2021-2022学年天津市滨海新区七所重点高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为( )ABCD2若复数满足（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ）

2、ABCD3已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，（其中e是自然对数的底数），若，则实数a的值为( )AB3CD4已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）ABCD5已知三棱柱( )ABCD6已知集合，集合，那么等于（ ）ABCD7为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）A24B36C48D648已知等差数列的前13项和为52，则（ ）A256B-256C32D-329定义在R上的函数，若在

3、区间上为增函数，且存在，使得.则下列不等式不一定成立的是（ ）ABCD10函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）ABCD11己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对，则实数的取值范围是（ ）ABCD12已知平面向量，满足，且，则（ ）A3BCD5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设，若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是_14圆心在曲线上的圆中，存在与直线相切且面积为的圆，则当取最大值时，该圆的标准方程为_.15已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)=e-x-1-x，则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是_.16已知双

4、曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线

5、上学习时间不足5小时合计45（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82

6、8（参考公式其中）18（12分） 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.19（12分）已知椭圆，点，点满足（其中为坐标原点），点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为，若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.20（12分）设函数.()当时，求不等式的解集；()若函数 的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围.21（12分）如图， 在四棱锥中， 底面， ， ，点为棱的中点.（1）证明：（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一点， 满足，

7、 求二面角的余弦值.22（10分）已知在多面体中，平面平面，且四边形为正方形，且/，点，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【详解】由已知可知，点为中点，为中点，故可得，故可得；代入椭圆方程可得，解得，不妨取，故可得点的坐标为，则，易知点坐标，将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为，故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题

8、.2D【解析】由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得，即可得虚部.【详解】由zi1i，z ，所以共轭复数=-1+，虚部为1故选D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题3B【解析】根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得.【详解】由已知可知，所以函数是一个以4为周期的周期函数，所以，解得，故选：B.【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.4B【解析】构造函数（），求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.【详解】构造函数（

9、），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得.故选:B.【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.5C【解析】因为直三棱柱中，AB3，AC4，AA112，ABAC，所以BC5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径取BC中点D，则OD底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R13，即R6A【解析】求出集合，然后进行并集的运算即可.【详解】，.故选：A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的

10、解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.7B【解析】根据题意，有两种分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.【详解】当按照进行分配时，则有种不同的方案；当按照进行分配，则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.8A【解析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【详解】由，得.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.9D【解析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可【详解】由条件可得函数关于直线对

11、称；在，上单调递增，且在时使得；又，所以选项成立；，比离对称轴远，可得，选项成立；，可知比离对称轴远，选项成立；，符号不定，无法比较大小，不一定成立故选：【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10D【解析】由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，得，当时，.故选D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.11B【解析】考虑当时，有两个不同的实数解，令，则有两个不同的零点，利用导数和零点存在

12、定理可得实数的取值范围.【详解】因为的图象上关于原点对称的点有2对，所以时，有两个不同的实数解.令，则在有两个不同的零点.又， 当时，故在上为增函数，在上至多一个零点，舍.当时，若，则，在上为增函数；若，则，在上为减函数；故，因为有两个不同的零点，所以，解得.又当时，且，故在上存在一个零点.又，其中.令，则，当时，故为减函数，所以即.因为，所以在上也存在一个零点.综上，当时，有两个不同的零点.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题.12B【解析】先求出，再利用求出，再求.【详解】解：由

13、，所以，故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.【详解】因为，所以，令得，因为函数有大于0的极值点，所以，即.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.14【解析】由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到直线的距离等于半径，再由均值不等式可得的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标准方程【详解】设圆的半径为，由题意可得，所以，由题意设圆心，由题意可得，由直线与圆相切可得，所以，而，所以，即，解得，

14、所以的最大值为2，当且仅当时取等号，可得，所以圆心坐标为：，半径为，所以圆的标准方程为：.故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意验正等号成立的条件.15y=2x【解析】试题分析：当x0时，-x0时，函数y=f(x)，则当x0时，求函数的解析式”有如下结论：若函数f(x)为偶函数，则当x0时，函数的解析式为y=-f(x)；若f(x)为奇函数，则函数的解析式为y=-f(-x)16或【解析】用表示出的面积，求得等量关系，联立焦距的大小，以及，即可容易求得，则离心率得解.【详解】联立解得.所以的面积

15、，所以.而由双曲线的焦距为知，所以.联立解得或故双曲线的离心率为或.故答案为：或.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）详见解析期望；方差【解析】（1）完成列联表，代入数据即可判断；（2）利用分层抽样可得的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知，计算出期望与方差.【详解】（1）分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足5小时101626合计252045

16、有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.（2）由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取人，的可能取值为0，1，2，3，4，所以，的分布列：从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为，则，故，.【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.18 (1) (2) 【解析】（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题在上有解，去绝对值分离变量a即可.【详解】（1）不等式，即等价于 或或 解得 ，所以原

17、不等式的解集为； （2）当时，不等式，即，所以在上有解 即在上有解， 所以，【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.19（1）（2）是，【解析】（1）设,根据条件可求出的坐标，再利用在椭圆上，代入椭圆方程求出即可;（2）设运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出，,再利用焦半径公式表示出,进而求出周长为定值【详解】(1)设,因为,即则,即,因为均在上,代入得,解得,所以椭圆的方程为; (2)由(1)得,作出示意图,设切点为,则,同理即,所以,又,则的周长,所以周长为定值.【点睛】标准方程的求解,椭圆中的定值问题,考查焦半径公式的运用,

18、考查逻辑推理能力和运算求解能力,难度较难.20（1）（2）【解析】()当时，不等式为.若，则，解得或，结合得或.若，则，不等式恒成立，结合得.综上所述,不等式解集为.()则的图象与直线所围成的四边形为梯形,令,得,令，得,则梯形上底为, 下底为 11,高为.化简得，解得，结合，得的取值范围为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向21（1）证明见解析 （2） （3）【解析】（1）根据题意以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并表示出，由空间向量数量积运算即可证明.（2）先求得平面的法向量，即可求得直线与平面法向量夹角的余弦值，即为直线与平面所成角的正弦值；（3）由点在棱上，设，再由，结合，由空间向量垂直的坐标关系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量，由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值，再根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角的余弦值.【详解】（1）证明：底面，以为坐标原