理论力学A课本习题答案：理论力学习题答案

1、静力学第一章习题答案1-3 试画出图示各结构中构件AB的受力图 1-4 试画出两结构中构件ABCD的受力图1-5 试画出图a和b所示刚体系整体合格构件的受力图1-5a1-5b 8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，机构在图示位置平衡。试求二力F1和F2之间的关系。解：杆AB，BC，CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示：F2FBCFABB45oyxFBCFCDC60oF130oxy由共点力系平衡方程，对B点有： 对C点有： 解以上二个方程可得：解法2(几何法)FBCFCD60oF130o

2、F2FBCFAB45o分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。对B点由几何关系可知：对C点由几何关系可知： 解以上两式可得：静力学第二章习题答案2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束力。 解：BC为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）： 其中：。对BC杆有： A，C两点约束力的方向如图所示

3、。 2-4 解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC杆有： 对AB杆有： 对OA杆有： 求解以上三式可得：， ，方向如图所示。 /2-6求最后简化结果。 解：2-6a坐标如图所示，各力可表示为:， 先将力系向A点简化得（红色的）：，方向如左图所示。由于，可进一步简化为一个不过A点的力(绿色的)，主矢不变，其作用线距A点的距离，位置如左图所示。2-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：其作用线距A点的距离，位置如右图所示。简化中心的选取不同，是否影响最后的简

4、化结果？2-13 解：整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）：选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程： 求解以上五个方程，可得五个未知量分别为：（与图示方向相反）（与图示方向相同） （逆时针方向）2-18解：选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：求解以上两个方程即可求得两个未知量，其中：未知量不一定是力。2-27解：选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程：由和可求出。平衡方程可用来校核。思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？2-29解：杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向

5、沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程：(受拉)(受压)(受压)(受拉) 本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。2-31 力偶矩解：取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:补充方程：五个方程，五个未知量，可得方程：解得。当时有：即棒料左侧脱离V型槽，与提议不符，故摩擦系数。 2-33解：当时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：附加方程：四个方程，四个未知量，可求得。2-35解：

6、选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a，重为P，列平衡方程：如果棱柱不滑动，则满足补充方程时处于极限平衡状态。解以上五个方程，可求解五个未知量，其中：(1)当物体不翻倒时，则：(2)即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。静力学第三章习题答案FCxFCyFBxFBy3-10解：假设杆AB，DE长为2a。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：(与假设方向相反)(与假设方向相反)(与假设方向相反)3-12FCxFCyFD解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程

7、：取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：解得，命题得证。注意：销钉A和C联接三个物体。FAFB3-14 解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：即必过A点，同理可得必过B点。也就是和是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：解得：(方向如图所示)3-20解：支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa，作用在BC杆中点。列平衡方程

8、：(受压)DF3F2F1xy选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程： (受压) (受拉)选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(与假设方向相反) FAxFAyFBxFBy(逆时针)3-21解：选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程： (1)由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G，受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：。取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 代入公式(1)可得：3-24 解：取杆AB为研究对象，设杆重为P，受力如图所示。列平衡方程：取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：注意：由于绳子也拴在销钉

9、上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。3-27解：取整体为研究对象，设杆长为L，重为P，受力如图所示。列平衡方程：(1)取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(2)FAxFAyFNFsPP 补充方程：，将(1)式和(2)式代入有：，即。3-29证明：（1）不计圆柱重量法1：取圆柱为研究对象，圆柱在C点和D点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约束力来表示，如图所示。如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则等值，反向，共线。由几何关系可知，与接触点C，D处法线方向的夹角都是，因此只要接触面的摩擦角大于，不论F多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态。FNDFSDoF

10、AxFAy法2（解析法）：首先取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：再取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：取圆柱为研究对象，受力如图所示。假设圆柱半径为R，列平衡方程：由补充方程：，可得如果：则不论F多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。证明：（2）圆柱重量P时取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力P，C点和D点处的全约束力。如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于D点（如图所示）。全约束力与C点处法线方向的夹角仍为，因此如果圆柱自锁在C点必须满足：(1)该结果与不计圆柱重量时相同。只满足(1)式时C点无相对滑动，但在D点有可能滑动(圆柱作纯滚动)。再选杆AB为研究对象，对A点取

