数列极限部分较难习题-供参考

1、数列极限部分书后较难的作业解答:一.( （书）第10题)证明数列 有极限证明:(一) 因为 故单减.(二) 由不等式 得 所以有 .故有下界.因此根据单调有界原理知,有极限.二.设常数,证明: 收敛,且求.解:(一)假设收敛,并记由已知得递推关系式:,令,利用,得,即解方程得 .又因为,故取.即(二)下面返证收敛.1.由显然.归纳地设,则即单增.2.再证有上界那么如何取呢?既然单增且有极限,那么就应是的一个上界.下面仍然用归纳法证明是的上界.事实上显然;设则故单增且有上界,因此收敛.注意:这里上界的找法似乎依赖于的极限值.为了使上述解法更符合逻辑,一般教科书往往先证(2),再求(1)的方法,不

2、过(2)中的上界的选取实际上是事先计算出的极限.当然若为单减的,则事先计算出的极限值就是数列的一个下界了.注意:同理可将上例推广到一般情形:设则数列收敛且其中(1)当即或时,(2)当即或时, 单增,且为上界;(3)当即或时, 单减,且以0或为下界; 有趣的是数列的极限与其初值并无关系.这说明在一个收敛的迭代数列中,不管数列的初值如何选取,数列总收敛到相同的极限值,这也正是迭代算法的存在价值.三.(第13题(3)设,数列由下式所确定: 证明它们有公共的极限.证明:(一)由可知, 因而 显然对于 ，又因为，故对于 所以 (1)因此, 单调递增.同理:因为, (2)因此单调递减.(二)由于因此有上界

3、,且有下界,根据单调有界原理知, 数列均有极限.(三).设对两边取极限,得 于是,即四.第12题设和已知实数,令 (1)证明数列收敛且证明:由(1)式, ; (2) (3) (4) 上述相加,得: 故 五. (第13题(1)设,证明数列收敛, 且证明:(一) 显然(二)由对于任何的, (1) (1)式说明与同号.如果与均大于0,则说明是单调增加的,且有上界3; 如果与均小于0,则说明是单调减少的,且有下界0.总之,根据单调有界原理知, 收敛.(三) 设,在两边取极限,得 ,解之,有六. (第13题(2)设实数,讨论数列敛、散性.证明: (一)假设收敛,并设,则由两边取极限,得,即,解得 因此,

4、当时, 发散;(二)当时,我们证明是收敛的.事实上,(1)显然,且下面利用归纳法证明对于任何的,有 事实上,若假设则有 故对于任何的,有总之, 对于任何的,有 (2)因为式说明与同号.如果与均大于0,则说明是单调增加的,且有上界1; 如果与均小于0,则说明是单调减少的,且有下界0.总之,根据单调有界原理知, 收敛.且七. (第1题(3)、(4)求极限解:(一) 因为 (1)故 () (2)所以 ( (3)故 (4)(二)由(4)式 ,且故由夹逼准则知, (4)求解:取,根据课堂上讲过例26(注意到此题是用夹逼准则证明的):设是实数序列, 则 ,有另解:记则 (5)又 由(3), (6)综合(5

5、)、(6),得 因为所以,由夹逼准则知,注: 上述另解中用到了结论，其证明方法如下.证明:记 则我们有 由此,得 且因此由夹逼准则知, 故.八. (第292页第2题).证明:若,则也有 证明:因为,故对于任给的,存在,使当时,有 (1) 令 (2)则 (3)又因故可取正整数使当时,恒有 (4)于是,当时,恒有即证明了, 对于任给的,存在正整数使当时,恒有所以, 九. (第292页第3题).设: 证明: 证明:记,因为故我们有 这里为无穷小序列.于是, 无穷小序列也是有界序列,可设 对因为 所以无穷小序列.又因为也都是无穷小序列,所以, 十. (第292页第6题).证明著名的施笃兹(Stolz)

