大学物理经典例题讲解第七章真空中的静电场

1、大学物理经典例题讲解第七章 真空中的静电场例7-1 三个电荷量均为q的正负电荷，固定在一边长a=1m 的等边三角形的顶角（图a)上。 另一个电荷+Q在这三个电荷静电力作用下可沿其对称轴（o-x）自由移动，求电荷+Q的平衡位置和所受到的最大排斥力的位置。o-qq+Qqara/2xy(a)F3解：如图b所示，o-qq+Qqara/2xy(b)F1F2式中正电荷Q受到-q的吸引力F1沿ox轴负方向；两个+q对它的排斥力F2和F3的合力沿ox正方向；因此，作用在Q上的总合力为：则令可求得Q受到零作用力的位置可求得Q受到最大排斥力的位置再令 例7-2 按量子理论，在氢原子中，核外电子快速地运动着，并以一

2、定的概率出现在原子核（质子的周围各处，在基态下，电子在半径r0.52910-10的球面附近出现的概率最大.试计算在基态下,氢原子内电子和质子之间的静电力和万有引力,并比较两者的大小.引力常数为G =6.6710-11Nm2/kg2 解: 按库仑定律计算,电子和质子之间的静电力为应用万有引力定律, 电子和质子之间的万有引力为 可见在原子中,电子和质子之间的静电力远比万有引力大。由此,在处理电子和质子之间的相互作用时,只需考虑静电力,万有引力可以略去不计。自然界存在的几种静电力原子结合成分子的结合力。原子、分子结合形成液体或者固体时的结合力。化学反应和生物过程中的结合力（DNA分子双螺旋结构的形成

3、） 。由此得静电力与万有引力的比值为例7-3 试求电偶极子在均匀外电场中所受的作用，并分析电偶极子在非均匀外电场中的运动。解：如图所示，在均匀外电场中，电偶极子的正负电荷上的电场力的大小为：由于大小相等、方向相反，合力为零；产生的合力矩大小为：电偶极子定义:一对相距为l 带电量相同,电性相反的点电荷系。：由负电荷指向正电荷电偶极子的电偶极矩：矢量式为在此力矩作用下电偶极矩将转向外电场方向直到电矩与外电场方向一致。在非均匀外电场中，电偶极子一方面受力矩作用，另一方面，所受合力不为零，场强较强一端电荷受力较大，促使偶极子向场强较强方向移动，如图所示：yxA(x,0)+例7-4 求电偶极子轴线的延长

4、线上和中垂线上任一点的电场。解：电偶极子轴线的延长线上任一点A(x,0)的电场。+ A点总场强为：+r电偶极子中垂线上任一点的电场。+用矢量形式表示为：若rl结论：电偶极子中垂线上，距离中心较远处一点的场强，与电偶极子的电矩成正比，与该点离中心的距离的三次方成反比，方向与电矩方向相反。 解：建立直角坐标系 取线元dx 带电将投影到坐标轴上ap1 2dEdEydxr例7-5 求距离均匀带电细棒为a 的 p点处电场强度。 设棒长为L , 带电量q ，电荷线密度为l =q/L 积分变量代换 代入积分表达式 同理可算出ap1 2dEdEydxr当直线长度无限长均匀带电直线的场强：极限情况，由 例7-6

5、 求一均匀带电圆环轴线上任一点x处的电场。xpRpxRr解： 例7-6 求一均匀带电圆环轴线上任一点x处的电场。所以，由对称性当dq 位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。.由对称性xpRr讨论：即在圆环的中心，E=0由当0=x当时即p点远离圆环时，与环上电荷全部集中在环中心处一个点电荷所激发的电场相同。Rrdr例7-7 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。解：由例6均匀带电圆环轴线上一点的电场xP讨论：1. 当xR2. 当R时，高斯面内电荷量即为球面上的全部电荷，高斯面可见，电荷均匀分布在球面时，它在球面外的电场就与全部电荷都集中在球心的点电荷所激发的电场完全相同。（2）电荷分布