11、矩可得，由几何关系可得：(2)法1（几何法）：PFRDFRC圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。由几何关系可知：将(2)式代入可得：因此如果圆柱自锁在D点必须满足：(3)即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。法2（解析法）：取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：解得：，代入补充方程：，可得如果圆柱自锁在D点必须满足：(3)即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。3-30解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力，以及B和C处的约束力和，由三力平衡汇交，可确定约束力和的方向如

12、图所示，其中：，杆AC受压。取轮A为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于F点，列平衡方程：取轮B为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于G点，列平衡方程：解以上六个方程，可得：， ， 若结构保持平衡，则必须同时满足：，即：，因此平衡时的最大值，此时：， 3-35解：由图可见杆桁架结构中杆CF，FG，EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： (受拉)(受拉)(受压)3-38解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(受压)取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：其中：，解以上两个方程可得：(

13、受压)3-40解：取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：ABC345FAyFAxFBCSS用截面S-S将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(受拉)(受拉)静力学第四章习题答案4-1解：1.选定由杆OA，O1C，DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为。2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角，相应的各点的虚位移如下：，代入可得：4.由虚位移原理有：对任意有：，物体所受的挤压力的方向竖直向下。4-5解：1.

14、选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力，且，将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有，以及重力。2. 该系统只有一个自由度，选定为广义坐标。由几何关系可知：3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移，则质心的虚位移为：弹簧的长度，在微小虚位移下：4.由虚位移原理有：其中，代入上式整理可得： 由于，对任意可得平衡时弹簧刚度系数为：4-7解：将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷，大小为。1.求支座B处的约束力解除B点处的约束，代之以力，并将其视为主动力，系统还受到主动力的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。系统有一个自由度，选

15、转角为广义坐标。给定虚位移，由虚位移原理有： (1)各点的虚位移如下：代入(1)式整理可得：对任意可得：，方向如图所示。2.求固定端A处的约束力解除A端的约束，代之以，并将其视为主动力，系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。2a.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原理有： (2)各点的虚位移如下：代入(2)式整理可得：对任意可得：，方向如图所示。2b.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理有： (3)各点的虚位移如下：代入(3)式整理可得：对任意

16、可得：，方向如图所示。2c.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时梁AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理有： (4)各点的虚位移如下：代入(4)式整理可得：对任意可得：，顺时针方向。4-8解：假设各杆受拉，杆长均为a。1求杆1受力去掉杆1，代之以力，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动，因此有，且：滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。三角形BEK绕B点旋转，且：对刚性杆CD和杆CE，由于，因此。由虚位移原理有： 代入各点的虚位移整理

17、可得：对任意可得：（受压）。2求杆2受力去掉杆2，代之以力，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有，且：同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转，且：杆AD绕A点转动，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图所示，且：同理可知。由虚位移原理有： 代入各点的虚位移整理可得：对任意可得：（受压）。3求杆3受力去掉杆3，代之以力，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，且：同理可知B点不动，且：由虚位移原理有： 代入各点的虚

18、位移整理可得：对任意可得：（受拉）。动力学第一章习题答案13解：运动方程：，其中。将运动方程对时间求导并将代入得 16xyo证明：质点做曲线运动,所以,设质点的速度为,由图可知:，所以: 将，代入上式可得 xyo证毕17证明：因为，所以：证毕y110解：设初始时,绳索AB的长度为,时刻时的长度为,则有关系式：，并且 将上面两式对时间求导得：，由此解得： （a）(a)式可写成：，将该式对时间求导得： (b)将(a)式代入(b)式可得：（负号说明滑块A的加速度向上）取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：将该式在轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：其中：将其代入直角

19、坐标形式的运动微分方程可得：AOAOBR111解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等，即： （a）因为 （b）将上式代入（a）式得到A点速度的大小为： （c）由于，（c）式可写成：，将该式两边平方可得：将上式两边对时间求导可得：将上式消去后，可求得： (d)由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为 AOBR取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：将该式在轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：其中：, 将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得113解：动点：套

20、筒A；动系：OA杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有：，因为AB杆平动，所以，由此可得，OC杆的角速度为，所以当时，OC杆上C点速度的大小为x115解：动点：销子M动系1：圆盘动系2：OA杆动系：机座；运动分析：绝对运动：曲线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动根据速度合成定理有， 由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即，由上两式可得： (a)将（a）式在向在x轴投影,可得：由此解得：117解：动点：圆盘上的C点；动系：OA杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动； 相对运动：直线运动（平行于O1A杆）； 牵连运动：

