材料力学第八章压杆的稳定性PPT通用课件

1、第八章 压杆的稳定性8-1 压杆稳定性的概念受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式： 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到材料的极限应力，为强度破坏。 2）细长的直杆，其破坏是由于杆不能保持原有的直线平衡形式，为失稳破坏。工程中存在着很多受压杆件。 对于相对细长的压杆，其破坏并非由于强度不足，而是由于荷载（压力）增大到一定数值后，不能保持原有直线平衡形式而失效。 1. 两端铰支细长压杆，当F力较小时，杆在力F作用下将保持原有直线平衡形式。此时，在其侧向施加微小干扰力使其弯曲，当干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。可见这种直线平衡形式是稳定的。 2. 当压力超过某一数值时，如作用一

2、侧向微小干扰力使压杆微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线平衡形式，而在微弯状态下保持平衡。压杆原来的直线平衡形式不稳定。 这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳。 压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时，轴向压力的临界值，称为临界力或临界荷载，用Fcr表示。刚体平衡12345随遇平衡其它一些构件的稳定性问题8-2 细长压杆的临界力 在临界力Fcr作用下，细长压杆在微弯状态下平衡，若此时压杆仍处在弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似微分方程及杆端约束条件求解临界力Fcr。一、欧拉公式 设两端铰支的细长压杆在临界荷载Fcr作用下，在xOw平面内处于微弯状态。lxFcrw1.两端铰支的细长

3、压杆挠曲线近似微分方程为lwxFcrxwEIw = -M(x)x截面的弯矩为M(x) = Fcr w EIw =-Fcr w EIw +Fcr w =0令k2=FcrEIw +k2w =0得二阶常系数线性微分方程xwxwFcrFcrM(x)由杆的已知位移边界条件确定常数x = 0，w = 0 x = l，w = 0得 B = 0，w =Asinkx得 Asinkl = 0由 Asinkl=0 得 A=0（不可能） 或 sinkl = 0即 kl = n (n = 0,1,2）k2=FcrEIlxFcrw其通解为w =Asinkx+BcoskxA、B、k待定常数w +k2w =0(n = 0,1

4、,2）Fcr =n22EIl2最小的临界荷载（n=1）（Euler公式）Fcr =2EIl2(n = 0,1,2）Fcr =n22EIl2压杆的挠曲线方程为w =Asin xl（半波正弦曲线）x=2l时w0= Aw =Asinkx+Bcoskxk = /lA是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。lxFcrwOFw0F与中点挠度w0之间的关系（1） 若采用近似微分方程，则F与如折线OAB所示；实际B（2） 若采用精确的挠曲线微分方程，则可得F与w0之间的关系如曲线OAB所示；（3） 实际工程压杆F与w0之间的关系如曲线OB所示。BAFcr2.不同杆端约束下压杆的临界力xFcrwxwlABlwxF

5、crxwABwlxFcrxwABxFcrxwABwllFcrFcr2lFcrl类比法 一端固定一端自由的细长压杆，长度2l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。Fcr =2EI（2l）2lFcrFcrl/2l/4l/4Fcr =2EI(0.5l)2 两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。类比法0.7lFcr0.3llFcrFcr =2EI(0.7l)2 一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。类比法Euler公式的统一形式Fcr =2EI(l)2约束越强，越小，临界力Fcr越大。长度因数l相当长度一端固定一端自由一端固

6、定一端铰支两端固定两端铰支=1.0=2.0=0.5=0.7Fcr =2EI(l)2公式讨论2.当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端），压杆只可能在最小抗弯刚度平面内失稳，即I取Imin值；1. Fcr与抗弯刚度成EI正比，与相当长度l的平方成反比；最小抗弯刚度平面：形心主惯性矩I为最小的纵向平面 如矩形截面的Iy最小，xOz平面为最小抗弯刚度平面。3.当杆端约束情况在各个方向不同时，如图柱形铰， xOz平面内为铰支（可绕y轴自由转动）， xOy平面内为固定端（不能转动）。计算临界荷载应取I与2比值的最小值，压杆在相应的平面内失稳。轴销xyz压杆在 xOz平面内失稳时：=1.0， I=

7、 Iy计算临界力Fcr 1压杆在 xOy平面内失稳时：=0.5， I= Iz计算临界力Fcr 2临界力Fcr为两者中较小的值。Fcr =2EI(l)24.实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据具体情况选取适当的长度系数值。5.实际工程中的压杆，非理想的均质直杆，荷载也总会有小的偏心，因此其临界力比公式计算出的为小，这可以在安全因数里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式计算其临界荷载。8-3 压杆的柔度与压杆的非弹性失稳 当压杆在临界荷载Fcr作用下，并仍处于直线形式的平衡状态时，横截面上的正应力称为临界应力。一、压杆的临界应力与柔度cr =FcrA2EI(l)2=Ai2=IAli=令cr

