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文档简介
1、2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知双曲线的焦距为,若的渐近线上存在点,使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,则双曲线的离心率的取值范围是( )ABCD2执行程序框图,则输出的数值为( )ABCD3设为等
2、差数列的前项和,若,则的最小值为( )ABCD4函数f(x)sin(wx)(w0,)的最小正周期是,若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x对称,则函数f(x)的解析式为( )Af(x)sin(2x)Bf(x)sin(2x)Cf(x)sin(2x)Df(x)sin(2x)5已知分别为双曲线的左、右焦点,点是其一条渐近线上一点,且以为直径的圆经过点,若的面积为,则双曲线的离心率为( )ABCD6设函数,若在上有且仅有5个零点,则的取值范围为( )ABCD7已知,则,的大小关系为( )ABCD8已知函数,若,且 ,则的取值范围为( )ABCD9在空间直角坐标系中,四面体各顶点坐标分
3、别为:假设蚂蚁窝在点,一只蚂蚁从点出发,需要在,上分别任意选择一点留下信息,然后再返回点那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是( )ABCD10对于函数,定义满足的实数为的不动点,设,其中且,若有且仅有一个不动点,则的取值范围是( )A或BC或D11若直线与圆相交所得弦长为,则( )A1B2CD312命题“”的否定为( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13设Sn为数列an的前n项和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),nN*,则S10=_.14从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表,甲被选中的概率为_.15若满足约束条件,则的最大值为_16已知关于x的不
4、等式(axa24)(x4)0的解集为A,且A中共含有n个整数,则当n最小时实数a的值为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)的内角的对边分别为,已知.(1)求的大小;(2)若,求面积的最大值.18(12分)选修4-4:坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,曲线:(为参数),在以平面直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴,且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中,曲线:.(1)求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程;(2)若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等,求这三个点的极坐标.19(12分)已知抛物线E:y22px(p0),焦点F到准线
5、的距离为3,抛物线E上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1x2且x1+x21线段AB的垂直平分线与x轴交于点 C(1)求抛物线E的方程;(2)求ABC面积的最大值20(12分)已知函数.(1)当时,求函数的值域.(2)设函数,若,且的最小值为,求实数的取值范围.21(12分)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:.22(10分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的短轴长为,直线与椭圆相交于两点,线段的中点为.当与连线的斜率为时,直线的倾斜角为(1)求椭圆的标准方程;(2)若是以为直径的圆上的任意一点,求证:参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分
6、,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1B【解析】由可得;由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.【详解】,所以离心率,又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.2C【解析】由题知:该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值,计算程序框图的运行结果即可得到答案.【详解】,满足条件,满足条件,满足条件,满足条件,不满足条件,输出.故选:C【点睛】本题主要
7、考查程序框图中的循环结构,属于简单题.3C【解析】根据已知条件求得等差数列的通项公式,判断出最小时的值,由此求得的最小值.【详解】依题意,解得,所以.由解得,所以前项和中,前项的和最小,且.故选:C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算,考查等差数列前项和最值的求法,属于基础题.4D【解析】由函数的周期求得,再由平移后的函数图像关于直线对称,得到 ,由此求得满足条件的的值,即可求得答案.【详解】分析:由函数的周期求得,再由平移后的函数图像关于直线对称,得到,由此求得满足条件的的值,即可求得答案.详解:因为函数的最小正周期是,所以,解得,所以,将该函数的图像向右平移个单位
8、后,得到图像所对应的函数解析式为,由此函数图像关于直线对称,得:,即,取,得,满足,所以函数的解析式为,故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换,以及函数的解析式的求解,其中解答中根据三角函数的图象变换得到,再根据三角函数的性质求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.5B【解析】根据题意,设点在第一象限,求出此坐标,再利用三角形的面积即可得到结论.【详解】由题意,设点在第一象限,双曲线的一条渐近线方程为,所以,又以为直径的圆经过点,则,即,解得,所以,即,即,所以,双曲线的离心率为.故选:B.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率,解决本题的关键在于求出与的关系,属于基础题.6A【解析
9、】由求出范围,结合正弦函数的图象零点特征,建立不等量关系,即可求解.【详解】当时,在上有且仅有5个零点,.故选:A.【点睛】本题考查正弦型函数的性质,整体代换是解题的关键,属于基础题.7D【解析】构造函数,利用导数求得的单调区间,由此判断出的大小关系.【详解】依题意,得,.令,所以.所以函数在上单调递增,在上单调递减.所以,且,即,所以.故选:D.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间,考查化归与转化的数学思想方法,考查对数式比较大小,属于中档题.8A【解析】分析:作出函数的图象,利用消元法转化为关于的函数,构造函数求得函数的导数,利用导数研究函数的单调性与最值,即可得到结论.详解:作