6、在整个球体内：+r0RE均匀带电球面电场强度曲线如上图。+qrR 时，高斯面内电荷量即为球体上的全部电荷，球体外电场和电荷均匀分布在球面上时球面外电场完全相同。高斯面+rR 时，设电荷体密度为+q高斯面+可见，球体内场强随r线性增加。均匀带电球体电场强度曲线如上图。r0REEE例7-9 均匀带电无限大平面的电场.电荷及场分布：面对称性，场方向沿法向。解：高斯面:作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S，两底面到带电平面距离相同。ESE圆柱形高斯面内电荷由高斯定理得可见，无限大均匀带电平面激发的电场强度与离面的距离无关，即面的两侧形成匀强电场。矢量式为：ESE例7-10 求电荷呈无限长圆柱形轴

7、对称均匀分布时所激发的电场。圆柱半径为R，沿轴线方向单位长度带电量为。高斯面：与带电圆柱同轴的圆柱形闭 合面,高为l,半径为r电荷及场分布：柱对称性，场方向沿径向。由高斯定理知解：l（1）当rR 时，均匀带电圆柱面的电场分布Er 关系曲线REr0矢量式为：例7-11 计算电偶极子电场中任一点的电势。式中r+与r-分别为+q和-q到P点的距离，由图可知yPx+q-qre/2re/2Or+r-r解：设电偶极子如图放置，电偶极子的电场中任一点P的电势为由于r re ，所以P点的电势可写为因此+例7-12 一半径为R 的圆环，均匀带有电荷量q 。计算圆环轴线上任一点P 处的电势。+解：设环上电荷线密度

8、为环上任取一长度为的电荷元，其所带电荷该电荷元在p 点电势为：oprxxR整个圆环在p 点的电势为例7-13 计算均匀带电球面的电场中的电势分布。球面半径为R，总带电量为q。解：（1）取无穷远处为电势零点；（2）由高斯定律可知电场分布为；（3）确定电势分布；+qRo(1) 当rR时(2)当rR时rVR+qRo电势分布曲线场强分布曲线EVRRrrOO结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。 解：令无限长直线如图放置，其上电荷线密度为 。计算在x轴上距直线为的任一点P处的电势。yrOPP1xr1因为无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远的，所以

9、在这种情况下不能用连续分布电荷的电势公式来计算电势V，否则必得出无限大的结果，显然是没有意义的。同样也不能直接用公式来计算电势，不然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果。例7-14 计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。 为了能求得P点的电势，可先应用电势差和场强的关系式，求出在轴上P点P1和点的电势差。无限长均匀带电直线在x轴上的场强为 于是，过P点沿x轴积分可算得P点与参考点P1的电势差 由于ln1=0，所以本题中若选离直线为r1=1 m处作为电势零点，则很方便地可得P点的电势为 点电荷的等势面 五、等势面在静电场中，电势相等的点所组成的面称为等势面。典型等势面 由上式可知，在r1 m

10、处,VP为负值；在rr），用一根很长的细导线连接起来（如图），使这个导体组带电，电势为V，求两球表面电荷面密度与曲率的关系。Q两个导体所组成的整体可看成是一个孤立导体系，在静电平衡时有一定的电势值。设这两个球相距很远，使每个球面上的电荷分布在另一球所激发的电场可忽略不计。细线的作用是使两球保持等电势。因此，每个球又可近似的看作为孤立导体，在两球表面上的电荷分布各可见大球所带电量Q比小球所带电量q多。两球的电荷密度分别为 对孤立导体可见电荷面密度和半径成反比，即曲率半径愈小（或曲率愈大），电荷面密度愈大。自都是均匀的。设大球所带电荷量为Q，小球所带电荷量为q，则两球的电势为例8-2 （1）如果人

