第13章-投资分析(4)Black-Scholes期权定价模型ppt课件

1、投资学 第13章投资分析4：Black-Scholes 期权定价模型.概 述Black、Scholes和Merton发现了看涨期权定价公式，Scholes和Merton也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖模型根本假设8个无风险利率知，且为一个常数，不随时间变化。标的股票不支付红利期权为欧式期权.无买卖费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场投资者可以自在借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率股票买卖无限细分，投资者可以购买恣意数量的标的股票对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价钱S的变化为几何布朗运动.B-S模型证明思绪ITO引理ITO过程B-S微分方程B-S买权定价公式.13.1 维纳过程根

2、据有效市场实际，股价、利率和汇率具有随机游走性，这种特性可以采用Wiener process，它是Markov stochastic process的一种。对于随机变量w是Wiener process，必需具有两个条件：在某一小段时间t内，它的变动w与时段满足t.13.12. 在两个不重叠的时段t和s, wt和ws是独立的，这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！13.2有效市场.满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有当时段的长度放大到T时从如今的0时辰到未来的T时辰随机变量wt的满足.证明：.在延续时间下，由13.1和13.2得到13.313.4所以， 概率分布的性质以上

3、得到的随机过程，称为维纳过程。.13.2 ITO定理普通维纳过程(Generalized Wiener process)可表示为13.5显然，普通维纳过程的性质为.普通维纳过程仍缺乏以代表随机变量复杂的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当假设把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程.B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特例几何布朗运动来代表股价的动摇省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程13.6证券的预期报答与其价钱无关。.ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为省略下标t令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可

4、以代表以标的资产x的衍生证券的价钱，那么f(x,t)的价钱变动过程可以表示为13.7.证明：将13.7离散化由13.1知利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为13.8.在延续时间下，即因此，13.8可以改写为13.9从而.即x2不呈现随机动摇！13.10.由13.10可得13.11由13.11得到13.12. 由于x2不呈现随机动摇，所以，其期望值就收敛为真实值，即当t0时，由13.9可得.13.3 B-S微分方程假设标的资产价钱变动过程满足这里S为标的资产当前的价钱，令f(s,t)代表衍生证券的价钱，那么f(x,t)的价钱变动过程可由ITO引理近似为.假设某投资者以份的标的资产多

5、头和1个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且满足那么该组合的收益为.下面将证明该组合为无风险组合，在t时间区间内收益为.留意到此时不含有随机项w，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于t较小不采用延续复利，那么整理得到.B-S微分方程的意义衍生证券的价钱f，只与当前的市价S，时间t，证券价钱动摇率和无风险利率r有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对f的值产生影响。在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即一切证券的预期收益率都等于无风险利率r。只需标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微分方程求出价钱f。.假设股票价钱服从几何布朗运动设当前时辰为

6、t，那么T时辰股票价钱满足对数正态分布，即13.4 几何布朗运动与对数正态分布.令那么这样由伊藤引理得到即.由13.1.那么称ST服从对数正态分布，其期望值为所以.13.5 B-S买权定价公式 对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权买权的在定价日t的定价公式为.1设当前时辰为t，到期时辰T，假设股票价钱服从几何布朗运动，假设曾经当前时辰t的股票价钱为St,那么T时辰的股票价钱的期望值为B-S买权定价公式推导13.13.13.14由13.13和13.14得到13.15根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件下，那么资产的期望报答为无风险报答，那么这阐明：在风险中性的世界中，任何可买卖的金融

7、资产的报答率均为无风险利率。.2在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为无风险利率r，故买权期望值的现值为13.16.由于ST服从对数正态分布，其pdf为13.17第1项第2项将由(13.16)得到.3化简13.17中的第1、2项，先化简第1项13.18当前时辰价钱，不是变量.13.19. 将13.19与13.18内的第2个指数项合并，即13.20.将13.20代入13.18下面，将利用变量代换来简化13.21，无妨令13.21.y的积分下限为y的积分上限为.将dy与y代入13.21，即有这样就完成了第1项的证明。13.22.下面证明B-S公式中的第2项，首先进展变量代换，令.那么z的积分下限z

8、的积分上限.将z和dz代入13.23.那么由13.22和13.23得到其中.pr0dN(d)例如:当d1.96时,N(d)913.5%.B-S买权公式的意义N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率。 e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现值。 .其次， 是复制买卖战略中股票的数量，SNd1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)那么是复制买卖战略中负债的价值。假设两个N(d)均为1，看涨期权价值为St-Xe-rT，那么没有不确定性。假设确实执行了，我们就

9、获得了以St为现价的股票的一切权，而承当了现值Xe-rT的债务。期权的价值关于标的资产的价钱及其方差，以及到期时间等5个变量的非线性函数Ct=f(St,X,r)的函数，具有如下性质.FactorEffect on valueStock price increasesExercise price decreasesVolatility of stock price increasesTime to expirationincreasesInterest rate increasesDividend RatedecreasesFactors Influencing Option Values: C

10、allsSo = 100X = 95r = 0.10T = 0.25 (quarter)= 0.50d1 = ln(100/95) + (0.10+(05 2/2) / (050.251/2) = 0.43 d2 = 0.43 + (050.251/2) =0.18N (0.43) = 0.6664， N (0.18) =0 .5714Call Option Example.Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = 13.70P = Xe-rT 1-N(d2) - S0 1-N(d1)Cal

11、l Option Value.13.6 看跌期权的定价利用金融工程的原理来对待期权平价关系思索如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金组合B：一份有效期和协议价钱与看涨期权一样的欧式看跌期权加上一单位标的资产.组合A到期时辰T的收益组合B到期时辰T的收益两个组合具有一样的价钱，且由于欧式期权不能提早执行，那么在t时辰两个组合价值相等，否那么就有套利，即此为看涨看跌期权平价公式。.从几何图性上看，二者对影响期权的关键目的都进展了负向变换，是关于纵向对称的。.标的资产价钱期权价值.13.7 有收益资产的欧式期权定价当标的证券知收益的现值为I时，我们只需用StI替代B-S公式中的St当标的证券的收益为按延续复利计算的固定收益率q单位为年时，我们只需将.对于欧式期货期权，其定价公式为其中：F为到期日期货的价钱，即付出X，得到一个价值为F的期货.根据泰勒公式对期权价钱进展二阶展开，忽略高阶项DeltaThetaVegaRhoG