材料力学II课件：12第十三章 能量法（一）

1、Page1第 13 章 能量法（一） 13-1 外力功与应变能的一般表达式13-2 互等定理13-3 卡氏定理13-4 变形体虚功原理13-5 单位载荷法13-6 图乘法Page2 本章主要介绍能量法的基本原理与分析方法，包括： 外力功与应变能 功与位移互等定理 克罗第-恩格塞定理与卡氏定理 变形体虚功原理与单位载荷法 研究对象：直杆、曲杆、桁架与刚架，涉及线性与非线性问题Page3 引言求节点A的铅垂位移 的两条研究途径方法一方法二（压）（拉）Page4问题： （1）用什么方法求节点A的位移BC杆的转角？能量法可以有效研究更复杂的一般问题Page513-1 外力功与应变能的一般表达式一、计算

2、外力功的基本公式 非线性弹簧 刚体 线性弹簧k：弹簧常数为什么线弹性体外力功表达式有常系数1/2？Page6 一般弹性体相应位移 d : 0 D 线性弹性体载荷 f : 0 F思考：常数k怎样确定？fdfdF对比：弹性体与弹簧Page7 广义力与广义位移相应位移：载荷F作用点沿载荷作用方向的位移分量D。外力功： 载荷在相应位移上所作之功。广义力： 力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或转向相反的力偶等。广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。：与力F相应的广义位移Page8二、克拉比隆定理：线弹性体上作用有多个广义力，比例加载，根据叠加原理，各广义力与相应广义位移成正比。Fi广义

3、载荷D i相应广义位移外力功：由于外力功与加载次序无关，本定理也适用于非比例加载。但只适用于线弹性体克拉比隆定理是否说明可由叠加法计算多个力的功？不能，因为Page9例：已知 ，求 与 关系。几何非线性问题与外力功计算载荷-位移关系外力功计算构成线性弹性结构的条件 材料符合胡克定律（物理线性） 小变形 可按原始几何关系分析内力与变形（几何线性）Page10三、应变能的一般表达式1.单位体积内应变能应变能密度拉压应变能密度纯剪应变能密度Page112. 基本变形的应变能拉压FN(x)dx对于桁架应变能密度拉压杆应变能Page12 扭转T(x)dxd应变能密度圆轴扭转应变能非圆截面轴扭转应变能Pa

4、ge13 弯曲M(x)dxd应变能密度拉压杆应变能非对称弯曲沿两主轴分解计算应变能yCzF注：忽略了弯曲剪力的应变能Page14T(x)dxdM(x)dxd 利用功能原理计算应变能FN(x)dx拉压扭转弯曲Page153. 组合变形的应变能T(x)dxdM(x)dxdFN(x)dxFN(x)M(x)Fs(x)T(x)dx思考：组合变形的总应变能能否由各基本变形的应变能叠加，为什么？答：能够。因为各基本变形的应变能不耦合。换句话说，一种基本变形的对应内力在其他基本变形上作的功为零。Page16组合变形的应变能公式FN(x)M(x)Fs(x)T(x)dx 圆截面杆或杆系 非圆截面杆或杆系（y ,

5、z轴主形心轴）Page17解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左)例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算梁的应变能与外力所做之总功。弯曲刚度为EI。FMAx解:(2) 计算外力所作之总功?Page18结论：梁的应变能等于外力所做总功FMA 挠度 转角 外力功 多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算Page19BlCx2x1M0FAl例: 试计算图示水平面内直角刚架的应变能。刚架截面为圆形，直径为 d，材料弹性模量和剪切模量分别为E和G。解：对于图示刚架，弯矩和扭矩方程分别为：AB段：BC段：分析：总应变能等于各段、各基本变形的应变能叠加。Page20BlCx2x1M0FAlPage21

6、仅作用力F，刚架应变能为（）如果仅作用力偶，刚架应变能为（）（1）检验：（1）（2）单独计算各载荷对应的应变能。Page2213-2 互等定理 如何解下述问题？ 1. 测量线弹性梁（图a, 等截面或任意形状变截面）A、B两点挠度，但仅端点C适合装千分表。2. （P74，题136）等直杆宽b，拉压刚度EA，泊松比 求(1)Page23 考察同一弹性体的两种受力状态引起位移的载荷发生位移的点ADF2212221ADF1211211Page24先加 F1，后加 F2：先加 F2，后加 F1： 线弹性体的两种加载次序与功总功与加载次序无关 W1=W2ADF222221F1111ADF222211F11

7、21两表达式的交叉项相等 Page25ADF222221F1111ADF222211F1121对于线性弹性体，F1在F2引起的位移D12上所作的功，等于F2 在F1引起的位移 D21上所作的功功的互等定理（简单情形）Page26功的互等定理（简单情形）功的互等定理（一般情形）对于线性弹性体，第一组外力 F1 (i) (i=1,2,m)在第二组外力引起的位移 D12(i) 上所作的功，等于第二组外力 F2(j)(j=1,2,n)在第一组外力引起的位移 D21(j)上所作的功。ADF2M2q2ADF1M1q1其中力和位移均指广义力和广义位移。Page27若F1=F2位移互等定理ADF2212221

8、ADF1211211当F1与F2的数值相等时， F2在点1沿F1方位引起的位移D12，等于F1在点2沿F2方位引起的位移D21Page28例： 测量线弹性梁（图a, 等截面或任意形状变截面）A、B两点挠度，但仅端点C适合装千分表。解： 设图a在A点的挠度为如图b加载和装千分表，测得C点的挠度为则根据位移互等定理Page29由功的互等定理例： 如图a支座A因装配应力破坏，A、B点分别下降 和 , 在新的无初应力位置修复（图b），求B点作用F 时支座A的约束反力。 解： 在破坏前和破坏又修复后，结构受力状态如图a,b。 (b)(a)Page30例：（P74，题136）等直杆宽b，拉压刚度EA，泊松

9、比 求解: 设第二种受力状态为 轴向拉力F对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立?(1)(2)如何设第二种受力状态？Page31如何设第二种受力状态？由功的互等定理FFABd例： 已知E， ，h ，求均质薄板面积改变量DAq解： 考虑薄板受均布载荷qPage32思考题1 板内开任意一孔， 是否变化？思考题2 内孔受一对图示方向的力， 是正还是负？Page33AB单独作用下的外力功，在单独作用下的外力功，其中和为沿相应载荷方向的位移，设在和共同作用下的一定有 。例：线弹性结构在外力功D上述三个答案都不正确CPage34Page35例：试确定图a均布载荷q 对应的广义位移，图b铰链两侧横截面相对转角 对应的广义力。ABC(b)(a)AB相应广义位移：面积对应广义力：一对力偶Page36例 13-3 试计算弹簧的轴向变形l解：影响弹簧变形的主要内力是扭矩弹簧丝长n圈数Page371. 组合