21、定轴转动。根据速度合成定理有 （a）将（a）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得：，根据加速度合成定理有 （b）将（b）式在垂直于O1A杆的轴上投影得其中：，由上式解得：119解：由于ABM弯杆平移，所以有取：动点：套筒M；动系：OC摇杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理 可求得：， 根据加速度合成定理 将上式沿方向投影可得：由于，根据上式可得：，1-20 MOAB解：取小环为动点，OAB杆为动系运动分析绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向

22、如图所示，其中：根据速度合成定理： 可以得到： ，MOAB加速度如图所示，其中：，根据加速度合成定理： 将上式在轴上投影，可得：,由此求得：121Oxy解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。取：动点：汽车B；动系：汽车A（Oxy）；定系：路面。运动分析绝对运动：圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）求相对速度，根据速度合成定理 将上式沿绝对速度方向投影可得： Oxy因此 其中：，由此可得：求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有：123 质量为销钉M由水平槽带动，使其在半径为的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速

23、向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。MOMO 解：销钉M上作用有水平槽的约束力和圆槽的约束力（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。MOMO 根据速度合成定理有 由此可求出： 。再根据加速度合成定理有：由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以，并且上式可写成：因为，所以根据上式可求出。根据矢量形式的质点运动微分方程有：将该式分别在轴上投影： 由此求出： 1-24 图示所示吊车下挂一重物M，绳索长为，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度

24、沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。M解：由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。根据质点相对运动微分方程有将上式在切向量方向投影有因为，所以上式可写成整理上式可得将上式积分：其中为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度，上式可写成初始时，系统静止，根据速度合成定理可知，由此确定。重物相对速度与摆角的关系式为：RRoFORRoO1-26 水平板以匀角速度绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图7-8），初始时小球相对静止且到转轴O的距离为，求小球到转轴的距离为时的相对速度。解：取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未

25、画出）。根据质点相对运动微分方程有：将上式在上投影有 因为，所以上式可写成整理该式可得，将该式积分有初始时,由此确定积分常数，因此得到相对速度为1-27 重为P的小环M套在弯成形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴以匀角速度转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。MM解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为，因为金属丝为曲线，所以，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有：其中：，将上式分别在轴上投影有 （a）以为，,因此 （b）由（a）式可得 （c）将代入（c），

26、联立求解（b）、（c）并利用，可得：再由方程（a）中的第一式可得动力学第二章习题答案2-1x 解：当摩擦系数足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力取整体为研究对象，受力如图，系统的动量：将其在轴上投影可得：根据动量定理有： 即：当摩擦系数时，平台AB的加速度为零。当摩擦系数时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为：将上式在轴投影有：根据动量定理有：由此解得平台的加速度为：（方向向左）2-2 x取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为：将上式在x轴投影：根据动量定理有：系统的运动微分方程为：y24 取提起部分为研究

27、对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为，提起部分的速度为，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为，方向向下，大小为（如图a所示）。(b)根据变质量质点动力学方程有：将上式在y轴上投影有：由于，所以由上式可求得：。再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：x25 将船视为变质量质点，取其为研究对象，受力如图。根据变质量质点动力学方程有：船的质量为：，水的阻力为将其代入上式可得：将上式在x轴投影：。应用分离变量法可求得由初始条件确定积分常数，并代入上式可得：2-8 图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转

28、轴的转动惯量为，质量为的质点沿半径为的圆周运动，其相对方板的速度大小为（常量）。圆盘中心到转轴的距离为。质点在方板上的位置由确定。初始时，方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。oM 图a 图 b解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为，其角速度为，于是有设质点M对转轴的动量矩为，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度。它对转轴的动量矩为其中：系统对z轴的动量矩为。初始时，

29、此时系统对z轴的动量矩为当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有，因此可得：由上式可计算出方板的角速度为211 取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为，则系统对O轴的动量矩为：P根据动量矩定理有：整理上式可得：由运动学关系可知：，因此有：。上式可表示成：令，上述微分方程可表示成：，该方程的通解为：根据初始条件：可以确定积分常数，于是方程的解为：系统的动量在x轴上的投影为：系统的动量在y轴上的投影为：根据动量定理：由上式解得：，214 取整体为研究对象，系统的动能为：其中：分别是AB杆的速度和楔块C的速度。若是AB杆上的A点

