度瞬心为O点，设AB杆的质心为C，由几何关系可知，则质心为C的速度：CO杆AB相对于框架运动的动能：杆AB随框架转动的动能系统的动能。取为势能零点，则系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理得系统的运动微分方程为：由于角描述的是杆AB相对于框架的位置变化，因此上式也就是杆的相对运动微分方程。5-17解：取楔块A，B构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块A水平滑动的位移，以及楔块B相对

6、于A的沿斜面滑动的位移为广义坐标。若以楔块A为动系，楔块A的速度，楔块B的速度，以及B相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）：xs系统的动能为：取过轴的水平为零势面，系统的势能为： 则拉格朗日函数：将水平力视为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力所作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下力所作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔块A的加速度：，方向水平向右。楔块B的相对加速度：，方向沿斜面向上。x零势面5-18解：取楔块ABC和

7、圆柱构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度，取楔块水平滑动的位移，以及圆柱的转角（A点=0）为广义坐标。若以楔块为动系，楔块的速度，圆柱轴心O的速度，以及轴心O相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）：圆柱在斜面上作纯滚动有：。系统的动能为： 取过楔块上A点的水平为零势面，系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔块的加速度：，方向水平向左。圆柱的角加速度：，顺时针方向。5-21解：以三个重物和滑轮构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度（如图所示）。设重物的坐标为，重

8、物相对于滑轮B的轮心的位置为。系统的动能为：x1x2设时系统的势能为零，则任意位置系统的势能为：拉格朗日函数：代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得重物的加速度：， 初始时刻系统静止，若使下降则，即：5-22解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取平台的水平坐标，以及物体相对于平台的坐标（弹簧原长为坐标原点）为广义坐标。系统的动能为：xs设初始时刻势能为零，系统的势能为：则拉格朗日函数：将水平力视为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力所作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下力所

9、作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得： （2）由方程(1)可得：（3）代入方程(2)得：（4）解微分方程（4）得：，其中：。求导得：，代入方程(3)可得：平台的加速度：，方向水平向右。物体M的加速度：，方向水平向右。5-27解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块的水平坐标，以及杆AB与铅垂方向的夹角为广义坐标。系统的动能为：设时势能为零，系统的势能为：拉格朗日函数：拉格朗日函数中不显含广义坐标和时间t，存在循环积分和广义能量积分，即：常数常数C5-28解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块B沿斜面的坐标，以及杆OD与铅垂方向的夹角为广义坐标。杆OD作平面运动，有：则系统的动能为：设时势能为零，系统的势能为：拉格朗日函数中不显含时间t，存在广义能量积分，即：常数5-29解：以