6、定理:若数列满足条件:(1)且 ;(2)有极限则也有极限且证明: 假定,由此,并注意到,知对于任给的,存在,使当时,有 (且) (1)于是,当时 (2) 都包括在之内,因为,所以(2)式中那些分数的分母都是正数,于是得 上述各式相加,得 即故当时,有 (2)另外,我们有,当时 (3)故 ,注意到故有 (4)又注意到,对于上述的,因为,所以,有故可取,使得当有 (5)于是,当时,有因此,依极限定义,知 十一.(页第9题)求解:由(见课本的推导) (1)故注意到故 于是 十二.(页第4题)设且.证明:若有极限,则也有极限 证明:设,则其中于是 (1)记,为方便起见,又记 , 则 (2)显然有对于任

7、意给定的;且 (3)下面证明为无穷小序列.事实上,对于，使得，只要,就有 (4)又因为对于任何给定的有,所以对这取定的,存在,使当时,就有 ,又可取则当时，有 (5)我们记.于是，当时，有 故为无穷小序列.,所以, 第一章 函数的极限第二节 函数的极限一函数的极限的概念 (一)当时函数的极限1.引例：观察下述几个函数当无限增大时（即）的取值规律.（1）. ；（2）.（3）.（4）.大家注意到，这四个函数当时，都有明显的取值规律：其中（1），无论+，还是，相应的函数值都无限的接近同一常数0，这时，我们就称当时有极限0.记为：（要会背）.但（2）中，因为当+及时虽分别无限接近于常数-1和1，但在“

8、”这个总体极限过程中不能稳定在同一常数附近，这时，仍称不存在.如果单独考察左、右侧极限，它们却是分别存在的，分别为-1、1.记为：这里请大家务必区分开来.至于（3），随无限增大，也无限增大，的取值永不稳定，这时，当然不存在.但为了强调无限增大这一特点，形式地记.1的定义（1）（描述性定义：设函数当(其中为常数)时有定义，如果随无限增大时，相应的的值就无限地接近某一常数A，则称当“”时有极限A（或收敛于A）.记为：或.（2）（精确的数学定义）：设函数当(其中为常数)时有定义，如果对,（无论它多小）都，使当时，都有： ,则称当“”时有极限A（或收敛于A）.记为：或.注意：（1）.请大家思考一下单侧

9、极限 应如何定义？ （2）.的几何解释（作图说明）：对，在平面上分别作两条平行直线，则必存在,使当时，函数的图形总位于这两条平行直线之间.（3）.由引例，显然有定理1. （4）.请记住：例1证明：证明：对，要使由故取，则当时，就有.依定义：.（二）当时函数的极限1.引例：观察下述几个函数当时的取值规律（1）；（2）（3）.2的定义（1）（描述性的定义）设函数在的某个去心邻域内有定义.如果当无限地接近于时，相应地的值就无限地接近某一个常数A，这时，就称函数在点处有极限（或收敛于）A.记为：或.（2）（精确的数学定义）：设函数在的某个去心邻域内有定义，如果对（无论它多小），都，使当时（即时）都有，

10、这时，就称函数在点处有极限（或收敛于）A.记为：或.注意：（1）上述定义中为何要强调“去心邻域”？（2）仿上述精确的数学定义，如何定义单侧极限？（3）的几何解释：（作图说明）：对，在平面上分别作两条平行直线，则必存在点的邻域,使这邻域内的全部点（除所对应的函数|的图形总位于这两条平行直线之间. （4）显然，有：定理2.例2证明：（其中为常数，此结论要会背）.证明：对，要使 ，只须取，则当时，.依定义，.例3证明：（请大家先猜猜极限值是多少？有何想法没有？）证明：不妨设（为何能这样假设？）.对，要使 故取，则当时，有 例1.讨论解：因为,所以，不存在！（此结论要会背）.二.函数极限的性质注意到函

11、数极限共有六种（哪六种？）形式，本节仅就最为常用的为例讲述。对其他五种形式的极限也有相应的性质，只不过在叙述或表现方式上要稍作调整.1.局部有界性定理4.如，则必，使得，当时，有.证明：因为，所以对使当时，2.函数极限的唯一性定理3设存在，则它的极限一定唯一.证明：（反证法）请同学们参考数列极限的唯一性的证法自证.3.保序性定理5.如且则使当时，.证明：可仿定理3证之.推论1.如且使当 时，则.证明：（反证）注意：即使，仍可能有.如：推论2.（保号性）如且（，则使 当时，.证明：定理5中，取即可.三.函数极限的四则运算的法则定理6.若函数均在处存在极限：则 （1）； （2）； （3）.（B （