30、相对楔块C的速度，则根据复合运动速度合成定理可知：，因此系统的动能可表示为：，系统在能够过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：，系统的动力学方程可表示成：由上式解得：，ABAB217 质量为的均质物块上有一半径为的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。 图A 图B解：取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为

31、，物块的速度为，则系统的动能为设为势能零点，则系统的势能为根据机械能守恒定理和初始条件有，即系统水平方向的动量为：根据系统水平动量守恒和初始条件有由此求出，将这个结果代入上面的机械能守恒式,且最后求得：下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为，物块的加速度为，对于小球有动力学方程ABAB （a） 图C 图 D对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有 （b）将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得其中相对加速度为已知量，。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得领，联立求解三个投影可求出218

32、取小球为研究对象，两个小球对称下滑，设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有： （a）将上式对时间求导并简化可得： (b )每个小球的加速度为取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理将上式在y轴上投影可得： 将(a),(b)两式代入上式化简后得时对应的值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成上述方程的解为：，圆环脱离地面时的值为而也是方程的解，但是时圆环已脱离地面，因此不是圆环脱离地面时的值。z219 取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为，牵连速度为系统对z轴的动量矩守恒，有：

33、其中：，则上式可表示成：由此解得：其中：，根据动能定理积分式，有：其中：，将其代入动能定理的积分式，可得：将代入上式，可求得：由可求得：220 取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为应用动量矩定理，链条对O轴的动量矩为：外力对O轴的矩为：因为：，所以上式可表示成： 积分上式可得：由初始条件确定积分常数，最后得：动力学第三章习题答案33 取套筒B为动点，OA杆为动系根据点的复合运动速度合成定理可得：，研究AD杆，应用速度投影定理有：，再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理将上式在x轴上投影有：，34 AB构件（灰色物体）作平面运动，已知A点的速度CAB的速度瞬心位于C，应

34、用速度瞬心法有：，设OB杆的角速度为，则有设P点是AB构件上与齿轮I的接触点，该点的速度：齿轮I的角速度为：36 AB杆作平面运动，取A为基点根据基点法公式有：将上式在AB连线上投影，可得因此，因为B点作圆周运动，此时速度为零，因此只有切向加速度（方向如图）。根据加速度基点法公式将上式在AB连线上投影，可得，xy（瞬时针）37 齿轮II作平面运动，取A为基点有将上式在x 投影有：由此求得：xy再将基点法公式在y轴上投影有：，由此求得再研究齿轮II上的圆心，取A为基点将上式在y轴上投影有，由此解得：再将基点法公式在x轴上投影有：由此解得：，又因为由此可得：39 卷筒作平面运动，C为速度瞬心，其上

35、D点的速度为，卷筒的角速度为角加速度为卷筒O点的速度为：O点作直线运动，其加速度为 OCB研究卷筒，取O为基点，求B点的加速度。将其分别在x,y轴上投影同理，取O为基点，求C点的加速度。将其分别在x,y轴上投影P310 图示瞬时，AB杆瞬时平移，因此有：AB杆的角速度：圆盘作平面运动，速度瞬心在P点，圆盘的的角速度为：圆盘上C点的速度为：AB杆上的A、B两点均作圆周运动，取A为基点根据基点法公式有将上式在x轴上投影可得：因此：由于任意瞬时，圆盘的角速度均为：BC将其对时间求导有：，由于，所以圆盘的角加速度。圆盘作平面运动，取B为基点，根据基点法公式有：P313 滑块C的速度及其加速度就是DC杆

36、的速度和加速度。AB杆作平面运动，其速度瞬心为P，AB杆的角速度为：杆上C点的速度为：取AB杆为动系，套筒C为动点，根据点的复合运动速度合成定理有：其中：，根据几何关系可求得： AB杆作平面运动，其A点加速度为零，B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知由该式可求得由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为：再去AB杆为动系，套筒C为动点，根据复合运动加速度合成定理有：其中牵连加速度就是AB杆上C点的加速度即：将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有：科氏加速度，由上式可求得：3-14：取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运

