Boltzmann统计ppt课件教学教程电子教案

1、6-2 Boltzmann统计 一、定位体系的最概然分布 最概然分布： 热力学概率最大的分布或微观状态数最多的一种分布。 例 4个不同粒子（可分辨）,在不同能级上分布，体系总能量3h，分布如下： t1 = C41 =4!/(1!3!) =4 t2 = C43 =4!/(3!1!) =4 t3 = C41 C31 = 4!/(2!1!1!) =12 就一种分布而言，分布的微态数 N 总粒子数 Ni 分布于各能级上的粒子数 体系总的微态数为 对于由大量粒子组成的体系, = Boltzmann认为，在所有求和项中，有一项最大，用tm 表示，(若只有一种分布时tm =）则 n 求和项数 对于由大量粒子

2、组成的体系,据摘取最大项原理: 则 问题： tm = ？ 解决方法：两边取对数： 对式(1) t 是粒子数的函数，对t 求全微分 (2)定位独立粒子体系，限制条件： 或者(3) 或者(4) (3)+(4)+(2)=(5)(5)、Lagrange系数 据Lagrange乘因子法,选择、使公式中任两个括号中值为零，则余下所有括号中值也都为零：(6)式中方程形式都相同，以第一个为例求解： 对N1 求偏导： 由式代入第一个方程 得到类推得通式：（7）（8）用数学方法可证明: kBoltzmann常数(9) Boltzmann最概然分布公式 Stirling公式由由(10)(11)二、Boltzmann

3、公式的讨论 1. 简并度 量子力学中，每个能级可能由若干不同的量子态,称同一能级（能量相同）的不同量子态数目为简并度,用g表示。 比如气体分子的平动能:nx、ny、nz 分别是x、y、z轴向的平动量子数 取值为1，2，3正整数 能级 nx ,ny,nz 可以取值： (1,2,1)、(1,1,2)、(2,1,1) 能量相同的三种取值,有三种不同的微观状态,则简并度 当能级有简并时定位体系的Bolzmann最概然分布的分布数： 能级 1 2 i简并度 g1 g2 gi粒子数 N1 N2 Ni假设：每个量子态上分布的粒子数不受限制 则简并度为gi 的i能级上,每个粒子都有gi 个状态可选，则Ni 个

4、粒子的总微态数为： 某种分布的微态数为 定位体系能级有简并度时， 某分布的微态数 则体系的总微态数 (12)求和的限制条件仍为：仍采用最概然分布处理方法：可以得到能级有简并度时定位体系 Bolzmann最概然分布公式 采用和上面相同的处理方法可得到 (14)(13)2.非定位体系的Bolzmann最概然分布粒子等同性的修正 对非定位体系，由于粒子不可分辨，当体系中粒子有一套确定的状态分布数即有一个确定的状态分布时，体系只有一种微观状态。如前面讲过的一个例子：(15) 若4个相同的不可分辨的粒子在不同能级上分布，体系总能量为3h,可能的分布如下：t1 =1 t2 =1 t3 =1 当各能级皆非简

5、并时，某分布ti拥有的微观状态数 恒为1。如上例b) 若能级是简并的，并当同一能级各量子态上 容纳的粒子数不受限制时，则Ni个粒子在gi个量子态 上分布的方式数为 好比Ni个不记姓名的人（同类粒子）入住同一层上gi个相连的房间中，各房间能容纳的人数不受限制，则居住方式数是由Ni个人与分隔gi个房间的(gi-1)个隔墙一起进行排列的方式数（ Ni +gi-1）！，但由于Ni个人不可分辨， gi-1个隔墙互换不影响居住方式，所以能实现的居住方式数为 如2个人分派在某一层的3个房间中，相当于 Ni=2, gi =3 则:某种分布ti的微态数(16)非定位体系某一分布的分布数当gi=1即各能级均非简并

6、时，由上式知ti=1；若Nigi 则由式化简可得:(17)大量粒子非定位体系某分布的分布数由(17)式与(12)式对比:(12)(17)比较可知 ： 粒子数相同的定位体系与非定位体系，在同一套分布数与能级简并度条件下，定位体系因粒子可分辨而比非定位体系的微态数大N!倍。 采用Stirling公式和Lagrange待定系数法同样可求知(17)式tm最大时的分布数：(18) (18)式与(13)式相同，即定位体系与非定位体系Boltzmann最概然分布的分布数形式完全相同。 同上述相同处理方法,可得：(19)(20)3. Boltzmann公式的其它形式(21)由则 例如已知基态能级0 ,简并度g0 ,分布数N0 ,则简并度为gi,能级i上分布的粒子数为(22)若不考虑简并度时：设基态能级0，粒子数N0，则i 能级上分布的粒子数如粒子在重力场中的分布：4、截取最大项法原理理解以下几个问题：体系所有的分配方式中，有一种分配的微观状态 数最多，即热力学概率最大-最概然分布 最概然分布基本上可以代替总的微观状态数即 最概然分布的数学概率很小，但偏离最概然分 布很小的那些分配方式的数学概率之和加上最 概然分布的数学概率近似为1。因此，最概然分 布可代表平衡分布。 宏观体系的热力