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1、导数，定积分与数列不等式导数与数列不等式1.由不等式可得：.例1.（2017全国3卷）已知函数（1）若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，求的最小值解析：（2）由（1）知当时，令得，从而.故,而，所以的最小值为3练习已知函数，其中且（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：；（3）求证：对任意的且，都有：（其中为自然对数的底数）解析：（1）函数的定义域为，当时，所以在上单调递增；当时，令，解得，当时，所以，所以在上单调递减，当时，所以，所以在上单调递增. 综上，当时，函数在上调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.(2)当时，要证明，即证，即，设，则，令得，可得，当时，当时，所以，即

2、，故.（3）由（2）可得，（当且仅当时等号成立），令，则，故，即， 故.例2已知函数.（1）若时，求的最小值；（2）设数列的通项，证明：.解析：（1）由条件得，.令，则，.若，则当时，则是增函数，不符合题意；若，则当时，则是增函数，不符合题意；若，则当时，则是减函数，符合题意；综上可知，的最小值时.（2）当时，即.令，则，所以，.将以上各不等式左右两边相加得：，即，故，即.二定积分与不等式1.定积分的定义：一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积

3、分.记为：.2.定积分的几何意义： 当时，由前述可知，定积分在几何上表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积.3.应用实例.例3.（第16届女子奥林匹克）求最大实数，使得对任意正整数和满足的数列，均有.分析：由积分定义可知，对函数，解：，故，则.当时，设，取，则 显然，此时，综上，.注.可以看到，做积分背景的序列不等式其放缩的关键就是构造裂项相消的条件.例4（2014陕西）设函数，其中是的导函数.（1），求的表达式；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明.解：由题设得，（2）已知恒成立，即恒成立设，则当时，（仅当时等号成立），所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，所以时，恒成立（仅当时等号成立），当时，对有，所以在上单调递减，所以即时，存在，使，故知不恒成立，综上可知

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