现代通信原理、技术与仿真第2章 确定信号分析ppt课件

1、第2章 确定信号分析2.1信号的正交分解与频谱分析2.2能量信号与功率信号 2.3相关函数与功率谱密度函数2.4傅立叶变换的缺乏与信号的时-频分析法2.5窄带系统与窄带信号分析2.6复数信号与时域希尔伯特(Hilbert)变换2.7计算机仿真的普通方法习题 2.1信号的正交分解与频谱分析2.1.1信号的正交分解假设某信号x(t)在区间(t0, t0+T)内是分段延续的，那么x(t)可以用该区间内的正交函数系uk(t)=u0(t)， u1(t)，中的各分量来表示。这就是信号的正交展开。所谓正交函数系, 是指uk(t)在(t0, t0+T)范围内满足： (2.1)式中，假设C=1，那么称uk(t)

2、为规范正交函数系。x(t)用正交函数系uk(t)可展开为 (2.2)式中， uk(t)是正交函数系uk(t)中序号为k的函数；ak是x(t)在uk(t)上展开的特征向量，也称为展开系数，即x(t)在分量uk(t)上投影的大小。可见，正交展开就是把x(t)用在正交函数系各分量上的投影来描画。利用式(2.1)和式(2.2)可以容易地求出系数ak。将式(2.2)两边乘以ul(t)，并在区间(t0, t0+T)内积分，得: (2.3)所以 (2.4)当C=1时，有： (2.5)当对x(t)的展开式(2.2)取有限项时，会带来一定的误差，假设取k=N有限项，那么截断展开式 为 (2.6)这时x(t)与

3、的均方误差Q为 (2.7)显然，恒有Q0。设uk(t)为规范化正交函数系，那么 (2.8)因此得： (2.9)以上不等式对任何规范正交函数系都成立，称为贝塞尔(Bessel)不等式。这阐明任何函数x(t)的正交展开式中的系数的平方和总是收敛的。显然，随着N值的添加， 是单调增大的。当N取足够大时，可以使 恣意逼近于 ,那么应有: (2.10)在这种情况下，uk(t)是完备的正交函数系，这时不需求其他不属于uk(t)的函数来补充参与x(t)的准确展开。 式(2.10)称为完备性关系，它是描画x(t)总能量的关系式，称为信号的瑞利-帕斯瓦尔(Rayleigh-Parseval)定理。该定理指出：能

4、量信号的总能量等于它的正交展开的各项分量的能量之和。2.1.2信号的频谱分析信号的傅立叶分析就是对信号用完备正交的三角函数系展开的分析方法。傅立叶分析又称为信号的频谱分析，是分析确定信号的根本方法。在“信号与系统课程中已学过，对周期信号x(t)，可用傅立叶级数展开为 (2.11) (2.12)式中， T为信号x(t)的周期; cn是信号x(t)展开后n次谐波的系数; 0=2/T, 为周期信号的基波角频率。对于非周期信号x(t)，可用傅立叶变换求出信号的频谱密度函数X()，即 (2.13) (2.14)x(t)与X()的关系常记为其中， 符号“ 表示傅立叶变换对。傅立叶变换提供了信号的时域表示与

5、频域表示之间的变换工具。在通讯系统中，为了一致描画周期信号和非周期信号，对周期信号也同样采用频谱密度函数来表示。周期信号x(t)的频谱密度函数X()可经过式(2.11)和式(2.13)求得，即 (2.15)由式(2.15)可以看出，周期信号的频谱密度函数是由一系列冲激离散频谱构成的，这些冲激位于信号基频(0=2/T)的各次谐波处，即n0(n=0，1，2，)。为了方便计算周期信号x(t)的频谱密度函数X()，也可将x(t)在一个周期内截断，得到信号xT(t)，然后求出xT(t)的傅立叶变换XT()，再对得到的XT()的周期进展延拓，从而求得X()。下面引见这种方法。设xT(t)为x(t)在一个周

6、期内的截断信号，即 (2.16)而那么有： (2.17)比较式(2.15)与式(2.17)可得: (2.18)由此可见，由于引入了()函数，对周期信号和非周期信号都可一致用信号的傅立叶变换(即频谱密度函数)来表示。【例2.1】设周期矩形信号x(t)如图2.1(a) 所示，试求其频谱密度函数X()。解：设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号，如图2.1(b) 所示，那么有XT()如图2.1(c)所示。由式(2.17)得:假设T=2，那么有:X()如图2.1(d)所示。图2.1周期矩形信号及其频谱密度函数以上讨论了周期信号和非周期信号的频谱分析方法。然而，把确定信号分为周期信号和非周期信号有

