初中数学圆的基本概念与性质(解析版)A4

1、初中数学必有师教育学科教师辅导讲义学员姓名：张弈年级：初三辅导科目：初中数学学科教师：迟婷上课时间2018-03-10 08:00-09:30授课主题圆的基本概念与性质知识图谱错题回顾圆的相关概念知识精讲知识精讲一圆的相关概念1.圆的概念（ 1）描述性定义:在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径；（ 2）集合性定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长1初中数学叫做半径；（ 3）圆的表示方法 : 用符号 e 表示圆，定义中以 O 为圆心， OA 为半径的圆记作“读作“圆

2、 O ”；4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆2.弦与弧的相关概念：（ 1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；（ 2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的 2 倍；（ 3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；（ 4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以A、B 为端点的圆弧记作e O ”，?，读作ABAB ；5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；8）弓形：由

3、弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形3.圆心角与圆周角1）圆心角 :顶点在圆心的角叫做圆心角；将整个圆分为 360 等份，每一份的弧对应 1 的圆心角，我们也称这样的弧为 1 的弧；圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；2）圆周角 :顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角三点剖析一考点 ：圆的相关概念二重难点 ：1.圆的两种定义的理解；2.弦心距、优弧、圆周角等陌生概念的理解与记忆三易错点 ：1.圆是一条封闭曲线并不包含所围成图形内部部分；2.弓形只是由弧和弦所构成不包含半径；3.同圆、等圆、同心圆的联系与区别题模精讲题模一：圆的相关概念2初中数学例 1.1.1如图， ABC中， A=50，

4、O是 BC的中点，以O 为圆心， OB长为半径画弧，分别交AB，AC于点 D， E，连接 OD， OE，测量 DOE的度数是（）A50B60C70D80例 1.1.2如图所示，一圆弧过方格的格点A、 B、 C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（ -2 ， 4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A （-1 ， 2）B （ 1，-1 ）C （ -1 ， 1）D （ 2， 1）例 1.1.3 设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了15 米，并使得铁丝均匀地离开地面则下面说法中比较合理的是（）A你只能塞过一张纸B你只能塞过一只书包C你能钻过铁丝D你能直起身体走过铁丝随堂练习随

5、练 1.1过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（）A 1 条B 2 条C3 条D 无数条随练 1.2如图， e O 的直径 AB 与弦 CD 的延长线交于点E ，若 DEOB ， AOC74 ，则E随练 1.3点 O在直线 AB上，点 A1、A2、 A3，在射线OA上，点 B1、 B2、 B3，在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为一个单位长度，一个动点M从 O点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以O 为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1 个单位长度，按此规律，则动点M 到达3初中数学A101 点处所需时间为_秒垂径定理知识精讲一垂径定理1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分

6、弦所对的两条弧2.推论 1：1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论 2：圆的两条平行线所夹的弧相等应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有： r 2d 2( a )2 ，根据此公式，在a ， r ， d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量2rOdAa CB2补充说明：做题过程中，定理与推论1（ 1）可以直接使用，而推论1（ 2 ）、（ 3）需证明后再使用三点剖析一考点 ：垂径定理二重难点 ：利用垂径定

7、理求圆的半径、弦长和弦心距三易错点 ：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题题模精讲4初中数学题模一：垂径定理例 2.1.1如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为（）A2cmB3 cmC23 cmD25 cm例 2.1.2在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A40cmB60cmC80cmD 100cm例 2.1.3 如图，已知在扇形OAB中，AOB 90，半径 OA10 ，正方形 FCDE的四个顶点分别在?和半径 OA、 OB上，求 CD的长AB随堂练习随练 2.

8、1如图， O的弦 AB垂直半径OC于点 D， CBA=30， OC=3cm，则弦 AB 的长为（）A9cmB3cmCcmDcm5初中数学随练 2.2 如图， ABC 内接于 e O ， D 为线段 AB 的中点，延长OD 交 e O 于点 E ，连接 AE ，?1?BE ，则下列五个结论AB DE， AE BE， OD DE， AE2AEBAEOC ，正确结论的是随练2.3如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示则这个小圆孔的宽口AB的长度是（）A5mmB6mmC8mmD10mm随练2.4如图，在梯形ABCD 中， A

9、BDC ， ABBC ， AB2cm ， CD4cm 以 BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、 D 两点，且AOD90 ，则圆心 O 到弦 AD 的距离是多少？弧，弦，圆心角之间的关系知一推二知识精讲一圆心角、弧、弦之间的关系1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等6初中数学若 AOB?A B ， AM A M A OB ，则 ABA B ， AB2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等二应用1.在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；2.有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定

10、理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距；3.在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角；4.有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（ 1）连过弧中点的半径；（2）连等弧对的弦；（3）作等弧所对的圆心角三点剖析一考点 ：弧、弦、圆心角、弦心距的关系二重难点 ：弧、弦、圆心角、弦心距的关系三易错点 ： 1.两条弧存在倍数关系，但所对应的弦并不是存在相同的倍数关系；2.判断题中，注意题中前提条件，必须是在等圆或同圆中题模精讲题模一：弧，弦，圆心角之间的关系知一推二例 3.1.1在 O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 AB

11、 长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（）A 30B 45C 60D 90例 3.1.2如图， CD是 O的直径，弦AB CD于 E， BCD=25，则下列结论错误的是（）A AE=BEBOE=DEC AOD=50D?D是 AB 的中点例 3.1.3 如图，以ABC 的边 BC 为直径的 e O 分别交 AB、 AC 于点 D、 E ，连结 OD、OE ，若A 65 ，则 DOE7初中数学例 3.1.4如图，点A、 B、C、 D 都在 O上， OC AB， ADC=301）求 BOC的度数；2）求证：四边形 AOBC是菱形随堂练习随练 3.1 下列三个命题：圆既是轴对称图形又是中心对称图形；

