2021-2022学年天津市高考冲刺模拟数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知直线yk（x1）与抛物线C：y24x交于A，B两点，直线y2k（x2）与抛物线D：y28x

2、交于M，N两点，设|AB|2|MN|，则（ ）A16B16C120D122如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ）ABCD3下列不等式正确的是（ ）ABCD4甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）A甲B乙C丙D丁5下列不等式成立的是（ ）ABCD6已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）A、B、C、D、7公比为2的等比数列中存在两项，满足，则的最

3、小值为（ ）ABCD8关于函数，有下述三个结论：函数的一个周期为；函数在上单调递增；函数的值域为.其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD9若直线的倾斜角为，则的值为（ ）ABCD10已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD11已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（ ）ABCD12已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（ ）A0B1C2D3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是_14若一组样本数据7，9，8，10的平均数为9，则该组样本数据的方差为_.15过抛物线C：（）的焦点F且倾斜角为锐

4、角的直线l与C交于A，B两点，过线段的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若，则l的斜率为_.16某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间的学生人数是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数（1）当时，解关于x的不等式；（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围18（12分）设复数满足（为虚数单位），则的模为_.19（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）以平面直角坐标系

5、的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程；（2）设和交点的交点为，求 的面积20（12分）已知椭圆，过的直线与椭圆相交于两点，且与轴相交于点.（1）若，求直线的方程；（2）设关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.21（12分）如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，平面平面，为中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值大小.22（10分）已知函数，.（1）若对于任意实数，恒成立，求实数的范围；（2）当时，是否存在实数，使曲线：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小

6、题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，然后计算，可得结果.【详解】设， 联立则，因为直线经过C的焦点， 所以.同理可得，所以故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。2D【解析】由半圆面积之比，可求出两个直角边 的长度之比，从而可知，结合同角三角函数的基本关系，即可求出，由二倍角公式即可求出.【详解】解：由题意知 ，以 为直径的半圆面积，以 为直径的半圆面积，则，即.由 ，得 ，所以.故选:D.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角

7、公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.3D【解析】根据，利用排除法，即可求解【详解】由，可排除A、B、C选项，又由，所以故选D【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4C【解析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.【详解】假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说

8、真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.综上所述，年纪最大的是丙故选：C.【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.5D【解析】根

9、据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【详解】对于，错误；对于，在上单调递减，错误；对于，错误；对于，在上单调递增，正确.故选：.【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.6A【解析】设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增，得到，进而变形即可求解.【详解】由题意，设，则，又由，所以，即函数在R上单调递增，则，即，变形可得.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是

10、解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.7D【解析】根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解.【详解】，当时，当时，当时，当时，当时，当时，最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.8C【解析】用周期函数的定义验证.当时，再利用单调性判断.根据平移变换，函数的值域等价于函数的值域，而，当时，再求值域.【详解】因为，故错误；当时，所以，所以在上单调递增，故正确；函数的值域等价于函数的值域，易知，故当时，故正确.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，

11、属于中档题.9B【解析】根据题意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将代入计算即可求出值【详解】由于直线的倾斜角为，所以，则故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键10B【解析】先根据题意，对原式进行化简可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立转化为恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案.【详解】由题，即 由累加法可得： 即对于任意的，不等式恒成立即 令 可得且即 可得或故选B【点睛】本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较

12、强的题目，解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题.11C【解析】由题意可知，由可得出，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.【详解】，由于，则，同理可知，函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，则，则，构造函数，其中，则.当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，.故选：C.【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.12C【解析】由不等式恒成立问题分类讨论：

13、当，当，当，考查方程的解的个数，综合得解【详解】当时，满足题意，当时，故不恒成立，当时，设，令，得，得，下面考查方程的解的个数，设（a），则（a）由导数的应用可得：（a）在为减函数，在，为增函数，则（a），即有一解，又，均为增函数，所以存在1个使得成立，综合得：满足条件的的个数是2个，故选：【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】首先解不等式，再由在区间上恒成立，即得到不等组，解得即可.【详解】解：且，即解得，即因为在区间上恒成立，解得即故答案为：【点睛】本题

14、考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.141【解析】根据题意，由平均数公式可得，解得的值，进而由方差公式计算，可得答案【详解】根据题意，数据7，9，8，10的平均数为9，则，解得：，则其方差.故答案为：1【点睛】本题考平均数、方差的计算，考查运算求解能力，求解时注意求出的值，属于基础题15【解析】分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，根据抛物线定义和求得，从而求得直线l的倾斜角.【详解】分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义知，因为，所以，所以，即直线的倾斜角为，又直线与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为，.故答案为：【点睛】

15、此题考查抛物线的定义，根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解，属于较易题目.1630【解析】根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在80100分的频率，继而得解.【详解】根据直方图知第二组的频率是，则样本容量是，又成绩在80100分的频率是，则成绩在区间的学生人数是故答案为：30【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）（2）【解析】（1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对分成和两类，利用零点分段法去绝对值，将表示

16、为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得的取值范围.【详解】（1）当时，由得由得解：，得当时，关于的不等式的解集为（2）当时，所以在上是减函数，在是增函数，所以，由题设得，解得.当时，同理求得.综上所述，的取值范围为.【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.181【解析】整理已知利用复数的除法运算方式计算，再由求模公式得答案.【详解】因为，即所以的模为1故答案为：1【点睛】本题考查复数的除法运算与求模，属于基础题.19（1）；（2）【解析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程即可.（2）将和的极坐标方

17、程联立，求得两个曲线交点的极坐标，即可由极坐标的含义求得的面积.【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），消去参数的的直角坐标方程为所以的极坐标方程为 （2）解方程组，得到所以，则或（）当（）时，当（）时，所以和的交点极坐标为： ,. 所以故的面积为【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，利用极坐标求三角形面积，属于中档题.20（1）或；（2）见解析【解析】（1）由已知条件利用点斜式设出直线的方程，则可表示出点的坐标，再由的关系表示出点的坐标，而点在椭圆上，将其坐标代入椭圆方程中可求出直线的斜率；（2）设出两点的坐标，则点的坐标可以表示出，然后直线的方程与椭圆方

18、程联立成方程，消元后得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系，再结合直线的方程，化简可得结果.【详解】（1）由条件可知直线的斜率存在，则可设直线的方程为，则，由，有，所以，由在椭圆上，则，解得，此时在椭圆内部，所以满足直线与椭圆相交，故所求直线方程为或.（也可联立直线与椭圆方程，由验证）（2）设，则，直线的方程为.由得，由，解得，当时，故直线恒过定点.【点睛】此题考查的是直线与椭圆的位置关系中的过定点问题，计算过程较复杂，属于难题.21（1）见解析；（2）【解析】（1）设中点为，连接、，首先通过条件得出，加，可得，进而可得平面，再加上平面，可得平面平面，则平面；（2）设中点为，连接、，可得平面，加上平面，则可如图建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：设中