8、 =2E2则有称为压杆的柔度（或细长比），它综合反映了压杆的几何尺寸和杆端约束对压杆承载能力的影响。二、欧拉公式的适用范围推导欧拉公式时， 杆处于弹性状态cr P 故欧拉公式的适用条件cr =2E2 P 2EP 令P=2EP P满足该条件的压杆称为细长杆（或大柔度杆）。P为材料参数，不同的材料有不同的值。如Q235钢，P=200MPaE=200MPaP=100三、非弹性失稳压杆的临界力 P P 此时欧拉公式不再适用，工程上常以试验结果为依据的经验公式来计算这类压杆的临界应力cr 。如直线公式cr=a-b a、b为与材料有关的常数，由试验确定。如Q235钢，a=304MPab=1.12MPa实际

9、上 时cr u 压杆将发生强度破坏，而不是失稳破坏。故直线公式的适用范围 PuP cr u 称为短粗杆(小柔度杆)=a-uub称为中长杆(中柔度杆)直线公式cr=a-b这类压杆的临界力为crFcrA=四、失效应力总图ocr=scr=a-bupcrcrpcr= E22Q235钢的失效应力总图 P Pu u细长杆（或大柔度杆），欧拉公式称为中长杆(中柔度杆)，直线公式短粗杆(小柔度杆)，强度破坏 例 TC13松木压杆,两端为球铰。压杆材料的比例极限p=9MPa,强度极限b=13MPa，弹性模量E=1.0104MPa。压杆采用面积相同的两种截面:(1)h=120mm,b=90mm的矩形。(2)b=1

10、04mm正方形。试比较二者的临界荷载。Fcr3mhbFcr3mbb解：(1).矩形截面该压杆为细长杆,临界力用欧拉公式计算:Fcr3mhb(2).正方形截面该压杆为中长杆Fcr3mbb 例 一压杆,长l=2m,截面为10号工字钢,材料为Q235钢,s=235MPa,E=206GPa,p=200MPa。压杆两端为柱形铰。试求压杆的临界荷载。轴销xyz解：先计算压杆的柔度。在xz面内，压杆两端可视为铰支，=1。查型钢表，得iy=4.14cm，故在xy面内，压杆两端可视为固支，=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm，故轴销xyz压杆将在xy面内失稳Q235钢故压杆为中长杆临界应力:横截面面积:临界

11、力:8-4 压杆的稳定计算一、压杆的稳定条件压杆的稳定条件为nst为稳定安全因数；Fst为稳定容许压力。用应力表示的稳定条件为st为稳定容许应力。 nst的选取除了要考虑在选取强度安全因数时的那些因素外，还要考虑影响压杆失稳的其它不利因素，如初曲率、荷载偏心等。二、压杆的稳定计算1.安全因数法2.折减因数法或称为折减因数；小于1大于0。随柔度变化，与的关系可查规范。 例 由Q235钢制成的千斤顶如图。丝杆长l=800mm，直径d=40mm，上端自由，下端可视为固定。材料E=2.1105MPa。若该丝杆的稳定安全因数nst=3，是求该千斤顶的最大承载力。解：先求丝杆的临界压力Fcr丝杆lFQ23

12、5钢故丝杆为细长杆 例 某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱=1.3 ，受260kN的轴向压力，材料的=170MPa。（1）求两槽钢的间距h。（2）校核钢柱的稳定性和强度。解：(1) 确定两槽钢的间距h 钢柱两端约束在各方向均相同，因此，最合理的设计应使Iy=Iz , 从而使钢柱在各方向有相同的稳定性。单根16b号槽钢的截面几何性质可由型钢表查得为:A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，=10mm 由平行移轴公式，钢柱截面对y轴的惯性矩为Iy

13、 =2Iyo+A(z0+h/2)2由Iy = Iz的条件得到2934.5=283.4+25.15(1.75+h/2)2整理后得到12.58h2+85.51h-1566.83=0解出h后,舍弃不合理的负值,得h=8.23cm 。A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm =10mm(2)校核钢柱的稳定性 钢柱两端附近截面虽有螺栓孔削弱,但属于局部削弱,不影响整体的稳定性。钢柱截面的和i分别为A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，=10mm查表得 = 0.308，所以 =0.308170 MPa =5

14、2.4MPa而钢柱的工作应力为钢柱满足稳定要求。(3)校核钢柱的强度 对螺栓孔削弱的截面,应进行强度校核。该截面上的工作应力为故削弱的截面仍有足够的强度。AB4m 例 桁架中,上弦杆AB为Q235工字钢,材料的容许应力=170MPa,已知该杆受250kN的轴向压力的作用,试选择工字钢型号。解: 在已知条件中给出了值，但对nst没有明确要求，所以应按折减因数法来进行截面设计。其尚未知，取决于，而又与截面尺寸有关，因此，需用试算法。先假设=0.5，得选18号工字钢，A=30.6cm2，imin=2.0cm。=1查表得=0.186，需做第二次试算，令选22b工字钢，A=46.4cm2，imin=2.27cm。=1查表得=0.234，还需试算，令选28a工字钢，A=55.45cm2，imin=2.495cm。=1查表得=0.276，可结束。校核