12、垂直于弦的直径平分弦；相等的圆心角所对的弧相等其中真命题的是（ ）ABCD随练 3.2如图， A， B， C， D均为 O上的点，且ABCD ，则下列说法不正确的是（）AAOBCODBAOCBODCACBDDOCCD随练 3.3如图，点A、 B、 C、 D 在 O上， OB AC，若 BOC=56，则 ADB=_度8初中数学随练 3.4如图， O是 ABC的外接圆，弦BD交 AC于点 E，连接 CD，且 AE=DE， BC=CE1）求 ACB的度数；2）过点 O作 OF AC于点 F，延长 FO交 BE于点 G， DE=3， EG=2，求 AB的长自我总结课后作业作业 1有一圆形纸片，要用折叠

13、的方法找出其圆心，至少要折叠（）9初中数学A1 次B2 次C3 次D4 次作业 2如图，在Rt ABC中， C=90， AB=10，若以点C 为圆心， CB长为半径的圆恰好经过AB的中点 D，则 AC的长等于（）A 5 3B 5C 5 2D 6作业 3 下列说法正确的有（）在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；度数相等的弧叫做等弧；优弧大于劣弧；直角三角形的外心是其斜边中点A B C D 作业 4 如图， O 的半径为1，点 A 是半圆上的一个三等分点，点?的中点， P 是直径 MNB 是 AN上的一个动点，则PA PB 的最小值为 _作业 5如

14、图，已知四边形ABCD是边长为 4 的正方形，以AB 为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、 B 重合），当PA=时， PAD为等腰三角形作业 6如图，AB是半圆O的直径，为弦， 于，过点O作 交半圆O于点，过ACOD ACDOE ACE点 E作 EF AB于 F若 AC2 ，则 OF的长为（）1B3D 2AC 12410初中数学作业7如图， O 的直径为10cm，弦AB=8cm， P 是弦AB 上的一个动点，则OP 的长度范围为_cm OP _cm作业 8在 O中， AB是 O的直径， AB=8cm， ACCDBD ，M是 AB上一动点， CM+DM的最小值是 _作业 9如图，已

15、知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S， AB CD， ADC=60，设 AB=3x1）用 x 表示 AD和 CD；2）用 x 表示 S，并求 S 的最大值；3）如图，当 S 取最大值时，等腰梯形 ABCD的四个顶点都在 O 上，点 E 和点 F 分别是 AB 和CD的中点，求 O的半径 R 的值作业 10如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm11初中数学作业 11在 O中，点C是劣弧AB的中点，则线段AB和线段 AC的大小为（）A AB2 ACBAB2 ACCAB2ACD无法确定作业 12如图，在O中，的度数为，

16、是弧上一点，、是弧AB上不同的两点（不AOBm CACBD E与 A、B 两点重合），则DE 的度数为（）A mB180m90mmCD222作业 13 将一张半径为4的圆形纸片（如图）连续对折两次后展开得折痕AB、 CD，且 ABCD ，垂足为 M（如图），之后将纸片如图翻折，使点B 与点 M重合，折痕EF 与 AB 相交于点 N，连接 AE、 AF（如图），则AEF的面积是 _作业 14如图， AB是 O的直径，过点B 作 O的切线 BM，弦 CDBM，交 AB 于点 F，且 DA = DC ，连接 AC， AD，延长 AD交 BM于点 E（ 1）求证： ACD是等边三角形；（ 2）连接 O

17、E，若 DE=2，求 OE的长答案解析圆的相关概念12初中数学题模精讲题模一：圆的相关概念例 1.1.1【答案】 D【解析】 如图，根据题意得： OC=OB=OD=OE ， A=50， B+ C=130， CEO+ BDO=130 ， AEO+ ADO=230 ， EOD=360 A AEO ADO=360 50 230=80例 1.1.2【答案】 C【解析】如图所示，AW=1， WH=3 ，AH=12+3 2= 10 ；BQ=3， QH=1 ，BH=12+3 2= 10 ；AH=BH ，同理， AD=BD ，所以 GH 为线段 AB 的垂直平分线，易得 EF 为线段 AC 的垂直平分线，13

18、初中数学H 为圆的两条弦的垂直平分线的交点，则 BH=AH=HC ，H 为圆心于是则该圆弧所在圆的圆心坐标是（-1， 1）故选 C例 1.1.3【答案】 D【解析】2R 2r2 h 15m ，h15 m2 随堂练习随练 1.1【答案】 A【解析】过圆上一点只能做一条最长的弦为直径随练 1.274【答案】3【解析】连接 OD ，共能得到两个等腰三角形，C 为E 的 2倍，继而由外角AOC 得到 E 随练 1.3【答案】（ 101+5050）【解析】动点 M 从 O 点出发到 A4 点，在直线AB 上运动了 4 个单位长度，在以O 为圆心的半圆运动了（ ?1+?2+?3+）单?4位长度， 100=4 25，动点 M 到达 A 100点处运动的单位长度=4 25+（ ?1+ ?2+ +）?100=100+5050 ，动点 M 到达 A 101点处运动的单位长度=100+1+5050 ，动点 M 到达 A 101点处运动所需时间=（101+5050 ） 1=（101+5050 ）秒故答案为：（101+5050）垂径定理题模精讲题模一：垂径定理例 2.1.1【答案】 C【解析】14初中数学解：作 ODA