7、一定的局限性，如在通讯系统中，常会遇到一类非正规信号，它是一种确定信号，由于从实际上总能找到一种函数来近似表示它，但它既不是周期信号，也不是有始有终的非周期信号，如图2.2所示。对这类非正规信号应如何描画呢? 下面将进一步研讨。图2.2非正规信号 2.2能量信号与功率信号2.2.1能量信号与能量谱密度函数能量信号x(t)是指一个在时域上有始有终、能量有限的信号，如图2.3所示。设x2(t)是信号在单位负载(1 电阻)上产生的功率，那么在dt的时间内信号的能量为x2(t)dt， x(t)在整个时域内的能量E为 (2.19)由上式可见，能量信号在全时域(t)内平均功率为0。图2.3能量信号设能量信

8、号x(t)的频谱密度函数为X()，信号的能量为 (2.20) 其中: G()=|X()|2 (2.21)为能量信号的能量谱密度函数，它表示单位频带上的信号能量，阐明信号的能量在频率轴上的分布情况。式(2.21)阐明，能量信号x(t)的能量谱密度函数G()等于它的频谱密度函数X()的模平方。 式(2.20)可重新写为 (2.22)或 (2.23)式(2.22)和式(2.23)阐明，信号x(t)的能量为能量谱在频域内的积分值。式(2.22)称为能量信号的帕斯瓦尔(Parseval)定理。2.2.2功率信号与功率谱密度函数功率信号是指信号x(t)在时域内无始无终，信号的能量无限，即，但平均功率有限的

9、信号，如图2.4(a)所示。图2.4功率信号及其截断信号功率信号x(t)的平均功率定义为 (2.24)式中， xT(t)是x(t)在区间T/2, T/2内的截断信号，为能量信号，如图2.4(b)所示。式(2.24)阐明，功率信号x(t)的平均功率可用由截断信号xT(t)在区间T/2, T/2内的平均功率求极限的方法得到。周期信号是无始无终的，它在整个时域内能量无限，而功率有限，因此周期信号是典型的功率信号。设周期信号的周期为T0，那么其平均功率表示为 (2.25)式(2.25)阐明，周期信号的平均功率可在信号的一个周期内求平均得到。功率信号常用信号的功率谱来描画。设功率信号x(t)的截断信号x

10、T(t)的频谱密度函数为XT()，由式(2.22)所示的能量信号的帕斯瓦尔定理, 有 (2.26)将式(2.26)代入式(2.24)，得功率信号x(t)的平均功率为 (2.27)其中: (2.28)为功率信号x(t)的功率谱，它为单位频带上的信号功率，表示信号功率在频率轴上的分布情况。由式(2.27)得： (2.29)式(2.29)阐明，信号x(t)的功率为功率谱在频域内的积分值。对于功率信号中的典型信号周期信号，其功率谱可利用以上方法求得。设周期信号x(t)的周期为T0， xT(t)为x(t)的截断信号，其频谱密度函数为XT()。 xT(t)可视为x(t)与矩形窗函数的乘积，即 (2.30)

11、 (2.31)根据频域卷积定理，有： (2.32)式中， X()为x(t)的傅立叶变换， Frect()是窗函数rect()的傅立叶变换，分别为 (2.33) (2.34)式中， ，为周期信号x(t)的傅立叶级数的系数。将式(2.33)和式(2.34)代入式(2.32)中，得: (2.35)而 (2.36) 当T时，有: (2.37)将式(2.37)代入式(2.36)得: (2.38)将式(2.38)代入式(2.28)，得信号的功率谱为 (2.39)由于，所以式(2.39)为 (2.40)可见，周期信号的功率谱密度函数是由一系列离散冲激组成的，它们分别出如今x(t)的基波分量的各次谐波上。假设

12、将P()在全频域上积分，就可得到信号的功率，即 (2.41)式(2.41)称为功率信号的帕斯瓦尔(Parseval)定理。2.3相关函数与功率谱密度函数2.3.1能量信号的相关函数设信号x1(t)和x2(t)都为能量信号，那么定义它们的相互关函数R12()为 (2.42)假设x1(t)=x2(t)=x(t)，那么定义 (2.43)为x(t)的自相关函数。【例2.2】设x1(t)、 x2(t)如图2.5(a)、(b)所示，试求两信号的相互关函数R12()。解：由图可见， x1(t)和x2(t)的表示式分别为根据相互关函数的计算式(2.42)， R12()为0时， x2(t+)是x2(t)在t轴上

13、向左移的结果。所以乘积x1(t)x2(t+)存在的积分区间为t=0到t=a，如图2.5(c)所示，于是有：同理， 0时有：求解过程如图2.5(d)所示。 x1(t)与x2(t)的相互关函数R12()在区间a, a上，结果如图2.5(e)所示。图2.5相互关函数的求解过程【例2.3】x(t)如图2.6(a)所示，试求x(t)的自相关函数R()。 解：x(t)为一矩形脉冲，其表示式为 求解自相关函数R()的步骤与例2.2一样，关键在于确定x(t)x(t+)的积分区间。0时有：0时有：R()的求解过程如图2.6(b)、(c)所示， R()曲线如图2.6(d)所示。图2.6自相关函数的求解过程相关函数

