北大光华证券投资学第10章ppt课件

1、第十章 衍生资产定价： 期权定价实际及其运用.期权定价的技巧被广泛的运用到许多金融领域和非金融领域，包括各种衍生证券定价、公司投资决策等。学术领域内的宏大提高带来了实践领域的飞速开展。期权定价的技巧对产生全球化的金融产品和金融市场起着最根本的作用。近年来，从事金融产品的发明及定价的行业蓬勃开展，从而使得期权定价实际得到不断的改良和拓展。.所以，无论从实际还是从实践需求出发，期权定价的思想都具有非常重要的意义。.1. 一些根本定义例子：投资者B和W方案签定一份合同：如今B支付给W 200元，交换条件是在接下来的六个月的任何时间，允许B自愿从W那里以150元/股的价钱购买100股IBM公司股票。

2、IBM公司股票如今的价钱为145元/股。问题：B和W为什么都情愿签定这个合同？B假设不支付给W 200元，W能否情愿签定这个合同？.例子：投资者B和W方案签定一份合同：如今B支付给W 200元，交换条件是在接下来的六个月的任何时间，允许B可自愿以元/股的价钱卖给W 100股IBM公司股票。 IBM公司股票如今的价钱为145元/股。问题：B和W为什么都情愿签定这个合同？B假设不支付给W 200元，W能否情愿签定这个合同？.看涨期权、看跌期权一种期权具有四个特征：1这种期权可以买对于看涨期权而言或者卖对于看跌期权而言的对象，或者说，合约是关于哪种资产的合约，我们称这种资产为标的物(underlyi

3、ng asset)。以股票为标的物的期权，每份期权通常包括100份特定的股票。例如，持有一份以IBM公司股票为标的物的看涨期权，是一份可以买100份IBM公司股票的权益。.2执行价钱(exercise price, 或者strike price)。这个价钱是执行期权合约时，可以以此价钱购买标的物的价钱。对于以IBM公司股票为标的物的看涨期权，假设执行价钱为150美圆，那么在执行这种期权时，按每份股票150美圆购买。3期权有效的时间区间由到期日(expiration date)来确定。这段时间区间可以是一天、一个星期、或者一年。以IBM公司股票为标的物的看涨期权，假设到期日为六个月，那么在这六个

4、月里，这份权益都是有效的。.4期权应该包括能否可以在到期日之前执行这种权益。假设在到期日之前的任何时间以及到期日都能执行，我们称这种期权为美式期权。假设只能在到期日执行，称为欧式期权。美式和欧式这两个名词曾代表了以股票为标的物的期权在美洲和欧洲的构造方式。但是如今，它们已成为反映两种不同构造的期权的规范名词，而不论期权是在哪儿发行的。.看涨期权(call option)、看跌期权(put option)、鞍式期权(straddle option)、蝶式期权(butterfly spread option)、实值期权(in the money option)、两平期权(at the money

5、option)、虚值期权(out of the money option)一切合约都是由看涨期权、看跌期权、股票和债券四种根本证券构成地。.Exotic option:Asian optionBarrier optionLookback optionCurrency-translated optionBinary option.一切股票期权合约在标的股票发生拆股或者分红股的情况时，执行价钱和合约中规定的股数都要作相应的调整。例子：假设在购买上述期权的当天， IBM公司股票的价钱为145元，第二天，1股拆成6股。股价变为145/6元。. 期权的这四个特征标的物、是看涨还是看跌、执行价钱、到期日包

6、括是美式还是欧式阐明了一种期权的各个细节。期权是两人之间的一种合约，其中的一人给予另外一人在规定的一段时间内，可以以规定的价钱买或者卖某种规定的资产的权益。.获得权益的一方需求做出能否接受该权益的决议，我们称这一方为期权的买者(option buy)，由于他需求付钱来获得这种权益。提供权益的一方称为期权的写者(option writer)。例如，欧式看涨期权是一种证券，这种证券给出了期权持有者在到期日以执行价钱购买标的物的权益。何时买看涨期权，何时买看跌期权？.既然期权的持有者获得的是权益而不需求承当什么义务，他就必需花钱购买这个权益，那么，公平的价钱应该是多少？这是证券投资学研讨的重要内容。

