证券投资学课件：第9章 投资组合理论

1、证券投资学第9章 投资组合理论第九章 投资组合理论portfolio selection theory第一节 单种证券的收益与风险衡量第二节 投资组合的收益与风险第三节 投资组合理论第四节 单指数模型的引入引言：投资组合理论的发展（一）分散投资的理念早已存在，如我们平时所说的“不要把所有的鸡蛋放在同一个篮子里”。但传统的投资管理尽管管理的也是多种证券构成的组合，但其关注的是证券个体，是个体管理的简单集合。投资组合管理将组合作为一个整体，关注的是组合整体的收益与风险的权衡。 Hicks（1935）提出资产选择问题，投资有风险，风险可以分散；引言：投资组合理论的发展（一）1952年，哈里马可维茨（

2、Harry Markowitz）发表了一篇题为证券组合选择的论文，这篇论文在后来被认为是投资组合理论的开端；关键结论：投资者应该通过同时购买多种证券而不是一种证券来进行分散化投资，这样可以在不降低预期收益的情况下，减小投资组合的风险。前提假设：马可维茨型投资者（Markowitz Optimizer ）投资者用预期收益率来估计投资组合收益的大小，并用其波动性来衡量组合的风险，而且每一项可供选择的投资在一定持有期内都存在确定的预期收益率的概率分布。投资者期望获得最大收益，但他们不喜欢风险，是风险厌恶者，即面对收益相同的两个资产时，投资者偏好风险较小的资产。投资者完全根据预期收益率和风险做出决策，

3、这样他们的效用曲线只是预期收益率和预期收益率方差（或标准差）的函数。投资者选择投资组合的标准是预期效用的最大化，即在既定的收益水平下，使风险最小，或者在既定的风险水平下，使收益最大。投资组合理论的发展（二）Harry Markowiz（1952）：Portfolio Selection，标志着现代投资组合理论（the modern portfolio theory，MPT）的开端； William Sharpe（1963）提出了均值-方差模型的简化方法-单指数模型（single-index model）；William Sharpe（1964）、John Lintner及（1965）Jan M

4、ossin（1966）提出了市场处于均衡状态条件下的定价模型CAPM；投资组合理论的发展（三）Richard Roll（1976）对CAPM提出了批评，认为这一模型永远无法实证检验；Stephen Ross（1976）突破了CAPM，提出了套利定价模型（arbitrage pricing model , APT)；Fama（1970）提出了有效市场假说。资本市场的混沌（Chaos）(分形）假说。现代投资组合理论的框架体系第一节单种证券的收益与风险衡量 构建投资组合的基础1.1 历史收益率1.2 预期收益率1.3 投资风险的衡量1.4 证券间的相互关系：协方差和相关系数1.1 历史收益率1.1.

5、1 单期历史收益率 1.1.2 多期：历史平均收益率 1.2 预期收益率投资者在作投资决策时，一般无法事先确切地知道期末财富值的大小，因此投资收益率存在着一定的不确定性。 预期收益率的衡量：收益率的期望值、中值、众数。目前，期望值的使用最为广泛。情景分析（scenario analysis） 例9-1：假设股票A和B未来某一时期的投资收益率主要受宏观经济变化的影响，经过分析，得到未来经济状态的三种情况及在三种情况下股票A和B的收益率，如表9-1：求：未来预期收益率的估计：期望值未来预期收益率的估计：期望值数学期望为我们估计证券的未来收益率提供了一个很好的工具，公式为：例9-1 中，股票A 和B

6、 的期望收益率的计算过程如下：由上述计算可知，股票A的期望收益率大于股票B，分别为16.55%和9.4%。上述讨论假定只有三种经济状态，但实际上经济状态远不止这三种，从经济的繁荣到萧条，这中间有无数种可能的状态，如果对每一种经济状态都赋予一个概率，并且在各种经济状态下预测股票A、B 的收益率，则可通过类似的方法得到股票A和B的期望收益率值。1.3 风险的衡量一般认为，证券投资风险是指证券投资收益率偏离期望收益率的可能性。衡量投资风险的方法很多，但最常见的是收益率的方差和标准差。投资收益率方差和标准差的计算公式：例9-1 中，股票A和B收益率的方差与标准差计算过程如下：由上述计算可知，股票A的收