14、的积分运算与卷积积分运算的主要区别如下：(1) 卷积运算是无序的，即x1(t)*x2(t)=x2(t)*x1(t)；相关函数的积分运算是有序的，即R12()R21()。由式(2.42)有: (2.44)(2) 对于同一个时间位移值，相关运算与卷积运算中位移函数的挪动方向是相反的。(3) 卷积是求解信号经过线性系统输出的方法，而相关是信号检测和提取的方法。这在以后章节中会进一步讨论。(4) 当信号x(t)经过一个线性系统时，假设系统的冲激呼应h(t)=x(t)，那么系统对x(t)的输出呼应为x(t)*h(t)=R()，即系统的冲激呼应是输入信号x(t)的镜像函数x(t)时，系统的输出是输入信号x

15、(t)的自相关函数R()。能量信号x(t)的自相关函数具有以下性质：(1) 自相关函数是偶函数，即R()=R()，由于：(2.45)(2) 当=0时， R()就是信号的能量，即 由于R() =,令=0，显然有。 此外， =0时，自相关函数R()取最大值，即R(0)R()，因此=0时自相关性最强。2.3.2能量信号的相关定理 假设能量信号x1(t)和x2(t)的频谱分别是X1()和X2()，那么信号x1(t)和x2(t)的相互关函数R12()与X1()的共轭乘以X2()是傅立叶变换对，即 (2.46)式(2.46)称为能量信号的相关定理。它阐明两个能量信号在时域内相关，对应频域内为一个信号频谱的

16、共轭与另一信号的频谱相乘。定理证明如下：假设x1(t)=x2(t)=x(t)，那么有FR()=X*()X()=|X()|2=G(), 即 (2.47)由式(2.47)可见，能量信号的自相关函数和能量谱密度函数是一对傅立叶变换。2.3.3功率信号的相关函数功率信号的相关函数依然用信号截断后求极限的方法得到。设x1(t)和x2(t)都为功率信号，那么它们的相互关函数定义为 (2.48)式中， T的含义与式(2.24)中一样，为功率信号的截断区间。当x1(t)=x2(t)=x(t)时，定义 (2.49)为功率信号x(t)的自相关函数。由式(2.49)可得到周期信号x(t)的自相关函数为 (2.50)

17、式中， T0为周期信号的周期。可以看到，周期信号的自相关函数依然是周期的，且可以在一个周期内计算得到。可以证明，功率信号的自相关函数与功率谱密度是一对傅立叶变换，即 (2.51)证明：因故令t=t+，那么有:可见, 自相关函数与功率谱是一对傅立叶变换，即 (2.52)【例2.4】试求周期信号x(t)=A cos(0t+)的功率谱。解：方法1 利用信号的傅立叶变换来求功率谱。由于由以上展开式可知，系数Cn仅在n=1时存在，且。由式(2.40)得功率谱：方法2 利用相关函数求功率谱，周期信号的周期T0=2/0。由式(2.50)得：由式(2.52)可得：由此可见，两种解法结果一样。由可看出, 当=0

18、时, 就是周期信号x(t)的平均功率。2.4傅立叶变换的缺乏与信号的时-频分析法假设想要了解该信号的频率成分，即“在Hz处频率分量的大小，那么可经过傅立叶变换来实现，即式(2.13)和式(2.14)：式中，=2f, 单位为弧度/秒。将X()表示成|X()|ejj()的方式，即可得到|X()|和j()随变化的曲线，分别称为x(t)的幅频特性和相频特性。分析式(2.13)，对给定的某一个频率(如0)， 为求得该频率处的傅立叶变换X(0)，该式对t的积分仍需求从到+，即需求整个x(t)的“信息；反之，假设要求出某一时辰(如t0处)的值x(t0)，由式(2.14)知，需求将X()对从至+作积分，同样也

19、需求整个X()的“信息。实践上，由式(2.13)所得到的傅立叶变换X()是信号x(t)在整个积分区间的时间范围内所具有的频率特征的平均表示; 反之，式(2.14)也是如此。因此，傅立叶变换不具有时间和频率的“定位功能。【例2.5】设信号x(n)由三个不同频率的正弦抽样信号所组成，即 (2.53)式中， NN2N1, 321, 为抽样信号圆周频率(或角频率)， =2f/fs， f是信号的实践频率， fs为抽样频率，所以的单位为弧度。角频率变量用表示， =2f, 那么和的关系是： (2.54)x(n)的波形如图2.7(a)所示， x(n)的傅立叶变换的幅频特性|X(ej)|如图2.7(b)所示。显