7、.2 影响欧式期权价钱的要素本章的主要目的：如何确定以金融证券为标的物的欧式期权的价钱。在整个一章中假设：假设无特殊阐明，标的物在到期日以前不支付红利。.期权实际之所以重要，不仅仅由于期权在证券市场构造中具有重要的作用，也由于期权实际阐明了投资学的根本原理被提高到了一个新的程度在以动态构造为根本构造的经济环境中运用这些原理。.假设一种欧式看涨期权，它以某种股票为标的物，该股票在时间 t 的价钱以 表示，期权的执行价钱为 ，到期日为 ，期权在时间 t 的价钱为 。.第一，在到期日 T，期权的价值为多少。12 把期权在 T 时的价钱显示地表示成股票价钱的函数。这个函数如以下图所示。该图阐明当 ，期

8、权的价值为零，当 时，期权的价值随着股票价钱的添加而线性添加。例子：期权不能够有负的价值，责任有限金融工具。.图1看涨期权在到期日的收益.对于欧式看跌期权而言，上述结果正好反过来。假设一种看跌期权，它以某种股票为标的物，该股票在时间 t 的价钱以 表示，期权的执行价钱为 ，到期日为 T，期权在时间 t 的价钱为 .在到期日 T，期权的价值。12 把期权在 T 时的价钱显示地表示成股票价钱的函数。 这个函数如以下图所示。该图阐明当 ，期权的价值为零，当 时，期权的价值随着股票价钱的添加而线性减少。.图2 看跌期权在到期日的收益.留意，看跌期权在 时的价值是有界的，而看涨期权在 时的价钱是无界的。

9、相反，当写一份看涨期权时，能够的损失是无界的。.期权的写者的收益看涨期权的写者在到期日的收益.看跌期权的写者在到期日的收益. 对于看涨期权而言，假设分别有 、 ，那么称一份看涨期权分别为实值期权(in the money option)、两平期权(at the money option)、虚值期权(out of the money option)。这些称号适用于任何时间，但在到期日，这些称号描画了期权价值的特征。对于看跌期权，我们也有类似的称号。.第二，期权的时间价值。即使在到期日以前的任何时间，欧式期权均有价值，由于它提供了未来执行权益的能够性。例如，以GM公司股票为标的物的一种期权，其执行

10、价钱为40美圆，到期日为三个月。假设GM公股票如今的价钱为37美圆。显然，在接下来的三个月中，该股票的价钱有能够上涨而超越40美圆，从而有执行该期权而获得利润的能够。从这儿可以看出，即使如今期权是虚值的，它也具有价值。.在到期日以前的任何时间 t ，这里 ，作为股票价钱的函数，欧式看涨期权的价钱 是 t 时股票价钱 的光滑函数，其图形如图3所示。. 6个月3个月图3 具有不同到期日的 期权价钱曲线时间价值.这条光滑曲线可以利用历史的实践数据，经过回归分析来得到。在图中，粗的折线表示在到期日，期权的价钱曲线。这条线上面的曲线对应于到期日不同的期权的价钱曲线。在粗折线上的第一条对应的到期日为三个月

11、，紧接着的一条曲线对应的到期日为六个月，到期日越长的曲线越在上面。这阐明，在到期日以前的任何时间，对于同一股票价钱，到期日越长的期权，其价钱越高。这是由于，到期日越长，标的股票价钱上扬，从而添加最后支付的能够性越大。.当股票的价钱远远大于或者小于执行价钱时，随着到期日的添加，期权价钱添加的幅度越来越小。当股票的价钱远远大于执行价钱时，持有期权并不比持有股票占多大的优势。当股票的价钱远远小于执行价钱时，股票价钱上涨超越的能够性很小，从而期权的价钱为零。.第三，还有哪些要素影响期权的价钱？1执行价钱从(1)和(2)式可以看出，一种看涨期权，其执行价钱越小，股票价钱超越的能够性就越大，这种看涨期权也