10、出函数的图象,如图所示,若,且,则当时,得,即,则满足,则,即,则,设,则,当,解得,当,解得,当时,函数取得最小值,当时,;当时,所以,即的取值范围是,故选A.点睛:本题主要考查了分段函数的应用,构造新函数,求解新函数的导数,利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键,着重考查了转化与化归的数学思想方法,以及分析问题和解答问题的能力,试题有一定的难度,属于中档试题.9C【解析】将四面体沿着劈开,展开后最短路径就是的边,在中,利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体沿着劈开,展开后如下图所示:最短路径就是的边易求得,由,知,由余弦定理知其中,故选:C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,需熟
11、记定理的内容,考查了学生的空间想象能力,属于中档题.10C【解析】根据不动点的定义,利用换底公式分离参数可得;构造函数,并讨论的单调性与最值,画出函数图象,即可确定的取值范围.【详解】由得,.令,则,令,解得,所以当时,则在内单调递增;当时,则在内单调递减;所以在处取得极大值,即最大值为,则的图象如下图所示:由有且仅有一个不动点,可得得或,解得或.故选:C【点睛】本题考查了函数新定义的应用,由导数确定函数的单调性与最值,分离参数法与构造函数方法的应用,属于中档题.11A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为
12、,所以直线过圆心,得,即.故选:A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.12C【解析】套用命题的否定形式即可.【详解】命题“”的否定为“”,所以命题“”的否定为“”.故选:C【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。1355【解析】由求出.由,可得,两式相减,可得数列是以1为首项,1为公差的等差数列,即求.【详解】由题意,当n=1时,当时,由,可得,两式相减,可得,整理得,即,数列是以1为首项,1为公差的等差数列,.故答案为:55.【点睛】本题考查求数列的前项和,属于基础题.14【解析】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中
13、,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,根据公式即可求得概率.【详解】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法, 从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,.故答案为:.【点睛】本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.154【解析】作出可行域如图所示:由,解得.目标函数,即为,平移斜率为-1的直线,经过点时,.16-1【解析】讨论三种情况,a0时,根据均值不等式得到a(a)14,计算等号成立的条件得到答案.【详解】已知关于x的不等式(axa14)(x4)0,a0时,x(a)(x4)0,其中a0,故解集为(a,4),由于a(a)
14、14,当且仅当a,即a1时取等号,a的最大值为4,当且仅当a4时,A中共含有最少个整数,此时实数a的值为1;a0时,4(x4)0,解集为(,4),整数解有无穷多,故a0不符合条件; a0时,x(a)(x4)0,其中a4,故解集为(,4)(a,+),整数解有无穷多,故a0不符合条件;综上所述,a1故答案为:1【点睛】本题考查了解不等式,均值不等式,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1);(2).【解析】(1)利用正弦定理将边化角,结合诱导公式可化简边角关系式,求得,根据可求得结果;(2)利用余弦定理可得,利用基本不等式可求得
15、,代入三角形面积公式可求得结果.【详解】(1)由正弦定理得: ,又 ,即由得:(2)由余弦定理得:又(当且仅当时取等号) 即三角形面积的最大值为:【点睛】本题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识,属于常考题型.18(1),;(2),. 【解析】(1)把曲线 的参数方程与曲线 的极坐标方程分别转化为直角坐标方程;(2)利用图象求出三个点的极径与极角.【详解】解:(1)由消去参数得,即曲线的普通方程为, 又由得即为,即曲线的平面直角坐标方程为 (2)圆心到曲线:的距离,如图所示,所以直线与圆的切点以
16、及直线与圆的两个交点,即为所求,则,直线的倾斜角为, 即点的极角为,所以点的极角为,点的极角为,所以三个点的极坐标为,.【点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化,消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:代入消元法;加减消元法;乘除消元法;三角恒等式消元法,极坐标方程化为直角坐标方程,只要将和换成和即可.19(1)y26x(2)【解析】(1)根据抛物线定义,写出焦点坐标和准线方程,列方程即可得解;(2)根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离,得出面积,利用均值不等式求解最大值.【详解】(1)抛物线E:y22px(p0),
17、焦点F(,0)到准线x的距离为3,可得p3,即有抛物线方程为y26x;(2)设线段AB的中点为M(x0,y0),则,y0,kAB,则线段AB的垂直平分线方程为yy0(x2),可得x5,y0是的一个解,所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点,且点C(5,0),由可得直线AB的方程为yy0(x2),即x(yy0)+2 代入y26x可得y22y0(yy0)+12,即y22y0y+2y020 ,由题意y1,y2是方程的两个实根,且y1y2,所以1y021(2y0212)1y02+180,解得2y02,|AB|,又C(5,0)到线段AB的距离h|CM|,所以SABC|AB|h,当且仅当9+y02212
18、y02,即y0,A(,),B(,),或A(,),B(,)时等号成立,所以SABC的最大值为【点睛】此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程,根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值,表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入,抛物线中需要考虑设点坐标的技巧,处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值.20(1);(2).【解析】(1)令,求出的范围,再由指数函数的单调性,即可求出结论;(2)对分类讨论,分别求出以及的最小值或范围,与的最小值建立方程关系,求出的值,进而求出的取值关系.【详解】(1)当时, 令,而是增函数,函数的值域是.(2)当时,则在上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为,在上单调递增,最小值为,而的最
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