7、益率比股票B的高，但同时股票A的投资风险也大于股票B的风险，其收益率的标准差分别为23.04%和1.43%。1.4 证券间的相互关系：协方差和相关系数除了要分析单种证券的收益率和风险外，在投资组合分析中，需要研究不同证券之间的相互关系。协方差可以反映两种证券投资的收益率相对于其期望收益率的变动是否同向，相关系数是一种标准化的协方差，其计算公式为：由此可见，股票A和B的收益率之间存在正相关关系，但不是完全正相关，这在证券市场上是一种普遍情况。例9-1 中，股票A 和B 收益率的协方差和相关系数的计算过程如下：第二节 投资组合的收益与风险2.1 历史收益率2.2 投资组合的期望收益率2.3 投资组

8、合的风险2.4 相关系数对投资组合风险的影响 证券投资组合（Portfolio） 一、证券组合的含义:证券组合由一种以上的有价证券组成，如包含各种股票、债券、存款单等，是指个人或机构投资者所持有的各种有价证券的总称。二、构建证券投资组合的原因(1)降低风险。(2)实现收益最大化三、如何确定不同证券或资产上的投资比例，以使资金稳定快速增长并控制投资风险，这就是投资组合理论要解决的问题。投资组合中各种证券的权重一般以构成投资组合的各种证券的权重表示某个投资组合。如组合P由A和B两种证券构成，其权重分别为0.4 和0.6，则该组合可以表示为P（0.4，0.6）。投资组合中各种证券权重（ i x ）的

9、计算公式为：卖空就是负的投资，因此权重可以是正数，也可以是负数。若权重为正数，则表示投资者在该证券上处于多头部位；相反，若权重为负数，则表示投资者卖空该证券，处于空头部位。无论组合中各种证券的权重是正的还是负的，整个组合的所有证券的权重之和等于1。例9-3 已知甲、乙和丙三种股票的每股现价分别为5 元、10元和20元。张三卖空股票甲200股，将所得资金1000元与其自有投资资金5000元共6000元，买入200 股乙和200股丙，得到投资组合P。求组合P中股票甲、乙和丙的权重。2.1 历史收益率设 为股票 的历史收益率，则投资组合P的历史收益率为：2.2 投资组合的期望收益率投资组合P由n种证

10、券构成，其权重分别等于其收益率分别为 ，则组合P的期望收益率为：投资组合的期望收益率是构成组合的各种证券期望收益率的加权平均数，权重为各种证券在组合中的市场价值比重。2.3 投资组合的方差与标准差投资组合的风险（方差或标准差）并非是构成组合的各种证券的风险（方差或标准差）的加权平均数。投资组合收益率的方差与标准差：投资组合收益率的方差等于构成组合的各种证券两两之间的协方差的加权平均数，权重为两种证券投资比重的乘积。两种证券组合的期望收益率和风险：(n=2)例9-4 股票A和B的预期收益率和标准差如下表所示，两种股票收益率的相关系数为0.6，求：股票A和B按0.2：0.8的权重所构成的组合P 的

11、期望收益率与标准差。2.4 相关系数对投资组合风险的影响通过两种证券组合，来分析证券之间相关系数的大小对组合收益率的影响。假设证券甲和乙的标准差分别为 ，其相关系数为 ，组合中证券甲的权重为 ，则：除了证券收益率之间完全正相关的特殊情形外，投资组合的风险要小于构成组合的各种证券风险的加权平均数，也就是说，投资组合具有分散风险的功能。而且，构成组合的各种证券收益率的相关程度越低，降低风险的程度越大。这也是为什么要进行组合投资的理由。相关系数对投资组合风险的影响 两种证券组合第三节Markowitz 投资组合理论.1假设条件.2可行集或机会集.3有效边界.4投资者效用与无差异曲线.5最优投资组合.

