2021-2022学年忻州市重点高三第五次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数的导函数为，记，N. 若，则 （ ）ABCD2若，点C在AB上，且，设，则的值为（ ）ABCD3如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，

2、且，则双曲线的离心率是（ ）.ABCD4从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（ ）ABCD5已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，的大小关系是（ ）ABCD6在中，D为的中点，E为上靠近点B的三等分点，且，相交于点P，则（ ）ABCD7已知双曲线的一条渐近线为，圆与相切于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD8已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD9已知向量，若，则（ ）ABC-8D810各项都是正

3、数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为()ABCD或11阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）ABCD12设集合、是全集的两个子集，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若一个正四面体的棱长为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为_.14函数的定义域为_.15执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是_.16在的展开式中，的系数为_用数字作答三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数

4、方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线上的点M对应的参数，射线与曲线交于点（1）求曲线，的直角坐标方程；（2）若点A，B为曲线上的两个点且，求的值18（12分）已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（2）已知点，直线与曲线交于、两点，求.19（12分）已知，.（1）求函数的单调递增区间；（2）的三个内角、所对边分别为、，若且，求面积的取值范围.20（12分）每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租

5、车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位：)与网上预约出租车订单数(单位：份)；日平均气温（）642网上预约订单数100135150185210（1）经数据分析，一天内平均气温与该出租车公司网约订单数（份）成线性相关关系，试建立关于的回归方程，并预测日平均气温为时,该出租车公司的网约订单数；（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于，若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：21（12分）已知函数().（1）

6、讨论的单调性；（2）若对，恒成立，求的取值范围.22（10分）已知函数，.（1）当时，判断是否是函数的极值点，并说明理由；（2）当时，不等式恒成立，求整数的最小值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】通过计算，可得，最后计算可得结果.【详解】由题可知：所以所以猜想可知：由所以所以故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.2B【解析】利用向量的数量积运算即可算出【详解】解：，又在上，故选：【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，

7、向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用3C【解析】易得，又，平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形，所以，又，故，所以，即，故离心率为.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.4A【解析】设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，分别计算出，再利用公式计算即可.【详解】设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，由题意，则所求的概率为.故选：A.【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.5D【解析】利用对数函数的

8、单调性可得，再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.【详解】因为，故.又，故.因为当时，函数是单调递减函数，所以.因为为偶函数，故，所以.故选：D.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.6B【解析】设，则，由B，P，D三点共线，C，P，E三点共线,可知，,解得即可得出结果.【详解】设，则，因为B，P，D三点共线，C，P，E三点共线，所以，所以，.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.7D【解析】由圆与相切可知，圆心到的距离为2，即.又，由此求出的值，

9、利用离心率公式，求出e.【详解】由题意得，.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.8B【解析】先求出直线l的方程为y（xc），与yx联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率【详解】双曲线1（ab0）的渐近线方程为yx，直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，kl，直线l的方程为y（xc），与yx联立，可得y或y，2，ab，c2b，e故选B【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题9B【解析】先求出向量,的坐标，然后由可求出参数的值.【详解】由向量，则，又，则，解得.故选：

10、B【点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.10C【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比所满足的等量关系式，解方程即可得结果.详解：根据题意有，即，因为数列各项都是正数，所以，而，故选C.点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比，而待求量就是，代入即可得结果.11C【解析】根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n的值，进而求解的值，得到答案.【详解】由题意，第1次循环，满足判断条件；第2次循环，满足判断条件；第3次循环，满足判断条件； 可得的值满足以3项为周期的计算规律，所以当

11、时，跳出循环，此时和时的值对应的相同，即.故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.12C【解析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论.【详解】如图所示，同时.故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】将四面体补成一个正方体，通过正方体的对角线与球的半径的关系，得到球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，将正四面体补形成一个正方体，则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同

12、一个球，因为正四面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，设球的半径为，因为球的直径是正方体的对角线， 即，解得，所以球的表面积为.【点睛】本题主要考查了有关求得组合体的结构特征，以及球的表面积的计算，其中巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长，得到球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.14【解析】由题意可得，解不等式可求【详解】解：由题意可得，解可得，故答案为【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题158【解析】根据伪代码逆向运算求得结果.【详解】输入，若，则，不合题意若，则，满足题意本题正确结果：【点睛】本题考查算法中的语

13、言，属于基础题.161【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令，求出展开式中的系数【详解】二项展开式的通项为 令得的系数为 故答案为1【点睛】利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）（2）【解析】（1）先求解a,b，消去参数，即得曲线的直角坐标方程；再求解，利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲线的直角坐标方程；（2）由于，可设，代入曲线直角坐标方程，可得的关系，转化，可得解.【详解】（1）将及对应的参数，代入得，即，所以曲线的方程为，为参数，所以曲线的直角坐标方程为设圆的半径为R，由题意，圆

14、的极坐标方程为（或），将点代入，得，即，所以曲线的极坐标方程为，所以曲线的直角坐标方程为（2）由于，故可设，代入曲线直角坐标方程，可得，所以【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18 (1) .(2) 【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；（2）设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.【详解】（1）对于曲线的极坐标方程为，可得，又由，可得，即，所以曲线的普通方程为.由直线的参数方程为（为参数），消去参数可得，即直线

15、的方程为，即.（2）设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程（为参数）代入曲线中，可得.化简得：，则.所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19（1）；（2）.【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后解不等式，可求得函数的单调递增区间；（2）由求得，利用余弦定理结合基本不等式求出的取值范围，再结合三角形的面积公式可求得面积的取值范围.【详解】（1），解不等式，解得.因此，函数的单调递增区间为；（2）由题意，则，解得.由余弦定理得，又，当且仅当时取等号，所以，的面积.【点睛

16、】本题考查正弦型函数单调区间的求解，同时也考查了三角形面积取值范围的计算，涉及余弦定理和基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.20（1），232；（2）【解析】(1) 根据公式代入求解；(2) 先列出基本事件空间，再列出要求的事件，最后求概率即可.【详解】解：（1）由表格可求出代入公式求出，所以，所以当时，.所以可预测日平均气温为时该出租车公司的网约订单数约为232份.（2）记这5天中气温不高于的三天分别为，另外两天分别记为，则在这5天中任意选取2天有，共10个基本事件，其中恰有1天网约订单数不低于210份的有，共6个基本事件，所以所求概率，即恰有1天网约订单数不低于20份的概率为.【点

17、睛】考查线性回归系数的求法以及古典概型求概率的方法，中档题.21（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时， 在上单调递增；（2）.【解析】（1）求出函数的定义域和导函数， ，对讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一: 由得，分别运用导函数得出函数()，的单调性，和其函数的最值，可得 ，可得的范围;法二:由得，化为令()，研究函数的单调性，可得的取值范围.【详解】（1）的定义域为，当时，由得，得， 在上单调递减，在上单调递增；当时，恒成立,在上单调递增；（2）法一: 由得，令()，则，在上单调递减，即，令，则，在上单调递增，在上单调递减，所以，即， (*)当时，(*)式恒成立，即恒成立，满足题意法二:由得，令()，则，在上单调递减，即，当时，由()知在上单调递增，恒成立，满足题意当时，令，则，所以在上单调递减，又，当时，使得，当时，即，又，不满足题意，综上所述，的取值范围是【点睛】本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.22（1）是函数的极大值点，理由详见解析；（2）1.【解析】（1）将直接代入，对求导得，由于函数单调性不好判断，故而构造函数，继续求导，判断导函数在左右两边的正负情况，最后得出，