12、4）若，且在处局部有界，则.（不证，有兴趣的同学可作为课外练习自证.）例1.求.例2.求.例3.求.例4.求.例5.求.（比喻：以毒攻毒法）例6.求.例7.求.例8.求.例9.，求.例10.已知，为常数，求的值.例11.为有限常数），求的值.四函数极限与数列极限的关系（Heine定理）定理7.对任何数列，且，有.（注意其中的“任何”二字）证明：设，根据函数极限的定义，即 对，使当时，都有 (1) 对上述的，由于已知任何数列, , 所以，使当时，就有 成立. （2）所以对，使当时，.所以，依数列极限的定义：.（反证）假设.根据函数极限的定义的否定叙述，则使对，即使，都有 成立. （*）在（*）式

13、中分别取，则，使当，但.，则，使当，但. ，则，使当，但. 于是，构造出一个数列 ，因为，所以 ，但,与已知条件矛盾！五.函数极限存在的判别法1.定理8.（夹逼准则）设（1），使当时，；（2）.则.（注意：其他形式的夹逼准则如何叙述？）例17.证明：证明：只须证明其等价结论：事实上，当时， 所以，由夹逼准则，知.所以，例18证明：因为为偶函数，故只须证明：事实上，不妨设，则.两边同除以得：.又因为.所以，由由夹逼准则知，所以 .例19证明：证明：（一）先证， 不妨设，总有从而，有： 因为底大于1的幂函数是严格增加的，故有： ，所以，且.所以，由夹逼准则知，.（一）其次，证明： 事实上，当时，令

14、=.2定理9.（单调有界原理）若函数在开区间内单调增加且有界，则极限都存在.六两个重要极限 在前面，用夹逼准则分别得到的两个极限以后要经常用到，故特单独提出来，冠以“两个重要极限”.它们是： （1）或； （2）.例20；例21；例22；例23；例24；例25；例26；例27；例28；例29；例30.注意：以上的例24至例30 的结论要会背.第一章 函数的极限第三节 无穷小与无穷大一无穷大1无穷大的概念（1）定义1（描述性的定义）如果当或（）时，可以任意地大（即可以大于预先指定的任何很大的正数M），这时，称为“当”时（或“当”时）的无穷大，记为：.（2）.定义1的 等价定义（数学定义）：如果对（

15、无论它多大），总，使当时，都有：，这时，称为“当”时（或“当”时）的无穷大，记为：.2几点注意（1）无穷大是一个函数，而非一个很大很大的数！（2）同一个函数是否为无穷大要结合具体的极限过程.（3）只是形式记号，不是说， 存在，而恰恰相反，它是极限不存在的情形之一.（4）代表无穷大的符号不是实数，对它不能进行任何运算。（5）试考虑以下的极限如何定义：或？二无穷小1无穷小的概念（1）定义2（描述性的定义）：如果当或（）时，则称为“当”时（或“当”时）的无穷小.（2）定义2的等价定义（数学定义）：如果对，使当时（或时），有，这时称为“当”时（或“当”时）的无穷小.注意：（1）无穷小其实就是本章第一节

16、中讲过的极限为0的函数而已；（2）不可把无穷小理解为很小很小的数；（3）同一函数是否无穷小还要结合具体的极限过程；（4）但是任何极限过程中的无穷小.2无穷小与有极限函数间的关系定理1.三无穷小与无穷大的关系定理2.在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，而且，则为无穷大.例1.求例2.求四无穷小的运算性质定理3.设则 （1） （2） （3）有界函数乘以无穷小还是无穷小；推论：推广：有限个无穷小之和或乘积仍为无穷小。注意：前面提到过的函数极限的四则运算法则可利用无穷小的性质及无穷小与有极限函数间的关系证明.五无穷小的比较1定义3.设且时， （1）若则称是的高阶无穷小，计为； （2）若，则称是与同阶的无穷小；（3）若则称是与等价的无穷小，计为；（4）若（k是正数），称是的k阶无穷小.注意：（1）等价无穷小是同阶无穷小的特例； （