37、动为圆周运动；牵连运动为直线平移。由速度合成定理有：OAB图 A 速度图如图A所示。由于动系平移，所以，根据速度合成定理可求出： 由于圆盘A在半圆盘上纯滚动，圆盘A相对半圆盘的角速度为： 由于半圆盘是平移，所以圆盘的角速度就是其相对半圆盘的角速度。再研究圆盘，取为基点根据基点法公式有：OAB图 BO图 C为求B点的加速度，先求点的加速度和圆盘的角加速度。取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，根据加速度合成定理有 （a）其加速度图如图C所示，将公式（a）在和轴上投影可得：由此求出：，圆盘的角加速度为：下面求圆盘上B点的加速度。取圆盘为研究对象，为基点，应用基点法公式有： （b）OB图 D将（b）式分别

38、在轴上投影： 其中：，由此可得：315（b） 取BC杆为动系（瞬时平移），套筒A为动点（匀速圆周运动）。根据速度合成定理有：由上式可解得：因为BC杆瞬时平移，所以有：Pyx315（d） 取BC杆为动系（平面运动），套筒A为动点（匀速圆周运动）。BC杆作平面运动，其速度瞬心为P，设其角速度为根据速度合成定理有：根据几何关系可求出：将速度合成定理公式在x,y轴上投影:由此解得:DC杆的速度3-16(b) BD杆作平面运动,根据基点法有:由于BC杆瞬时平移,上式可表示成:将上式在铅垂轴上投影有:由此解得:再研究套筒A,取BC杆为动系（平面运动），套筒A为动点（匀速圆周运动）。y (a)其中:为科氏加

39、速度,因为,所以动点的牵连加速度为: 由于动系瞬时平移,所以,牵连加速度为,(a)式可以表示成将上式在y轴上投影:由此求得:yx316(d) 取BC杆为动系，套筒A为动点，动点A的牵连加速度为动点的绝对加速度为其中为动点A的科氏加速度。将上式在y轴上投影有上式可写成 (a)其中：（见315d）为BC杆的角加速度。再取BC杆上的C点为动点，套筒为动系，由加速度合成定理有其中，上式可表示为yx将上式在y轴投影有：该式可表示成： （b）联立求解(a),(b)可得317 AB杆作平面运动，其速度瞬心位于P，POR可以证明：任意瞬时，速度瞬心P均在以O为圆心，R为半径的圆周上，并且A、O、P在同一直径上

40、。由此可得AB杆任何时刻的角速度均为 杆上B点的速度为：AB杆的角加速度为：ORxy取A为基点，根据基点法有将上式分别在x,y轴上投影有xy318 取DC杆上的C点为动点，构件AB为动系根据几何关系可求得：再取DC杆上的D点为动点，构件AB为动系由于BD杆相对动系平移，因此将上式分别在x,y轴上投影可得xy求加速度：研究C点有将上式在y轴投影有由此求得再研究D点由于BD杆相对动系平移，因此将上式分别在x,y轴上投影有321 由于圆盘纯滚动，所以有根据质心运动定理有：根据相对质心的动量矩定理有求解上式可得：，若圆盘无滑动，摩擦力应满足，由此可得：当：时，322 研究AB杆，BD绳剪断后，其受力如

41、图所示，由于水平方向没有力的作用，根据质心运动定理可知AB杆质心C的加速度铅垂。由质心运动定理有：根据相对质心的动量矩定理有：刚体AB作平面运动，运动初始时，角速度为零。PA点的加速度水平，AB杆的加速度瞬心位于P点。有运动关系式求解以上三式可求得：AR325 设板和圆盘中心O的加速度分别为，圆盘的角加速度为，圆盘上与板的接触点为A，则A点的加速度为将上式在水平方向投影有 （a）取圆盘为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有 (b)应用相对质心动量矩定理有 (c)再取板为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有 (d ) 作用在板上的滑动摩擦力为： (e)由上式可解得：329 解：由于系统在运动

42、过程中，只有AB杆的重力作功，因此应用动能定理，可求出有关的速度和加速度。系统运动到一般位置时，其动能为AB杆的动能与圆盘A的动能之和：P其中：因此系统的动能可以表示成：系统从位置运动到任意角位置，AB杆的重力所作的功为： 根据动能定理的积分形式 初始时系统静止，所以，因此有将上式对时间求导可得：将上式中消去可得：根据初始条件，可求得初始瞬时AB杆的角加速度 因为，所以AB杆的角加速度为顺时针。初始瞬时AB杆的角速度为零，此时AB杆的加速度瞬心在点，由此可求出AB杆上A点的加速度：C333 设碰撞后滑块的速度、AB杆的角速度如图所示根据冲量矩定理有： (a)其中：为AB杆质心的速度，根据平面运

