高考前数学必背知识汇总及复习题

1、专题一集合与常用逻辑用语知识必备一、集合1集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作aA；若b不属于集合A，记作bA.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号eq avs4al(N)N*或Neq avs4al(Z)eq avs4al(Q)eq avs4al(R)2集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素AB或BA真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AAB或BA相等集合A中的每一个元素都

2、是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素AB且BAAB空集空集是任何集合的子集A空集是任何非空集合的真子集B且B3集合的三种基本运算文字语言图形表示符号语言集合的并集所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合ABx|xA，或xB集合的交集所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合ABx|xA，且xB集合的补集全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合UAx|xU，且xA4.集合基本运算的常见性质(1)并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA.(2)交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB.(3)补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A；U(AB)(UA)(

3、UB)；U(AB)(UA)(UB)二、充分条件与必要条件1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系四种命题间的相互关系四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件与必要条件的相关概念记p，q对应的集合分别为A，B，则p是q的充分条件pqABp是q的必要条件qpABp是q的充要条件pq且qpABp是q的充分不必要条件pq且qpABp是q的必要不充分条件pq且qpABp是q的既不充分条件也不必要条件pq且qpAB且

4、AB4.熟记常用结论 eq oac(,1)充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”“qp”(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“pq且qr”“pr”(“pq且qr”“pr”) eq oac(,2)利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得：(1)pq等价于qp；(2)qp等价于綈pq.三、全称量词与存在量词1命题pq，pq，綈p的真假判断pqpqpqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2全称量词与存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词

5、存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等3全称命题与特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立xM，p(x)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立x0M，p(x0)4全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立xM，p(x)x0M，p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立x0M，p(x0)xM，p(x)真题再现1【2020年高考全国卷文数】已知集合则ABCD【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.【详解】由解

6、得，所以，又因为，所以，故选D【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2【2020年高考全国卷文数】已知集合A=x|x|1，xZ，则AB=AB3，2，2，3）C2，0，2D2，2【答案】D【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为，或，所以.故选D【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.3【2020年高考全国卷文数】已知集合，则AB中元素的个数为A2B3C4D5【答案】B【解析】【分析】采用列举法列举出中元素的即可.【详解】由题意，故中元素的个数

7、为3.故选B.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.4【2020年高考天津】设全集，集合，则ABCD【答案】C【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知，则.故选C【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.5【2020年高考北京】已知集合，则ABCD【答案】D【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】，故选D【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.6【2020年高考天津】设，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答

8、案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.7【2020年新高考全国卷】设集合A=x|1x3，B=x|2x4，则AB=Ax|2x3Bx|2x3Cx|1x4Dx|1x4【答案】C【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】.故选C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.8【2020年高考浙江】已知集合P=，Q=，则PQ=ABCD【答案】B【解析】【分析】根据集合交集定义求解【详解】.故

9、选B.【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.9【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n“l ，m，n共面”是“l ，m，n两两相交”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意，是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的

10、判断，考查公理和公理的运用，属于中档题.10【2020年高考北京】已知，则“存在使得”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则；(2)当时，或，即或，亦即存在使得所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选C【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.11【2020年高考江苏】已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】,，.故答案为

11、.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型12【2020年高考全国卷文数】设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行p4：若直线l平面，直线m平面，则ml则下述命题中所有真命题的序号是_【答案】【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内，同理，与的交点也在平面内，所

12、以，即，命题为真命题；对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，命题为真命题.综上可知，为真命题，为假命题，真命题，为假命题，为真命题，为真命题.故答案为.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.专题二函数的概念与基本初等函数知识必备一、函数的概念及其表示函数设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：

13、AB为从集合A到集合B的一个函数yf(x)，xA2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出

14、发(2)如果函数yf(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域(3)如果函数yf(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集(3)各段函数的定义域不可以相交.4常用结论(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义如果f(

15、x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)二、函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数f(x

16、)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值三、函数的奇偶性、周期性与对称性1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数y

17、f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3.函数的周期性（1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.（4）函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：若f(xa)f(x)，则T2a(a0).若f(xa)eq f(1,f（x）)，则T2a(a0).若f(xa)eq f(1,f（x）)，