12、投资组合理论的假设条件一、投资组合理论的基本假设（一）假设证券市场是有效的，投资者能得知证券市场上多种证券收益与风险的变动及其原因。（二）假设投资者都是风险厌恶者，都希望得到较高的收益率，如果要他们随承受较大的风险则必须以得到较高的预期收益作为补偿；（三）风险以预期收益率的方差或标准差表示；投资组合理论的基本假设（四）假定投资者根据证券的预期收益率和标准差选择证券组合，则在风险一定的情况下，他们希望预期利益率最高，或在预期收益率一定的情况下，希望风险最小；（五）假定多种证券之间的收益是相关的，在得知一证券与其它各证券的相关系数的前提，可以选择得最低风险的证券组合。3.2 投资的“可行集”或“机

13、会集” 所谓投资组合，是指由一系列资产所构成的集合。可供投资的资产众多，可供选择的投资组合无穷。把所有可供选择的投资组合所构成的集合，称为投资的“可行集”（feasible set）或“机会集”（opportunity set）。 投资组合的两种替代表示（1）不同资产的投资比重； （2）“期望收益率-标准差”图上的一个点。 以（2）的表示方式，证券组合收益风险可能的构成点，组成曲线（或面积）即为可行集。两种风险证券的机会集若只有两种资产 影响证券投资组合风险的因素：1）每种证券比例2）证券收益的相关性3）每种证券的风险相关系数=+1时的机会集(一条直线)虚线表示允许卖空；实线表示不允许卖空。通

14、过卖空一定比例的高风险证券A，并将卖空所得与自有资金一起投资于低风险证券B，可以构造一个零风险组合，即收益率标准差等于零的投资组合。零风险组合C中证券A和B的权重为：Wa（%）Wb（%）ar（）p（%）E（Rp） （%）10005.624.6075255805.5850505986.5525756157.5201006338.50相关系数=-1时的机会集(折线)当两种证券收益率完全负相关时，由这两种证券可以构造一个零风险组合C，组合中两种证券的权重分别为：例如，A、B两种资产的期望收益率分别为 ，标准差分别为 。表9-1给出了由A和B两种资产在完全不相关时组合收益与风险的结果。Wa（%）Wb（

15、%）ar（）p（%）E（Rp） （%）10005.624.6075254.505.5850504.246.5525754.957.5201006.338.50表91 A和B两种资产在完全不相关时组合收益与风险 Wa（%）Wb（%）ar（）p（%）E（Rp） （%）10005.624.6075254.505.5850504.246.5525754.957.5201006.338.50相关系数=0时的机会集(曲线)当两种证券的相关系数为零时，并不能构造一个零风险组合，但可以得到一个最小风险组合。一般相关系数情况下一般相关系数情况下的机会集。实际上，同一股票市场中大多数股票之间一般都是正相关的，但相

16、关系数小于1。一般相关系数情况下两种证券组合的机会集如下图。一般情况下，由证券A 和B 构成的组合的机会集ADB 位于三角形ABC 区域内。越大，曲线ADB 就越靠近直线AB；越小，曲线ADB 就远离直线AB 而靠近折线ACB。ADB 是凸向纵轴的曲线，曲线上必存在一点D，离纵轴距离最近。D 点是两种证券投资组合机会集中风险（标准差）最小的投资组合两资产构成的投资组合的风险收益状况 线段CG表示相关系数从1减小到-1时，投资组合的风险收益点的轨迹。多种证券的组合的机会集我们首先考察三种证券组合。假设存在三种证券甲、乙和丙，其预期收益率各不相等，并且彼此之间不完全相关。首先由证券A和B进行组合，