43、动关系有 (b)再根据对固定点的冲量矩定理：系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩，由于滑块的动量过A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为将其代入冲量矩定理有： (c) 由（a,b,c）三式求解可得： (滑块的真实方向与图示相反)334 研究整体，系统对A轴的动量矩为：其中：AC杆对A轴的动量矩为 设为BC杆的质心，BC 杆对A轴的动量矩为 根据冲量矩定理 可得：BC （a） 再研究BC杆，其对与C点重合的固定点的动量矩为根据冲量矩定理有： （b）联立求解（a）,(b) 可得335 碰撞前，弹簧

44、有静变形第一阶段：与通过完全塑性碰撞后一起向下运动，不计常规力，碰撞前后动量守恒，因此有：碰撞结束时两物体向下运动的速度为第二阶段：与一起向下运动后再回到碰撞结束时的初始位置，根据机械能守恒可知：此时的速度向上，大小仍然为第三阶段：与一起上升到最高位置，此时弹簧被拉长。根据动能定理有：上式可表示成：若使脱离地面，弹簧的拉力必须大于其重力，因此有，将代入上式求得：。若，则BA注：上述结果是在假设与始终粘连在一起的条件下得到的，若与之间没有粘着力，答案应为，如何求解，请思考。336 取AB杆为研究对象，初始时，杆上的A点与水平杆上的O点重合，当时系统静止，AB杆上A点的速度为，角速度为，初始时受到

45、冲击力的作用，应用对固定点O的冲量矩定理可得其中：BA由此解得当时，滑块A以加速度向右运动，取AB杆为研究对象，应用相对动点A的动量矩定理有：将上式积分并简化可得：其中C是积分常数由初始条件确定出。上式可表示成若AB杆可转动整圈，则应有，因此。若的最小值大于零，则AB杆就可以完成整圈转动。下面求的极值。将上式求导令其为零有求得极值点为当， 函数取最大值当， 函数取最小值，若使最小值大于零，则有由此求得动力学第四章习题答案P46 图示瞬时，AB杆的加速度瞬心位于P点，设其角加速度为，则质心加速度为： 根据动静法有： 47 （1）取AB杆和滑块C为研究对象AB杆平移，质心加速度如图所示 根据动静法

46、有： （2）滑块C无水平方向的作用力，其加速度铅垂向下，AB杆平移，其加速度垂直于AD，如图所示。两者加速度的关系为根据动静法有 由此求得：（3） 先研究滑块C根据约束可知：根据动静法有： 因为：，所以有关系式即： 再研究整体，应用动静法有 上式可表示成：由上式解得：， ，48 （1）研究AB杆，将惯性力向杆的质心简化，根据动静法有： ， ， （2）若，必有，因此当，49 设OA杆和AB杆的角加速度分别为。将各杆的惯性力向各自质心简化。研究整体，根据动静法有：，研究AB杆，根据动静法有： 上述平衡方程可简化为求解该方程组可得：ABC410 取圆盘A的角加速度为，AB杆的角加速度为设AB杆的质心

47、为C，其加速度为将惯性力分别向各刚体的质心简化。作用于AB杆质心C的惯性力为：PABC，研究整体， （a）研究AB杆， (b)将(a)(b)得： 上式化简为 还可写成： 即： 将上式积分可得： 再根据初始条件：确定，由此可得根据动能定理有： （C）其中： 再利用（c）式可表示成 (d)当, ,PAC再将(d)式求导,然后销去,最后可得当,可求得, 又因为 ，当AB杆铅垂时，。再取圆盘为研究对象，应用动静法有PA， 再研究整体，利用动静法有412 此瞬时AB杆作瞬时平移，所以因为AB杆的角速度为零，且A点的加速度为零，取A为基点，有又因为B点作圆周运动，所以将该式在铅垂轴上投影：由此解得：AB杆