18、则T2a(a0).（5）对称性的三个常用结论若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称.若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.四、二次函数与幂函数1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数(2)5个常见幂函数的图象与性质函数yxyx2yx3yx1定义域RRRx|x0 x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(，0)上单调递减

19、，在(0，)上单调递增在R上单调递增 在(0，)上单调递增在(，0)和(0，)上单调递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式f(x)ax2bxc(a0)，图象的对称轴是x，顶点坐标是顶点式f(x)a(xm)2n(a0)，图象的对称轴是xm，顶点坐标是(m，n)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是方程ax2bxc0的两根，图象的对称轴是x(2)二次函数的图象与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0，当时，恒有f(x)0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是 (a0，m，nN*，且n1)；0的正

20、分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasar+s；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.3.指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.（2）在第一象限内，指数函数yax(a0且a1)的图象越高，底数越大.六、对数与对数函数1.对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中

21、a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且a1).(2)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0).(3)换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0 x1时，y1时，y0；当0 x0在(0，)上

22、是增函数在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称.5.常用结论 eq oac(,1).换底公式的两个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab.其中a0，且a1，b0，且b1，m，nR. eq oac(,2).在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. eq oac(,3).对数函数ylogax(a0，且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限.七、函数的图象1利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线首先：(1)确定函数的定义域；

23、(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线2函数图象的变换(1)平移变换yf(x)的图象eq o(,sup7(a0，右移a个单位),sdo5(a0，上移b个单位),sdo5(b0且a1)的图象ylogax(a0且a1)的图象(3)伸缩变换yf(x)的图象eq o(,sup7(a1，横坐标缩短为原来的f(1,a)纵坐标不变),sdo5(0a1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),sdo5(0a1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变)yaf(x)的图象(4)翻折变换yf(x)的图象eq o(,sup7(x轴下方部分翻折到上方),sdo5

24、(x轴及上方部分不变)y|f(x)|的图象；yf(x)的图象eq o(,sup7(y轴右侧部分翻折到左侧),sdo5(原y轴左侧部分去掉，右侧不变)yf(|x|)的图象3常用结论（1）函数图象自身的轴对称f(x)f(x)函数yf(x)的图象关于y轴对称；函数yf(x)的图象关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)；若函数yf(x)的定义域为R，且有f(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图象关于直线x对称（2）函数图象自身的中心对称f(x)f(x)函数yf(x)的图象关于原点对称；函数yf(x)的图象关于(a,0)对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(

25、x)f(2ax)；函数yf(x)的图象关于点(a，b)成中心对称f(ax)2bf(ax)f(x)2bf(2ax)（3）两个函数图象之间的对称关系函数yf(ax)与yf(bx)的图象关于直线x对称(由axbx得对称轴方程)；函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称；函数yf(x)与y2bf(x)的图象关于点(0，b)对称；函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)对称八、函数与方程1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零

26、点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无零点个数_2_1_0九、函数的模型及其应用1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)“对勾”函数模型yx(a0)2.三种函数模型的

27、性质 函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax真题再现1【2020年高考全国卷文数】设，则A B C D 【答案】B【解析】由可得，所以，所以有，故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.2【2020年高考天津】函数的图象大致为A BC D【答案】A【解析】由函数的解析式可得：，则函数

28、为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项3【2020年高考全国卷文数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.

29、05志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A10名B18名C24名D32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，,故需要志愿者名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4【2020年高考全国卷文数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln193）A60B63C66D69【答

30、案】C【解析】，所以，则，所以，解得.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5【2020年高考全国卷文数】设a=log32，b=log53，c=，则AacbBabcCbcaDcab【答案】A【解析】因为，所以.故选A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.6【2020年高考全国卷文数】设函数f(x)=x3，则f(x)A是奇函数，且在(0,+)单调递增B是奇函数，且在(0,+)单调递减C是偶函数，且在(0,+)单调递增D是偶函数，且在(0,+)单调递减【答案】A【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函

31、数为奇函数又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题7【2020年高考全国卷文数】若2x2y0Bln(yx+1)0Dln|xy|0【答案】A【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.8【2020年高考天津】设，则的大小关系为A B C D【答案】D【解析】

32、因为，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.9【2020年新高考全国卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变

33、化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln20.69) A1.2天B1.8天C2.5天 D3.5天【答案】B【解析】因为，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.10【2020年新高考全国卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是A B C 【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单

34、调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，当时，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11【2020年新高考全国卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.A若n=1，则H(X)=0B若n=2，则H(X)随着的增大而增大C若，则H(X)随着n的增大而增大D若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)H(Y)【答案】AC【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，所以，当时，当时，两者相等，所以B选项错误.