12、就越有价值。对于看跌期权，结果正好相反。2标的股票价钱的方差在投资的过程中，投资者偏好以方差较大的股票为标的物的期权。方差越大，股票价钱超越执行价钱的概率越大，这种期权对投资者也就越有价值。.假设有两种期权，具有一样的执行价钱，但标的股票价钱的分布不同，如图4，这两个分布的期望值一样，方差不同。我们偏好于哪一种期权？图4 股票价钱的分布.由于只需当股票的价钱大于执行价钱时，我们才干从期权合约中获得收益。股票价钱分布的方差越大，股票价钱超越执行价钱的概率也就越大，我们获得收益的概率也就越大。所以，我们偏好以方差较大的股票为标的物的期权。期权的价值与标的资产的价值之间的艰苦差别：假设持有标的资产，

13、我们获得收益的能够性由标的资产价钱的整个概率分布决议。作为风险厌恶者，我们不喜欢高风险。假设我们持有期权，我们获得收益的能够性由标的资产价钱的尾部概率分布决议。期权的这种性质使得大的方差更具有吸引力。.例子：假设某家公司得到一笔长期贷款，每年应支付的利息为8000元。该公司可以把这笔贷款用于下面两个工程中的一个。这两个工程具有一样的5000元的期望现金流。 工程1 工程2概率 现金流 概率现金流0.2 4,0000.400.6 5,0000.25,0000.2 6,0000.410,000.假设投资到第一个工程，该公司将破产，由于一切能够的现金流都比归还利息所需的8000元少。由于第二个工程的

14、方差较大，所以有40%的时机，除可以归还利息外，还有2000元的剩余。显然，该公司将选择第二个工程。虽然它的风险更大，但是存在40%的时机给公司带来正的利润。.这个例子笼统地阐明了期权的持有者为什么更偏好大的方差。同时，这个例子也引入了一种重要的观念。一个公司的股东实践上是一种期权的持有者，这种期权以公司的市场值为标的物。当公司的市场值比它所需归还的债务低时，公司破产。这时，股东允许期权到期而不执行，股东所持有的股票的价值为零；股东把公司移交给债务人，债务人获得公司作为补偿。当公司的市场值比它所需归还的债务高时，股东执行期权，归还债务人的债务后，股东获得剩余的利润。.3无风险利率。在一切的要素

15、里，这个要素是最不直观的。普通说来，无风险利率越大，执行价钱的现值也就越小，这样的期权也就越有价值。而且，当市场处于平衡形状时，无风险利率越大，股票的报答率也应该越高。从而，在到期日，股票的价钱也应该越高，这时，期权的价钱也应该越高。.在确定欧式看涨期权的价钱时，有五种要素是重要的：标的资产的价钱，期权的执行价钱，标的资产价钱的方差，到期日实践应该是剩下的到期时间，以及无风险利率。把欧式看涨期权的价钱写成如下的函数方式： (3).3 期权在证券市场中的作用金融市场中一个引人注目的开展就是衍生证券的日趋普遍。在许多情况下，套期保值者和投机者都发现买卖某项资产的衍生证券比买卖资产本身更具有吸引力。

16、缘由在于，衍生证券往往具有现有上市证券所不具备的特点，从而可以满足一些套期保值者和投机者的特殊要求，所以，证券公司经常根据客户的需求，开发一些衍生证券来满足要求。.衍生行业的蓬勃开展，阐明了现有的证券市场并不是完备的市场，由于作为一个完备的市场，总能经过构造证券组合来满足投资者的各种要求。同时，也阐明了衍消费品在资源配置有效化中所起的作用。.4 期权组合战略，图形表示假设：欧式看涨期权和欧式看跌期权具有一样的到期日和一样的标的股票，并且假设执行价钱等于标的股票期初的价钱。.当 时欧式看涨期权在到期日的利润.当 时欧式看跌期权在到期日的利润.股票在到期日的利润.债券在到期日的利润.上述证券可以按