11、体感应出1C的电荷，试以最简单的模型估计人体的电势可达多少？（2）在干燥的天气里，空气的击穿电场强度为3MV/m，当人手指接近门上的金属门把手时可能产生的电火花有多长？解：把人体看作半径1m的球体，于是人的电势为V火花放电长度为m例8-3 两平行放置的带电大金属板A和B，面积均为S，A板带电QA，B板带电QB，忽略边缘效应，求两块板四个面的电荷面密度。解：设两板四个面的电荷面密度分别为AB在两个板内各选一点P1、P2，由于静电平衡，导体内任一点电场强度为零由于电场为四个面上电荷共同激发的，取X轴正方向如图 对P1对P2得可见，平行放置的带电大金属板相向两个面上电荷面密度大小相等，符号相反；相背

12、两个面上电荷面密度大小相等，符号相同。AB例8-4 静电除尘器由半径为ra的金属圆筒(阳极)和半径为rb 的同轴圆细线(阴极).如果空气在一般情况下的击穿电场强度为3.0MV/m,试提出一个静电除尘器圆筒和中心线粗细的设计方案.灰尘出口解:中心轴线带电后,距中心轴r处的电场强度这里是中心轴线上的电荷线密度.中心轴线与金属圆筒间的电势差为上面两式相除消去,有上式说明中心轴线与金属圆筒间加上电势差U后,在圆筒内的电场随r迅速减小.中心轴线处电场最强,靠近外圆筒处最弱.在所加电压和某点场强(如:筒内表面附近为3.0MV/m)已知情况下,利用上面场强公式原则上可以算出所需筒与线的尺寸.但为一超越方程,

13、一般用计算机进行数值求解.例8-5 在内外半径分别为R1和R2的导体球壳内，有一个半径为r 的导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳分别带上电荷量q和Q。试求： （1）小球的电势Vr，球壳内、外表面的电势； （2）小球与球壳的电势差； （3）若球壳接地，再求小球与球壳的电势差。 解：（1）由对称性可以肯定，小球表面上和球壳内外表面上的电荷分布是均匀的。小球上的电荷q将在球壳的内外表面上感应出-q和q的电荷，而Q只能分布在球壳的外表面上，故球壳外表面上的总电荷量为q+Q。 小球和球壳内外表面的电势分别为球壳内外表面的电势相等。（3）若外球壳接地，则球壳外表面上的电荷消失。两球的电势分别为（2）两

14、球的电势差为两球的电势差仍为 由结果可以看出，不管外球壳接地与否，两球的电势差恒保持不变。当q为正值时，小球的电势高于球壳；当q为负值时，小球的电势低于球壳, 与小球在壳内的位置无关，如果两球用导线相连或小球与球壳相接触，则不论q是正是负，也不管球壳是否带电，电荷q总是全部迁移到球壳的外边面上，直到Vr-VR=0为止。例8-6 平板电容器几种常见真空电容器及其电容Sd电容与极板面积成正比，与间距成反比。计算电容的一般方法： 先假设电容器的两极板带等量异号电荷，再计算出电势差，最后代入定义式。例8-7 圆柱形电容器例8-8 球形电容器电容器两极板间如果充满某种相对电容率为 电介质，则上面三种电容

15、器的电容分别为平行板电容器：圆柱形电容器：球形电容器：电容器的重要性能指标：电容、耐压值。例8-9 计算均匀带电球体的电场能量，设球半径为R， 带电量为q，球外为真空。解：均匀带电球体内外的电场强度分布为相应的，球内外的电场能量密度为在半径为r厚度为dr的球壳内的电场能量整个带电球体的电场能量例题8-10一平行板空气电容器的板极面积为S，间距为d，用电源充电后两极板上带电分别为 Q。断开电源后再把两极板的距离拉开到2d。求（1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为0）。板极上带电 Q时所储的电能为解:（1 ）两极板的间距为d和2d时，平行板电容器的电容分别为（2）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板时所加外力应等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的增量为例8-11 物理学家开尔文第一个把大气层构建为一个电容器模型，地球表面是这个电容器的一个极板，带有5105C的电荷，大气等效为5km的另一块极板，带正电荷。如下页图所示。（1）试求这个球形电容器的电容；（2）求地球表面的能量密度以及球形电容器的能量；（3）已知空气的电阻率为31013，求球形电容器间大气层的电阻是多少？（4）大气