概率课件：第二章 随机变量及其分布1

1、第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量2.2 离散型随机变量的概率分布2.3 随机变量的分布函数2.4 连续型随机变量的概率密度2.5 随机变量的函数的分布 便于数学上的推导和计算，需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念1. 为什么引入随机变量?2.1 随机变量2. 随机变量的引入实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色. =红色、白色 非数量将 数量化 可采用下列方法 红色白色即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.这样便将非数量的 =红色，白色 数量化了.实例2 抛掷骰子,观察出现的点数. =1，2，3，4

2、，5，6样本点本身就是数量恒等变换且有则有练习 在有两个孩子的家庭中,考虑其性别， 共有 4 个样本点:若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有可得定义在样本空间上的实函数 X(e),一般地，X(e)写为X，Xxe|X(e) x。3. 随机变量的定义eX(e)RX 设 是随机试验E的样本空间。若对每一个样本点e,都对应着一个实数X(e)，则称X( ) 为定义在 上的随机变量( random variable) ，简记为X。通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母,等表示，而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.(2)随机变量随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取

3、值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.(1)普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数)；说明：随机变量与普通的函数不同 (3)由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.(指示变量(示性函数)P3) 有了随机变量, 随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量. 事件收到不少于1次呼叫没有收到呼叫 X 1X= 0 事件及事件概率随机变量及其取值规律随机变量的分类离散型随机变量连续型非离散型其它(i)离

4、散型 随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个, 叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数X.随机变量 X 的可能值是 :实例11, 2, 3, 4, 5, 6.实例2 若随机变量X 记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X的可能值是: (ii)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.实例3 随机变量X为“灯泡的寿命”.则 X 的取值范围为 解：分析例 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当 0.15

5、X1/2。得a=1/6 解:（1）由分布律性质（2）例3. 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有信号灯的路口，每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过，且信号灯工作相互独立， 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布.解: 依题意, X可取值0, 1, 2, 3. PX=0=P(A1)=1/2, Ai=第i个路口遇红灯, i=1,2,3设路口3路口2路口1路口3路口2路口1PX=1=P( )= 1/4=1/8PX=3= P( )路口3路口2路口1不难看到X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数Ai=第i个路口遇红灯, i=1,2,3设路口3路口2路口1 PX=2=

6、P( )=1/8即X 0 1pk 1-p p二、三种常用离散型随机变量的分布1.两点分布 （0-1）分布的分布列：则称X服从参数为 p 的(0-1)分布 或 两点分布 PX =1=p， PX =0=1-p (0p1)，或：如果随机变量X只能取0,1两个值，其分布律为实例 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况. X 服从 (0-1) 分布.其分布律为 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 都可用两点分布描述.比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,【注】n重伯努利试验有下面四个约定： （1）每次试验的结果只能是两个可能的 结果A和A之一,（2）A在每次试验

7、中出现的概率p保持不变,（3）各次试验相互独立,（4）共进行了n次.n重Bernoulli试验：设E为伯努利试验， 将E独立地重复进行n次Bernoulli（伯努利）试验：只有两个可能的结果 A和A的试验2.二项分布（binomial distribution)：定理 n重伯努利试验,事件A在n次试验中出现k次 的概率为 证明：由n重贝努里试验定义，事件A在某指定的k次试验中出现，而在其余n-k次试中不出现的概率为 pk(1-p)n-k = pkqn-k 而在n次试验中事件A发生k次共有Cnk种不同情况，对应的事件为互不相容的，由概率的有限可加性其中,X 表示n次伯努利试验中,事件A出现的次数

8、.显然，例4 袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.解 每取一个球看作是做了一次Bernoulli试验记取得白球为事件 A ，有放回地取4个球看作做了 4 重Bernoulli 试验。设4次试验中A 发生的次数为X,则A发生2次的概率为定义：若离散型随机变量X的分布律为其中0p（2），说明尽管情况2任务重了（一个人修27台），但工作质量提高了，也说明，概率方法可用来讨论国民经济中某些问题，以使达到更有效地使用人力、物力、资源的目的，这是运筹学的任务，概率论是解决运筹学问题的有力工具。（2）设X为80台中同一时刻发生故障的机器数，X B(80，0.01)，X取值：0，1，2，80 几何分布：某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的概率函数（即分布率）.解: X 可能取的值是1,2, ， P(X=1)=P(A1)=p, 为求 P(X =k )， k = 1,2, Ak = 第k发命中，k =1, 2, ，设于是即 若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布. 不难验证:几何分布作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.几何分布的无记忆性 P41超几何分布： 对于离散型随机变量，如果知道它的概率分布（分布率）,也就知道了该随机变量取值的概率规律