35、对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.12【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是A BC D【答案】D【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图

36、3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.13【2020年高考北京】已知函数，则不等式的解集是A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.14【2020年高考浙江】函数y=xcos x+sin x在区间，上的图象可能是【答案】A【解析】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称

37、，据此可知选项CD错误；且时，据此可知选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项15【2020年高考浙江】已知a，bR且ab0，对于任意x0均有(xa)(xb)(x2ab)0，则Aa0Cb0【答案】C【解析】因为，所以且，设，则零点为当时，则，要使，必有，且，即，且，所以；当时，则，要使，必有.综上一定有.故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立

38、问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.16【2020年高考江苏】已知y=f(x)是奇函数，当x0时，则的值是 【答案】【解析】，因为为奇函数，所以故答案为：【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.17【2020年高考北京】函数的定义域是_【答案】【解析】由题意得，故答案为：【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.专题三导数及其应用知识必备一、导数的概念及运算1导数的概念一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y即fx0. 称函数f(x)为f(x)的导函数2导数的几何意义函数f(x)在点

39、x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)sin xf(x)cos_xf(x)exf(x) f(x)ln xf(x) f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)logax(a0，a1)f(x) 4.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) (g(x)0)5.常用结论1

40、.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)0.2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)若f(x)0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；(2)若f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充

41、分不必要条件(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零三、利用导数解决函数的极值最值1函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做

42、函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 函数fx在x0处有极值的必要不充分条件是fx00，极值点是fx0的根，但fx0的根不都是极值点例如fxx3，f00，但x0不是极值点.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数

43、的最小值3常用结论1.对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件.2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.四、利用导数研究生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路是什么？答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程4.对于优化问题，建立模型之后需要对模型进行最大值最小值的求解，

44、从而转化为导数求极值最值问题.真题再现1【2020年高考全国卷文数】曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .【答案】【解析】设切线的切点坐标为，所以切点坐标为，所求的切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.2【2020年高考全国卷文数】设函数若，则a=_【答案】1【解析】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.3【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与

45、时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强错误；在时刻，甲切线的

46、斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；正确；故答案为：【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.4【2020年高考全国卷文数】已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【解析】（1）当a=1时，f（x）=exx2，则=ex1当x0时，0时，0所以f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增（2）=exa当a0时，0，所以f（x）在（，+）单调递增，故f（x）至多存在1个零点，不合题意当a0时，由=0可得

47、x=lna当x（，lna）时，0所以f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增，故当x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（lna）=a（1+lna）（i）若0a，则f（lna）0，f（x）在（，+）至多存在1个零点，不合题意（ii）若a，则f（lna）0，所以f（x）在（，lna）存在唯一零点由（1）知，当x2时，exx20，所以当x4且x2ln（2a）时，故f（x）在（lna，+）存在唯一零点，从而f（x）在（，+）有两个零点综上，a的取值范围是（，+）【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围

48、，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.5【2020年高考全国卷文数】已知函数f（x）=2lnx+1（1）若f（x）2x+c，求c的取值范围；（2）设a0时，讨论函数g（x）=的单调性【解析】设h(x)=f(x)2xc，则h(x)=2lnx2x+1c，其定义域为(0，+)，.（1）当0 x0；当x1时，h(x)0.所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，+)单调递减.从而当x=1时，h(x)取得最大值，最大值为h(1)=1c.故当且仅当1c0，即c1时，f(x)2x+c.所以c的取值范围为1，+).（2），x