48、质心C的加速度垂直于AB杆，其大小为：应用动静法：，P414 图示瞬时，AB杆瞬时平移，其加速度瞬心位于P点。设OA、AB杆的质心分别为。各点加速度如图所示，其大小为，P，有关的惯性力为：应用动静法和虚位移原理，有因为：，上式可表示成因为，所以 ，P由此解得研究AB杆及滑块B，由此解得：动力学第五章习题答案5-2滑轮组上悬挂有质量为10kg的重物和质量为8kg的重物，如图所示。忽略滑轮的质量，试求重物的加速度及绳的拉力。解：M1gM2gFI2FI1x2x1取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重物的重力。假设重物的加速度的方向竖直向下，则重物的加速度竖直向

49、上，两个重物惯性力为：(1)该系统有一个自由度，假设重物有一向下的虚位移，则重物的虚位移竖直向上。由动力学普遍方程有：（2）根据运动学关系可知：M2gTa2（3）将(1)式和(3)式代入(2)式，可得对于任意有：方向竖直向下。取重物为研究对象，受力如图所示，由牛顿第二定律有：解得绳子的拉力。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。5-4如图所示，质量为m的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为R的固定圆柱体上，构成一摆。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为l，且不计线的质量，试求摆的运动微分方程。解：该系统为保守系统，有一个自由度，取为广义坐标。系统的动能为：零势面取圆柱轴线O所在的水平

50、面为零势面，系统的势能为：拉格朗日函数，代入拉格朗日方程有：整理得摆的运动微分方程为：5-6质量为m的质点在重力作用下沿旋轮线导轨运动，如图所示。已知旋轮线的方程为，式中是以O为原点的弧坐标，是旋轮线的切线与水平轴的夹角。试求质点的运动规律。解：h零势面该系统为保守系统有一个自由度，取弧坐标为广义坐标。系统的动能为：取轨线最低点O所在的水平面为零势面，系统的势能为：由题可知，因此有：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理得摆的运动微分方程为：，解得质点的运动规律为：，其中微积分常数。5-13质量为m的质点沿半径为的圆环运动，圆环以匀角速度绕铅垂直径AB转动，如图所示。试建立质点的运动微分方程

51、，并求维持圆环匀角速度转动所必需的转矩。解：零势面1.求质点的运动微分方程圆环（质量不计）以匀角速度绕铅垂轴AB转动，该系统有一个自由度，取角度为广义坐标。系统的动能为：取圆环最低点A所在的水平面为零势面，系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理得质点的运动微分方程为：2.求维持圆环作匀速转动的力偶如果求力偶，必须考虑圆环绕铅垂轴AB的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB匀速转动”这一约束，将力偶视为主动力。此时系统有两个自由度，去角度和圆环绕轴AB的转角为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以代替，则拉格朗日函数为：力偶为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这

52、组虚位移下力偶所作的虚功为，因此力偶对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下力偶所作的虚功为，因此力偶对应于广义坐标的广义力；代入拉格朗日方程，整理可得：代入拉格朗日方程，整理可得：圆环绕铅垂轴AB匀速转动，即：，代入上式可得：5-14如图所示，质量为m的物体可绕水平轴转动，轴又绕铅垂轴以匀角速度转动。物体的质心G在垂直于的直线上，。设和是物体过点的惯量主轴，转动惯量为和，物体对另一过点的惯量主轴的转动惯量为，试求物体的动能表达式并建立物体的运动微分方程。解： 以该物体为研究对象，有一个自由度，取和OC的夹角为广义坐标。若以框架为动系，则物体的相对运动是以角速度绕轴的定轴转动，牵连运动是以角

53、速度绕轴的定轴转动，物体的绝对角速度是和的矢量之和。为了方便起见，以为轴，为轴，如图建立一个固连在物体上的坐标系，将角速度是和在该坐标系上投影有：。坐标系xzyzGO3垂直于O1O2的平面y的三个坐标轴为过点的三个惯量主轴，则系统的动能为：取圆环最低点A所在的水平面为零势面，系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理得物体的运动微分方程为：5-15长为2 l，质量为m的均质杆AB的两端沿框架的水平及铅垂边滑动，如图所示，框架以角速度绕铅垂边转动。忽略摩擦，试建立杆的相对运动微分方程。解：框架（质量不计）以匀角速度绕铅垂边转动，该系统是保守系统，有一个自由度，取AB杆与铅垂边的夹角为

