概率与过程课件：第一章 概率论的基础知识 第五节 独立性与第一章小结

1、袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球,令 Ak = “第k个人摸到红球”，K=1,2若摸后不放回：若摸后放回：结论：若摸后放回, A1发生与否对A2不产生影响。1.5 事件的独立性设A、B是两事件，若 P(AB)P(A)P(B)则称事件A与B相互独立, 简称独立。 若P(A) 0，上式等价于： P(B|A)P(B) 一、两事件独立 必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件与任意随机事件A相互独立例1 、从一副52张的扑克牌中任意抽取一张，以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是否独立？?定理：以下四种情形等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、

2、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。证明:(1)(2) 因为事件A、B相互独立,故P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)1-P(A)=P(B)P(A)故A与B相互独立.二、多个事件的独立定义2、若三个事件A、B、C满足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立； 若在此基础上还满足：(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立。例:从分别标有1,2,3,4四个数字的4张卡片中随机抽取一张

3、,以事件A表示“取到1或2号卡片”;事件B表示“取到1或3号卡片”;事件C表示“取到1或4号卡片”.则事件A,B,C两两独立但不相互独立.两两独立未必相互独立一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)则称n个事件A1，A2，An相互独立。其中k=2等式成立时称n个事件A1，A2，An两两独立。因此共有个等式成立。推论1 若事件A1，A2，An, 相互独立，则其中任意k (1kn)个事件也相互独立.推论2 若事件A1，A2，An,相互独立，则将这n个事件中任意

4、多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立.思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则例：电路由元件A与两个并联的元件B,C串联而成，若A,B,C损坏与否是相互独立的，且它们损坏的概率依次为.，.，.，则电路断路的概率是多少？解：设A,B,C分别表元件A,B,C损坏。因A,B,C独立，则三、事件独立性的应用1、简化的加法公式 若事件A1，A2，An相互独立, 则 思考题:一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？答:1-（5/6)4= 0.518, 1-(35/36)24= 0.491作业4.7(1)可参照此例题练习：如图，1、2

5、、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器触点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。设A-L至R为通路,Ai-第i个继电器通,i=1,2,52、在可靠性理论上的应用(*)由全概率公式本节要求内容1、两个事件的独立性；2、多个事件的独立性。要求1、两个事件独立性的判定与应用；2、简化的加法公式的应用3、多个事件独立性的引用。第一章 小结本章由六个概念（随机现象、样本空间、随机事件、概率、条件概率、独立性）、两个性质（有限可加性和互补性）、四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成。另外还有两个原理、两个排列、两个组合公式。思考题1、50只铆钉随机地取来用于10个部件上，其中有3个铆钉为次品.若每个部件用3只铆钉，问3个次品铆钉恰好用于同一部件的概率是多少？解：设Ai表示事件“3个次品铆钉全装在了第i个部件上”，i=1,2, ,10。设A表示事件“3个次品铆