17、得到仅仅由A和B构成组合的机会集ADB，D是机会集ADB上的任意一个投资组合。现考虑组合D与证券C的组合，其机会集为曲线CD。当D在曲线ADB上移动时，曲线CD构成了一个实体区域，如左图。多种证券的组合的机会集随着投资组合中风险证券数量的增加，通过类似的方法可以得到组合的机会集，其形状为下图所示的伞形区域。N项风险资产可以构成许多资产组合，其集合是平面上的一个区域。 图中阴影区域为N项资产组合的集合，投资者可在此区域中任选，但不能超出，因为无法改变各项资产收益和风险。 如图中所示，其中1点可能由40种资产构成的组合，2点可能是由80种资产构成的组合，3点则是由另外80种资产构成的组合，或者同样

18、80种资产，但不同比例构成的组合，等等。投资者不能超过这一区域，因为他们无法改变现有各项资产的期望收益和风险程度。231多种证券的组合的机会集显然，投资者只能将阴影区域的边缘的某一部分，即曲线ERX上选择他所需要的资产组合，而不会进入阴影区域内，因为在ERX曲线上的资产组合比起阴影区域内部的资产组合，要么同样风险程度上有更高的期望收益率，要么在同样收益率下有更低的风险，ERX是这一资产组合集合的效率前沿。ERX多种证券的组合的机会集可行域与有效边界二种证券组合时，可行集为一条曲线；三种或三种以上证券组合的可行集的形状呈伞形的曲面，所有可能的组合位于可行集的内部或边界上。证券组合投资的可行域3.

19、3 “有效集”(efficient set)或“有效边界” (efficient frontier)有效组合的优势法则（dominance rules） 投资者依据以下条件来确定有效边界： 第一，给定一定的收益率水平，使得风险最小； 第二，给定一定的风险水平，使得期望收益率最大。根据上述第一个条件，可以确定投资的最小方差集，投资的最小方差集为投资机会集的左边界；再根据上述第二个条件，从最小方差集中可以得到有效集或有效边界。满足上述条件的投资组合集合称为投资的“有效集”或“有效边界”。有效边界的确定组合A 和B 具有相同的期望收益率，根据条件一，投资者应该选择组合A，因为组合A 比组合B 具有更

20、小的风险。根据类似的方法，我们可以得到最小方差集。在最小方差集中的最左边的投资组合，是所有可能的投资组合中具有最小方差的组合，我们称之为整体最小方差组合（minimum variance portfolio，简称MVP）。在最小方差集即机会集的左边界中，组合C 和组合D 具有相同的风险，但组合D 比组合C 具有更高的期望收益率，因此投资者应该选择组合D，用类似的方法可以得到有效边界，即左图 中的实线曲线。可以求得任一比例将A、B两资产组合后的资产组合的期望收益率和标准差，所有这些资产组合构成一个资产组合，将各组数据在以标准差为横轴，期望收益为纵轴的图上描出，可得到一条连接A、B两点的曲线。从图

21、中可以看出，投资者可根据其需要，适当的选择资产A和资产B的比例，在曲线ACEB上选择相应的风险与收益关系。E（R）A 100%最小标准差组合CF40 A，60% BEB 100在资产A、B构成的所有组合中，图中C点所表示（A占56.7，B占43.3）的组合给出最小的标准差，这一组合被称为最小标准差组合。E（R）A 100% A最小标准差组合CF40 A，60% BEB 100 尽管投资者可以在曲线ACEB上任意选择投资组合，但因为对应线段AC上的每一组合（如A），线段CEB上都有相应的一个组合（如F），其风险程度（标准差）与AC线段上的对应组合相同，但期望收益更高，根据风险回避型投资者追求效用

22、最大化的假设，投资者只会在CEB上选择其所需要的资产组合。 线段CEB（即最小标准差组合与资产B之间的全部组合）即为全部资产组合的效率前沿，又称有效资产组合。有效边界的性质（1）有效边界是一条向上倾斜的曲线，反映了风险-收益率的权衡关系，即风险越大，要求的收益率越高。（2）有效边界是一条凸向纵轴的曲线，并且是严格凸的，即在有效边界上不存在凹陷的部分。为什么？（3）构成组合的各种证券之间的相关系数越小，有效边界就越弯曲。.4 投资者效用与无差异曲线（一）理性的投资者应该在投资的有效边界上选择合适的投资组合，但投资者到底应该在有效边界上众多的组合中哪一投资组合呢？这需要对投资者的主观愿望进行分析。