17、下面的关系恣意组合.买一份股票并买一份以此股票为标的物的看跌期权所获得的收益，和持有一份债券并买一份以同样股票为标的物的看涨期权所获得的收益是一样的。.鞍式期权.5 欧式看涨期权与看跌期权价钱之间的平价关系(put-call parity)假设欧式看涨、看跌期权具有一样的标的物、一样的到期日、一样的执行价钱简单一期模型延续复利.买一份股票，买一份看跌期权，再卖一份看涨期权，在到期日，该证券组合的收益为有红利时欧式期权的平价关系美式期权不存在平价关系.6 关于期权价钱界的定理看涨期权价钱的界。定理1：以不支付红利的股票为标的物的美式看涨期权不会提早执行。证明：买一份欧式看涨期权，买面值为K 债券

18、，再卖空一份股票。.定理2：当标的股票支付红利时，美式看涨期权能够被提早执行。定理3：无论标的股票能否支付红利，美式看跌期权都有能够提早执行。.7 期权定价实际二项式方法Black-Scholes 模型等价鞅测度模型二项分布方法在运用这种方法时，最重要的是套期保值的概念。套期保值最笼统、最简单的例子是有关保险中的定价问题。可用于对美式期权的定价可用于对标的物有红利的期权定价.假设1：标的股票不支付红利假设2：证券市场是无摩擦的和完全竞争的，且不存在套利时机。.A. 以股票为标的物的看涨期权的简单二项模型标的股票的价钱服从二项分布产生的过程： 图9 一期二项式生成过程.这里 =股票如今的价钱 =

19、股票价钱上涨的概率 =一期的无风险利率 =股票价钱上涨的幅度 =股票价钱=下跌的幅度.例子： .注：对 的假设，在这个假设之下，不论经过多少期，股票的价钱永远不会跌到零以下。但是，对股票价钱上涨的界没有限制。 .每期的无风险利率为 。对 的限制为 ，这是无套利条件。直观地可以看出，无论是 这时，无风险利率总比股票的风险报答率高还是 这时，无风险利率总比股票的风险报答率低，都存在套利时机。不失普通性，假设 。 .以股票为标的物的欧式看涨期权，执行价钱为 ，到期日为一期，它的现价以 表示。该期权在到期日的支付如以下图 图10 欧式看涨期权的支付 .构造无风险套期保值证券组合：以价钱 买一份股票，写

20、 份以股票为标的物的看涨期权 称为套期保值比率。以下图阐明了这个套期保值证券组合的到期支付。假设这个套期保值证券组合在每种形状下的到期支付都相等，那么这个证券组合是无风险的。 图11 套期保值证券组合的到期支付 . 让支付相等，得到： = 从上式中解出看涨期权的份数 ： (21)把例子里的数字代入，得到 =3.53 因此，无风险套期保值证券组合包括买一份股票，写3.53份看涨期权。在两个形状下的支付相等，如下表：不确定形状 证券组合 支付 好形状 1.2(20元)-3.53(3元)=13.40元 坏形状 0.67(20元)-3.53(0元)=13.40元 .由于套期保值证券组合是无风险的，它的

21、终端支付应该等于它的现价乘以 ，即，从这个式子得出期权的价钱： (22)设那么.这里定义 的总是大于0而小于1，具有概率的性质，我们称之为套期保值概率。从 的定义可以看出，无套利条件 成立当且仅当 大于0而小于1即，保证 是概率。. 是当市场到达平衡时，风险中性者所以为的 值，即，股票价钱上涨的概率。作为风险中性者，投资者仅仅需求投资在风险股票上的报答率为无风险利率：从中解出值，得到：所以，对一个风险中性者来说， = ，而(24)式中看涨期权的价钱可以解释为，在一个风险中性环境中，期权的期望终端支付的折现值。 .在求得看涨期权价钱的过程中，有两点是至关重要的：套期保值证券组合的存在性；无风险的

