05四边形加深4教师菱形初二自招进度二

1、第五讲四边形加深（4）正方形【例题1】如图，正方形是由k 个相同的矩形组成，上下各有2 个水平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k ；解：设矩形的宽为 x ，长为 y ，由正方形边长相等得2y 2x y y 2x ，中间只能竖放两个， k 8 。【例题2】如图，在正方形 ABCD 的 BC 延长线上取一点 E ，使CE AC ， AE 与CD 交于点.，则AFC ；ADF解：易求CAE E 22.5 AFC BCD E 112.5 。BCE【例题3】已知正方形 ABCD 的边长为12 ，点 P 在 BC 边上， BP 5 ， EF AP 垂足为Q ，与AB, CD 分别交于 E, F ，则 E

2、F ；解：过点 E 作 EH CD 于 H ，易证 EFH APB EF AP 13。【例题4】如图，边长为 m 的正方形 ABCD ，以 BC 为边向内作等边BEC ， BD 为对角线，则；ADSBEDE解：作 EH CD 于 H ，EH 1 CE 1 m S 1 CD EH 1 m2DCE22243 1 m2 3 m2 S 1 m2 S S S SBCBCDBEDBCEDCEBCD4241 / 5【例题5】将边长为1 的正方形 ABCD 绕 A 点按逆时针方向旋转30 至正方形 AB C D ，则旋转前后正方形部分的面积是；解：设 B C 与CD 相交于点 E ，易证 Rt AB E Rt

3、 ADE ， AB 1 B E 3 S336 B AE DAE 30AB E3 S重 2S。3AB E【例题6】如图，有一块面积为1的正方形 ABCD ， M 、N 分别为 AD 、BC 边上的中点，将C 点折至 MN 上，落在 P 点位置，折痕为 BQ ，连结 PQ ，则 MP ， PQ ；解：连结 PC ，易证 为等边三角形，MAD PN 3 ， MP 1 233Q3 ，又CBQ PBQ 30 ， PQ CQ 2BCN二、思维拓展：【例题7】已知正方形 ABCD 的边长为1，M , N 分别为 AB, AD 边上的点。若CMN 为正三角形，则边长为解：易证 CDM CBM ，设 BM DN

4、 x ， AM AN 1 x ，2 1 x,CM ，6 2 。 MN CN 12 1 x 解得 x 2 3 又0 x 1 x 2 3 ，边长为【例题8】在正方形 ABCD 的对角线 BD 上截取 BE BC ，连结CE ，P 为CE 上一点，PQ BC于Q ， PR BE 于 R ，若 AC 6 ，则 PQ PR ；解：设 AC 与 BD 点O ，连结 BP ， 1 BC PQ 1 BE PR 1 BE CO ，由222 BE BC PQ PR CO 3 。2 / 5P【例题9】已知正方形 ABCD 中，点 M , N 分别在 BC,CD 上，且MCN 的周长等于正方形 ABCD周长的一半，则

5、MAN ；解：由已知C CN CM MN CD CB CN DN CM BM ，CMN MN DN BM ，延长CB 到G ， BG DN ，连结 AG ，则 MG MN ，先证 ABG ADN BAG DANNAG 90 ，再证 AMG AMN ， MAN MAG 45【例题10】 已知 P 是正方形 ABCD 内一点，PA 1，PB 2 ，.，则APB 的度数为，正方形 ABCD 的面积为；解：（1）将 ABP 绕点 B 旋转到 CBQ ，连结 PQ ，则CQ AP 1, BQ BP 2, PQ 2 2 ，又 PC 3， PQ2 CQ2 PC2 ， PQC 90 ， BQC 135 ， A

6、PB 135222（2）作 AH BP 于点 H ，则 AH PH ， BH 2 2，22 1 AB2 AH 2 BH 2 2 5 2 2 ，22正方形 ABCD 的面积为5 2 2 。【例题11】 如图， M 是边长为1的正方形 ABCD 内一点，若 MA2 MB2 1 ，CMD 90 ，则2ADMCD 的度数为；解：由 MA2 MC2 MD2 MB2 MD2 MC2 MA2 MB2 1 ，2BC31又 MD2 MC2 1，所以 MD ， MC ，所以MCD 60 。223 / 5M三、难题：【例题12】 已知：如图，以正方形 ABCD 的对角线为边作菱形 AEFC ， B 在 FE 的延长

7、线上求证： AE 、 AF 把BAC 三等分；解：连结 BD 交 AC 于点 D ，作 EH AC 于 H ，易证 BO AC AE ，FCD1122E EH 1 AE CAE 30 ，2易求CAF EAF BAE 15 ， AE, AF 把BAC 三等分。AB【例题13】 在正方形 ABCD 的边 AD 的延长线上取点 E, F ，使 DE AD,DF，连 BF 分别BD交CD,CE 于 H ,G ，求证： GDH 为等腰三角形。证：易求DFB DBF CBG 22.5 ， DE BC 且 DE BC ，四边形 BDEC 为平行四边形， BD CE ， CBG BGC 22.5 ， CBG

8、CGB ， CB CG ， CB CD ， C又易求DCG 45 ， CDG CGD 67.5 ， DGH 45 ， DHG 67.5 ， DGH 45 ， DHG 67.5 ， CDG DHG ， GD GH ， GDH 为等腰三角形。，四、自招专训：【例题14】 边长为1 的正方形 ABCD ，点 E 、 F 各在边 AB 与 AD 上，且 AE AF ，求四边形CDFE 的最大面积。解：令 AE AF x ，作 EG DC ，则 S 1 EG GC 1 x ，EGC2212 x ，SDFEG24 / 5 1 1 x x2 ，当 x 1 时，有最大值 5 。所以 S228备用：1、如图，E

9、 、F 、G 、H 分别是正方形 ABCD 各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积为5 ，则大正方形的边长应该是；解：设CH 与 BG 点 P ，设 BF CF CG a ，HADEG11则 BG 5a ，由 SBG CP BC CG ，BCG22BCF CP 2 5 a BP 4a2 4 a25 45 a ，2B552 SBCP由题意， 2a2 4 4 a2 5 a2 25 a 5 ，542边长为2a 5 。2、已知如图，以ABC 的两边 AC, BA 分别向外作正方形 ACGH, BAFE ， AD 是 BC 边上的高，其1F反向延长线交 HF 于 K 点，求证： AK BC ；2证：过点 F 作 FQ AH 交 AK 延长线于Q ，连结QH ，KEHAG FQ AH ， AFQ FAH 180 ，BCD BAF 90