54、广义坐标。若以框架为动系，AB杆上任意一点的速度是该点相对于框架的相对速度和随框架运动的牵连速度的矢量和，且相对速度和牵连速度相互垂直。杆AB的动能可表示为相对于框架运动的动能和随框架转动的动能之和。AB杆相对于框架作平面运动，速度瞬心为O点，设AB杆的质心为C，由几何关系可知，则质心为C的速度：CO杆AB相对于框架运动的动能：杆AB随框架转动的动能系统的动能。取为势能零点，则系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理得系统的运动微分方程为：由于角描述的是杆AB相对于框架的位置变化，因此上式也就是杆的相对运动微分方程。5-17重的楔块可沿水平面滑动，重的楔块沿楔块A的斜边滑动，在楔

55、块B上作用一水平力，如图所示。忽略摩擦，角已知，试求楔块A的加速度及楔块B的相对加速度。xs解：取楔块A，B构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块A水平滑动的位移，以及楔块B相对于A的沿斜面滑动的位移为广义坐标。若以楔块A为动系，楔块A的速度，楔块B的速度，以及B相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）：系统的动能为：取过轴的水平为零势面，系统的势能为：则拉格朗日函数：将水平力视为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力所作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下力所作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；代入拉格朗日方程，整

56、理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔块A的加速度：，方向水平向右。楔块B的相对加速度：，方向沿斜面向上。5-18在光滑水平面上放一质量为m的三角形楔块ABC，质量为，半径为的均质圆柱沿楔块的AB边滚动而不滑动，如图所示。试求楔块的加速度及圆柱的角加速度。解：x零势面取楔块ABC和圆柱构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度，取楔块水平滑动的位移，以及圆柱的转角（A点=0）为广义坐标。若以楔块为动系，楔块的速度，圆柱轴心O的速度，以及轴心O相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）：圆柱在斜面上作纯滚动有：。系统的动能为： 取过楔

57、块上A点的水平为零势面，系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔块的加速度：，方向水平向左。圆柱的角加速度：，顺时针方向。5-21系统由定滑轮A和动滑轮B以及三个重物组成，如图所示。重物的质量分别为，滑轮的质量忽略不计。若初始时系统静止，试求欲使下降，质量和之间的关系。解：x1x2以三个重物和滑轮构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度。取重物的位移，以及重物相对于滑轮B的轮心位移为广义坐标。系统的动能为：假设时系统的势能为零，则任意位置系统的势能为：拉格朗日函数：代入拉格朗日方程，整理可得：

58、（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得重物的加速度：， 初始时刻系统静止，若使下降则，即：5-22重的平台AB置于水平面上，物体重，弹簧的刚度系数为k，如图所示。在平台上施加水平力，忽略摩擦。如果系统从静止开始运动，此时弹簧物变形，试求平台和物体的加速度。xs解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取平台的位移，以及物体相对于平台的位移（弹簧原长为坐标原点）为广义坐标。系统的动能为：设初始时刻势能为零，系统的势能为：则拉格朗日函数：将水平力视为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力所作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；取，在

59、这组虚位移下力所作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得： （2）由方程(1)可得：（3）代入方程(2)得：（4）解微分方程（4）得：，其中：。求导得：，代入方程(3)可得：平台的加速度：，方向水平向右。物体M的加速度：，方向水平向右。5-27质量为的滑块可沿光滑水平面滑动，质量为的小球用长为l的杆AB与滑块连接，杆可绕轴A转动，如图所示。若忽略杆的重量，试求系统的首次积分。解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块的位移，以及杆AB与铅垂方向的夹角为广义坐标。系统的动能为：设时势能为零，系统的势能为：拉格朗日函数：拉格朗

60、日函数中不显含广义坐标和时间t，存在循环积分和广义能量积分，即：常数常数C5-28图示质量为的滑块B沿与水平成倾角的光滑斜面下滑，质量为的均质细杆OD借助铰链O和螺旋弹簧与滑块B相连，杆长为l，弹簧的刚度系数为k。试求系统的首次积分。解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块B沿斜面的位移，以及杆OD与铅垂方向的夹角为广义坐标。杆OD作平面运动，系统的动能为：设时势能为零，系统的势能为：拉格朗日函数中不显含时间t，存在广义能量积分，即：常数5-29半径为、质量为的圆柱，沿半径为、质量为的空心圆柱内表面滚动而不滑动，如图所示。空心圆柱可绕自身的水平轴O转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为和