22、套期保值证券组合的的报答率为无风险利率。 . 看涨期权的定价公式具有以下三个有趣的特征：1该公式不依赖于股票价钱上涨的概率。这使得，即使投资者对的预期不一致，只需他们对别的参数的估计一致包括 ，他们就会有一样的定价公式。2该公式的获得不依赖个体对风险的偏好。所需的假设仅仅只是无套利。3该公式依赖的独一随机变量是标的股票。例如，与市场证券组合无关.B. 两期模型 图12 股票价钱. 图13 欧式看涨期权的支付 .假设两期的无风险利率为 。利用一期期权的定价公式(24)得到期权在一期末的价值 和 ： (25) (26).把和当作一期模型的终端支付，再一次利用一期期权的定价公式(24)得到期权的如今

23、价钱：.把(25)和(26)式代入得到： (27).可以把(27)式中的分子部分看成是一期模型的定价公式(24)式的分子的二项展开。(27)式的另外一种解释是，看涨期权的价钱等于期权在两期末的期望支付的折现值，这里所用的概率为套期保值概率，折现利用无风险利率。.C. 看涨期权定价的完全二项式模型T期模型这里.1. 在0时辰，买 份股票，卖空 份债券所构成的证券组合在到期日的支付，即为以该股票为标的物，以 为执行价钱的欧式看涨期权在到期日的支付。以此观念，假设把到期日以前恣意的第 t期当作起始时辰，那么欧式看涨期权在到期日以前的恣意第 t 期的价钱为： (32) 所以，(32)式不但给出了欧式看

24、涨期权在第 t 期的定价公式，而且给出了第 t 期为了模拟欧式看涨期权在到期日的支付所应该采用的战略。 .2从(31)式可以看出，当股票价钱 添加，执行价钱减少时，期权的价钱都会添加。另外，当无风险利率添加时，它的主要影响是减少执行价钱的现值，从而添加期权的价钱虽然无风险利率添加时，会导致 p、p 减少，但这种影响是次要的。至于到期日和股票价钱的方差，它们的变化对期权价钱的绝对影响并不是显然的，需求经过严厉的数学证明来得到。.D. 二项模型推行到延续时间Black-Scholes 期权定价模型在实践操作中应该留意，Black-Scholes期权定价公式仅仅适用于标的股票不支付红利的情形。只适用

25、于欧式期权用途.延续时间看涨期权定价公式，Black和Scholes1973： (33)这里 .延续时间看跌期权定价公式：这里.与二项式模型的对照比较静态分析看涨期权看跌期权标的股票风险的估计样本方差市场估计.Hedging ratio股票价钱变化导致期权价钱的变化为了构造无风险组合，一份期权需求多少份股票当期权的到期日变小，股票价钱变化时， Hedging ratio也发生变化，所以为了套期保值需求延续调整组合战略。期权价钱的渐进展为.图14 期权价钱曲线.在实践运用中留意：股票实践是一种期权风险是随时间变化的.9 美式期权的定价.10. 目的期权(index option).11 Port

26、folio insurance一个投资者持有风险高度分散的证券组合，现价100000元，投资者目的：从牛市中充分获利，但从熊市中免遭损失。购买保险购买看跌期权构造合成看跌期权.购买保险 100 Uninsured portfolio value.购买看跌期权 100 Uninsured portfolio value.Create a synthetic putA 100000B 125000C 80000DFEGUninsuredportfolio156250Insuredportfolio1562501000001000001000001000006400010000012 monthsNow6 months.Create a synthetic putA 100000B C Now6 monthsStocks: 1250