材料力学II课件：13第十三章能量法1

1、Page11. 组合变形的应变能FN(x)M(x)Fs(x)T(x)dx上一讲回顾 圆截面杆或杆系 非圆截面杆或杆系（y , z轴主形心轴）Page2若F1=F2位移互等定理ADF2212221ADF1211211功的互等定理可推广到两组外力情形2. 功和位移互等定理Page3例：试确定图a均布载荷q 对应的广义位移，图b铰链两侧横截面相对转角 对应的广义力。ABC(b)(a)AB相应广义位移：面积对应广义力：一对力偶Page4例 13-3 试计算弹簧的轴向变形l解：影响弹簧变形的主要内力是扭矩弹簧丝长n圈数Page513-3 卡氏定理 一、余功与余能外力余功弹性体的余能Vc数值上等于余功：外

2、力功Page6单向应力状态下余能密度拉压杆与梁的应变能单向应力状态应变能密度拉压杆与梁的余能Page7二、卡氏第一定理设弹性体受广义力Fk（k=1,n)的作用，相应位移k （k=1,n) 。AB1Fn2F1F2Fkkn使且仅使Dk增加微量dDk对于外力功Page8AB1Fn2F1F2Fkkn卡式第一定理:弹性体的应变能对于某一位移Dk的变化率，等于该位移相应的载荷适用范围: 线性与非线性弹性体Page9例：两杆材料E，面积A和杆长l 相同。已知A点垂直位移为fA，试用卡氏第一定理求A处铅垂力P思考题: 应用卡氏第一定理求解时，应将应变能写成分析方法: 由卡式第一定理求解力（载荷）的函数BA位移

3、的函数Page10例：两杆材料E，面积A和杆长l 相同。已知A点垂直位移为fA，试用卡氏第一定理求A处铅垂力P解：由节点A位移图Page11三、克罗第恩格塞定理与卡氏第二定理问题：弹性体受广义力Fk（k=1,n)的作用，求相应位移k。AB1Fn2F1F2FkkndFkdk解：使Fk增加微量dFk，余功增量又克罗第恩格塞定理:弹性体的余能对载荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的相应位移 DkPage12对于线性弹性体，应变能数值上等于余能克罗第恩格塞定理:卡氏第二定理：线性弹性体的应变能，对载荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的相应位移 Dk注意：对于线弹性体，应变能数值上等于余能，但应变能与余能是两个

4、完全不同的物理量。Page13对于拉压杆圆截面杆组合变形：非圆截面杆组合变形：思考：为什么对于组合变形可以采用叠加法？由卡氏定理计算各基本和组合变形的位移Page14 讨论定理的适用范围：克罗第恩格塞定理：卡氏第二定理：一般弹性体线弹性体 对于非线性材料(应力应变关系非线性)， 需用克罗第-恩格塞定理。Page15卡氏第二定理：一般弹性体线弹性体卡氏第一定理：Page16(a)(b)思考题： 。 ABCDPage17等于A点挠度的两倍与B点挠度之和。讨论： 的几何意义?(a)(b)对于刚架（b)注意DA和DB指沿力线的距离。设Page18卡式定理的应用克罗第恩格塞定理:一般弹性体卡氏第二定理：

5、线弹性体Page19解：例： 用卡氏定理求A点挠度 转角 梁轴线变形 前后所扫过的面积 。 （1）计算A点的挠度 wA梁内弯矩由卡氏定理，A点挠度附加力法Page20解：例： 用卡氏定理求A端挠度 转角 梁轴线变形 前后所扫过的面积 。 （2）计算A点的转角qA，梁内弯矩由卡氏定理，A端转角思考：所求广义位移没有对应广义力怎么办？采用附加载荷法，在A点加一附加力偶M0M0负号表示什么意义？Page21解：计算梁轴线变形前后所扫过的面积W，梁内弯矩思考： W所对应的广义力？采用附加载荷法，在全梁加一附加均布载荷q0q0轴线扫过面积课后题：试由对照Page22例：用卡氏定理求A点挠度， EI为弯曲

6、刚度。解：设FA=2F, FB=F(a)(b)AB段： BC段： 同名载荷问题 Page23MeMe例：计算铰链A两侧的相对转角FRABC(a)分析： 先确定广义位移 所对应的广义力（附加力法）:作用于铰链两侧一对力偶Me常见错误：不会计算约束反力，甚至错误当作静不定结构。取整体为研究对象，由对称性或由对B、C的力矩平衡，确定C、B铅垂反力为F/2，然后由AC段平衡确定全部约束反力。MeC(b)A不同类型广义力Page24解： AC段弯矩MeMeFRABC(a)MeC(b)APage25由卡氏定理：MeMeFRABC(a)MeC(b)APage26由A、B 两节点平衡例： 各杆EA，求A点水平

7、位移及AB转角。解： （1）计算A点水平位移由整体平衡Page27问题 若由卡氏定理计算 ，附加载荷怎么施加？（2）计算AB转角由几何关系Me/lMe/l如图，作用于1杆的Me向节点A、B分解Page28在A、B 两点加附加力Me/lMe/l（3）计算AB转角由卡氏定理Page29例：材料的应力应变关系。压缩时，方程中的和均取绝对值。求A端的挠度。FlAxzyhb分析：非线性弹性问题，需用克罗第恩格塞定理，其中关键是余能的计算解：1.应力分析根据平面假设非线性弹性问题Page30FlAxzyhb（）2. 余能计算余能密度梁的总余能3. 由克罗第恩格塞定理计算挠度Page31卡式定理小结 卡式第一定理 适用于 。AB线弹性体线性与非线形弹性体 卡式第二定理 适用于 。AB线弹性体线性与非线形弹性体 应用卡式第一定理，应变能表示成（ ）的函数 应用卡式第二定理，应变能表示成（ ）的函数 位移载荷Page32 求非线性弹性体的位移，用（ ） 定理，即（ ） 应用卡式第二定理求位移，若该处无相应载荷，可用（ ）。克罗第恩格塞定理附加力法Page33DCDAx+DAy ADAx 线性弹性刚架各杆弯曲刚度EI，A