20、然， |X(ej)|只给出了在1、2及3处有三个频率分量以及这三个频率分量的大小，但由此图看不出x(n)在何时有频率1，何时又有2及3，即傅立叶变换无时间定位功能。图2.7(c)是用后面所讨论的时-频分析法求出的x(n)的结合时-频分布。该图是三维图形的二维投影。在该图中，一个轴是时间，另一个轴是频率。由该图可清楚地看出x(n)的时间-频率关系。假设将图2.7(c)画成三维图，那么如图2.7(d)所示。 图2.7信号的时-频表示【例2.6】信号:x(n)=exp(jn2)=exp(jnn)称做线性频率调制信号，其频率与时间序号n成正比。在雷达领域中，该信号又称做chirp信号。图2.8(a)是

21、其时域波形， n=0127，图2.8(b)是其频谱。显然，无论从时域波形还是从频域波形，都很难看出该信号的调制类型及其他特点。和图2.7(c)一样，图2.8(c)也是x(n)的时-频分布表示，由该图可明显看出，该信号的频率与时间成正比，且信号x(n)的能量主要集中在时间-频率平面的这一斜线上。图2.8(d)是图2.8(c)的立体表示。图2.8chirp信号的时-频表示频率随时间变化的信号称为时变信号，也称为“非平稳信号；频率不随时间变化的信号称为“平稳信号。此处的“平稳和“不平稳与随机信号中的“平稳随机信号及“非平稳随机信号的意义不同。平稳随机信号是指该类信号的一阶及二阶统计特征(均值与方差)

22、不随时间变化，其自相关函数和察看的起点无关，而非平稳信号的均值、方差及自相关函数均与时间有关，是时变的。虽然这两类说法的出发点不同，但本质上非平稳信号的频率也是时变的，因此，把频率随时间变化的信号可统称为“非平稳信号，但要说一个信号是“平稳信号，那么要详细阐明所指的是频率不随时间变化的信号还是平稳随机信号。2.5窄带系统与窄带信号分析 在通讯系统中，为接纳信号和滤除信号频谱以外的噪声干扰，经常运用带通滤波器。假设带通滤波器的带宽f远小于滤波器(系统)的中心频率f0，即满足ff0，那么称这样的带通滤波器为窄带系统。窄带系统的传输函数H()如图2.9(a)所示。窄带系统是通讯系统中广泛运用的线性系

23、统。图2.9窄带系统设窄带系统的输入信号为x(t)，冲激呼应为h(t)，那么窄带系统的输出信号y(t)可按普通的方法从时域和频域求解，如图2.9(b)所示，即 (2.55)式中， Y()=X()H()为输出信号y(t)的频谱密度函数。2.5.1傅立叶反变换法 设知窄带系统的传输函数为H()，求解冲激呼应h(t)的普通方法即为利用傅立叶反变换求解的方法。下面以一详细例子来阐明。【例2.7】知窄带系统的传输函数H()如图2.10(a)所示(图中20=H0(ff0) (2.60)式中, H0(f)为H(f)的等效低通网络传输函数, 如图2.10(b)所示。将式(2.60)代入式(2.59)，并思索窄

24、带系统的窄带条件: H0(ff0)=0f10。要用模拟方法进展频谱分析，需求运用快速傅立叶变换FFT方法。按照上面的分析可以直接调用f2t得到频谱曲线。1. 实际分析信号的频率 , 那么只在频率 处有幅度为的频谱。2. 实验结果实验结果如图2.14所示。可以看出，频率中确实只需以为中心的频率。图2.14信号s(t)及其频谱3. 误差分析存在的误差主要是采样呵斥的。由采样定理可知，采样频率fs2fmax。采样间隔不能太小，否那么会存在频谱混叠景象，如t=10 ms，但也不能太高，否那么会出现过采样，如t=1 s(见图2.15)。同时，由于截断会呵斥频率走漏，也使上面的结果与实际分析有差别。图2.

25、15信号采样误差4. 代码设计习题2-1试证明恣意函数f(t)总可以表示为偶函数fe(t)和奇函数fo(t)之和，即f(t)=fe(t)+fo(t)，并求函数U(t)、 et及ejt的奇偶分量。2-2证明一个偶周期性函数的指数傅立叶级数的系数是实数，而一个奇周期函数的指数傅立叶级数的系数是虚数。2-3证明：(1) f(t)的傅立叶变换可以表示为(2) 假设f(t)为t的偶函数，有:(3) 假设f(t)为t的奇函数，有:(4) 对普通的f(t) F()，有表E2.1所示的关系成立。2-4试分别用相关定理及卷积定理推导帕斯瓦尔(Parseval)定理： 2-5求图E2.1所示的周期信号x(t)的频谱密度函数X()及功率谱密度函数P()。图E2.1习题2-5图2-6试用图解法求图