23、投资者效用是一个主观概念，可以用来衡量不同的投资组合给投资者所带来的偏好或满足程度。一般来说，投资收益率增加，投资带来的满足程度也会增加；投资收益率波动加大时，投资者会焦虑、疑惑和不安，投资效用会减少。因此，投资效用的大小会受投资收益率和投资风险的影响，或者说，投资者效用函数至少应包括投资收益率和风险因素。效用函数效用是是一个主观范畴，指人们从某事或某物上所得到的主观上的满足程度。常用的效用函数：对该投资者来说，该投资与4.66%的无风险收益率等价：确定等价收益率（certainty equivalent rate）无差异曲线如果投资者效用仅仅是投资收益率和风险的函数， 我们就可以用无差异曲线

24、（indifference curve）来表示投资者的效用。所谓无差异曲线，是指在“标准差-期望收益率”平面上，将效用期望值相同的点所连成的一条曲线，即对某个投资者来说，同一条无差异曲线上的不同的投资组合给他带来的效用期望值相等。无差异曲线的性质第一，无差异曲线向右上方倾斜（或者说无差异曲线上各点的斜率为正值）。即随着风险的增加，要想保持相同的效用期望值，只有增加期望收益率，也就是说，必须给增加的风险提供风险补偿。第二，风险厌恶者的无差异曲线凸向横轴。即随着风险的增加，对于相同幅度的风险增加额，投资者所要求的风险补偿不断增加，即随着风险的增加，无差异曲线上的各点的斜率越来越大。上述两个性质是由

25、投资者的永不满足及风险厌恶的特性所导致的。无差异曲线的性质第三，无差异曲线是密集的。即任何两条无差异曲线中间，必然有另外一条无差异曲线。我们把某个投资者密集的无差异曲线构成的集合，称为无差异曲线群。第四，对于同一时期的同一个投资者来说，任何两条无差异曲线不可能相交。第五，在无差异曲线群中，越往左上方的无差异曲线，其效用期望值越大。无差异曲线的上述性质可以保证：对某一个投资者来说，必然有一条无差异曲线与投资的有效边界相切。我们已经假设所有的投资者都是风险厌恶者，但不同投资者的风险厌恶程度有可能不同。有些投资者可能高度厌恶风险，有些投资者的风险厌恶程度可能较轻微。投资者的风险厌恶程度可以从其无差异

26、曲线的形状来分析。3.5 最优投资组合的选择所谓最优投资组合（the optimal portfolio）或最佳投资组合，是指某投资者在可以得到的各种可能的投资组合中，唯一可获得的最大效用期望值的投资组合。总之，要确定某一特定投资者最终会选择和建立哪一个投资组合（即最佳投资组合），除了在期望值和标准差的基础上来评估不同的投资组合所具有的收益率和风险特征之外，还必须使用无差异曲线。一般地，投资者在有效边界与其尽可能高的无差异曲线相切之点上建立自己的投资组合，以使其投资效用达到最大化。第四节 单指数模型的引入马科威兹模型对各种证券收益率波动之间的相互关系没有作任何假设，要得到投资的有效边界，首先需

27、要估计各种证券的期望收益率、收益率标准差及各种证券两两之间的协方差。目前，大多数金融机构的证券研究人员按照行业划分其研究对象。如证券研究人员甲专门研究金融行业股票，证券研究人员乙专门研究机械行业股票，证券研究人员丙专门研究交通行业股票，等等。各研究人员估计其所关注股票的预期收益率和波动性。但由谁来得出不同行业之间股票（如金融行业股票和机械行业股票）的相关性呢？传统的证券分析很难做出直接的估计。因此我们有必要对证券之间的相关结构作一定的假设。单指数模型引起证券收益率变动的因素多种多样。影响各种证券的因素性质不同，影响的时间不同，从而各种证券收益率波动的幅度和方向也会有所不同。但大体上看，若市场主