49、(0，a)(a，+).取c=1得h(x)=2lnx2x+2，h(1)=0，则由（1）知，当x1时，h(x)0，即1x+lnx0.故当x(0，a)(a，+)时，从而.所以在区间(0，a)，(a，+)单调递减.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.6【2020年高考全国卷文数】已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围【解析】（1）当k=0时，故在单调递增；当k0时，令，得当时，；当时，；当时，故在，单调递增，在单调递减（2）由（1）知，当时，在单调递增，不可能有三个零点当k0时，为的极大值点，为的极小值点

50、此时，且，根据的单调性，当且仅当，即时，有三个零点，解得因此k的取值范围为【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.7【2020年高考天津】已知函数，为的导函数（）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（）当时，求证：对任意的，且，有【解析】（）（i）当时，故可得，所以曲线在点处的切线方程为，即（ii）依题意，从而可得，整理可得令，解得当变化时，的变化情况如下表：1-0+极小值所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值（）证明：由，得对任意的，且，令，则 令

51、当时，由此可得在单调递增，所以当时，即因为，所以， 由（）（ii）可知，当时，即，故 由可得所以，当时，对任意的，且，有8【2020年高考北京】已知函数（）求曲线的斜率等于的切线方程；（）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值【解析】（）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程：，即.（）显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.9【2020年高考浙江

52、】已知，函数，其中e=2.71828是自然对数的底数（）证明：函数在上有唯一零点；（）记x0为函数在上的零点，证明：（）；（）【解析】（）因为，所以在上存在零点因为，所以当时，故函数在上单调递增，所以函数以在上有唯一零点（）（）令，由（）知函数在上单调递增，故当时，所以函数在单调递增，故由得，因为在单调递增，故令，令，所以故当时，即，所以在单调递减，因此当时，由得，因为在单调递增，故综上，（）令，所以当时，故函数在区间上单调递增，因此由可得，由得10【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上)经测量

53、，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k0)，问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？【解析】（1）设都与垂直，是相应垂足.由条件知，当时， 则.由得 所以（米）.（2）以为原点，为轴建立平面直角坐标系（如图所示）.设则 .因为所以.设则 所以 记桥墩和的总造价为，则 ，令 得 所以

54、当时，取得最小值.答：（1）桥的长度为120米；（2）当为20米时，桥墩和的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.11【2020年高考江苏】已知关于x的函数与在区间D上恒有（1）若，求h(x)的表达式；（2）若，求k的取值范围；（3）若求证：【解析】（1）由条件，得，取，得，所以由，得，此式对一切恒成立，所以，则，此时恒成立，所以（2）.令，则令，得.所以.则恒成立，所以当且仅当时，恒成立另一方面，恒成立，即恒成立，也即恒成立因为，对称轴为，所以，解得因此，k的取值范围是 （3）当时，由，得，整理得 令 则记则恒成立，所以在上是减函数，则，即

55、所以不等式有解，设解为，因此当时，设， 令，得当时，是减函数；当时，是增函数，则当时，（或证：）则，因此因为，所以当时，因为，均为偶函数，因此也成立综上所述，【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.12【2020年新高考全国卷】已知函数（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围【解析】的定义域为，（1）当时，曲线在点处的切线方程为，即直线在轴，轴上的截距分别为，因此所求三角形的面积为（2）当时，当时，当时，；当时，所以

56、当时，取得最小值，最小值为，从而当时，综上，的取值范围是【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.专题二立体几何与空间向量知识必备一、空间几何体的结构特征、三视图和直观图1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇

57、环2.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴、y轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VS底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底Veq f(1,3)S底h台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下Veq f(1,3)(S上S下eq r(S上S下)h球S4R2Veq f(

58、4,3)R33空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视图、左视图、俯视图难点正本疑点清源1正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形2正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心3空间几何体的数量关系也体现在三视图中，主视图和左视图的“高平齐”，主视图和俯视图的“长对正

59、”，左视图和俯视图的“宽相等”其中，主视图、左视图的高就是空间几何体的高，主视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，左视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图二、空间几何体的表面积与体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VS底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VS底h台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V (S上S下)h球S4R2VR3三、空间两直线的位置关系1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两

60、个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：.四、直线、平面平行的判定与性质1.直线与平