28、要指数上升，大多数证券的价格可能会上升；若市场主要指数下跌，大多数证券的价格可能会下跌。正是基于证券市场运行规律的这种观察结果，威廉.夏普提出了简化马科威兹模型的方法，即单指数模型（single-index model）单指数模型的表达式单指数模型的分析由单指数模型可知，某一证券的收益率由两个部分构成，一部分为系统收益率，它是能用市场收益率解释的部分；另一部分为非系统收益率，它由影响公司特有的因素造成的。由单指数模型的假设可知，系统收益率主要受宏观因素的影响，而非系统收益率主要受公司微观因素的影响，两者互不相关，无论市场收益率发生多大的变动，都不会对非系统收益率产生影响。另外，不同公司的非系统

29、收益率互不相关，如一个公司的财务危机只会对该公司的收益率产生影响，而不会波及其他公司。值的计算方程的斜率i可以视为某一证券的收益率相对于市场指数收益率的敏感性。系数。美国经济学家威廉夏普提出的风险衡量指标。 用它反映资产组合波动性与市场波动性关系（在一般情况下，将某个具有一定权威性的股指（市场组合）作为测量股票值的基准）。如果值为1.1，表明该股票波动性要比市场大盘高10 %，说明该股票的风险大于市场整体的风险，当然它的收益也应该大于市场收益，因此是进攻型证券。反之则是防守型股票。无风险证券的值等于零，市场组合相对于自身的值为1。单种证券的期望收益率与风险1.单种证券的期望收益率 对公式 两边

30、求期望值，得以上表明，单种证券的预期收益率的变动主要受市场收益率变动的影响，其影响的大小取决于该证券对市场收益率变动的敏感性程度，即 值的大小。2.单种证券的投资风险对公式 ，可以把证券i 的总风险分解成以下两部分:3.不同证券收益率之间的协方差由单指数模型还可以得到证券i 与证券j 收益率之间的协方差：可见，不同证券之间的相互关系是通过各自与市场的相关性体现出来的。投资组合的期望收益率和风险1.投资组合的期望收益率2.投资组合风险的分解当证券的非系统收益率互不相关时，同样也可将投资组合的总风险进行如下的分解：投资组合的值是构成组合的每种证券值的加权平均数，权数是每种证券的投资比重；而组合的非

31、系统风险是构成组合的每种证券的非系统风险的加权平均数，权数是每种证券的投资比重的平方。3.多元化投资可降低投资风险设投资组合P 由n 种证券构成，各种证券的收益率互不相关。投资于每种证券的资金数量都相等，则每种证券的投资比重应均为1/n，这样，投资组合P 的非系统风险为：方括号中的值代表的是构成该组合的各种证券所具有的非系统风险的平均数，而投资组合的非系统风险仅仅是这个平均数的1/n 。在投资多样化的进程中，随着构成组合的证券数量的不断增加，组合的非系统风险逐渐减小，甚至全部消除。非系统风险可以分散一个由30 种或更多种随机挑选出来的证券构成的投资组合，其个别风险已变得微乎其微。这样，投资组合

32、的总风险就等于或略高于其市场风险。从这个意义上说，投资组合的风险仅仅是不能通过多样化投资而消除的市场风险。由于个别风险可以通过多样化投资加以消除，市场就不会因为投资者承受这类风险而给予风险补偿。真正给予补偿的是单个证券的市场风险（用来衡量）而不是总风险（用方差或标准差来衡量）。证券组合可以分散非系统性风险2.风险的分类 证券投资风险系统性风险 非系统性风险 市场风险通货膨胀风险 利率风险 汇率风险财务风险 经营风险 信用风险 系统风险系统风险是指由于某种全局性的因素引的投资收益的可能变动，这种因素以同样的方式对所有证劵的收益产生影响。系统风险具体包括以下三种风险。1、市场风险。是指由于证劵市场长期趋势变动而