4根轨迹教学课件

1、第四章 根轨迹反馈控制系统的全部性质，取决于系统的闭环传递函数。闭环传递函数对系统性能的影响，可以用其闭环零点和闭环极点来表示。分析反馈控制系统，在系统的结构和参数已知时，应首先求解系统的闭环零点和闭环极点；其次，为了使系统具有希望的控制性能，需要考查系统结构参数的变化对系统闭环零点和闭环极点的影响规律。1948年，伊文思根据反馈系统开、闭环传递函数之间的内在联系，提出了直接由开环传递函数确定闭环特征根（即闭环极点）的新方法，建立了一套在工程上获得广泛应用根轨迹法。根轨迹根轨迹法: 三大分析校正方法之一 特点：（1）图解方法，直观、形象。 （2）适用于研究当系统中某一参数 变化时，系统性能的变

2、化趋势。 （3）近似方法，不十分精确。4.1 根轨迹法的基本概念4.1.1 根轨迹的基本概念根轨迹：系统某一参数由0 变化时，闭环特征方程的根在 s平面相应变化所描绘出来的轨迹。R(s) -C(s)S-2 04.1.1 根轨迹的基本概念4.1.2 根轨迹与系统的性能S-2 -1 04.1.3 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系控制系统的结构图开环传递函数控制系统的结构图开环传递函数闭环传递函数 闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关研究根轨迹的目的：分析系统的各种性能（稳定性、稳态性能、动态性能） 根轨迹法的基本任务： 由已知的开环零、极点分布及根轨

3、迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。4.1.4 根轨迹方程开环传递函数闭环特征方程：根轨迹方程幅值条件：相角条件： 对s平面上任意的点，总存在一个 K*，使其满足模值 条件，但该点不一定是根轨迹上的点。 s平面上满足相角条件的点（必定满足幅值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。 模值条件 相角条件4.2 绘制根轨迹的基本原则法则1:根轨迹的起点与终点:根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点数m小于开环极点数n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处(的零点)。根轨迹的起点根轨迹的终点时，。法则2

4、根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数=开环极点数根轨迹连续并且对称于实轴。 法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。（从实轴上最右端的开环零、极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹） jp01 p02 p03 p040z01z 02z 03z 04s0z 05与表示的方向相同于是等效有：1、复数共轭极点到实轴上任意一点（包括 点）的向量之相角和为 2、复数共轭零点到实轴上任意一点（包括 点）的向量之相角和为S例3 某单位反馈系统的开环传递函数为 ，证明复平面的根轨迹为圆弧。定理：若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在

5、复平面存在根轨迹， 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。法则4 根轨迹的渐近线:当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴夹角为 、交点为 的一组渐近线趋向于无穷远处， 渐近线与实轴交点的坐标渐近线与实轴正方向的夹角 法则4的证明1）渐近线的倾角 开环零点和开环极点相对于无穷远的闭环极点可近似看成一个点，故有设无穷无处有极点代入相角条件，得法则4的证明1）渐近线与实轴的交点设无穷无处有极点则s平面所有开环零点和开环极点到 的向量的长度都相等，所以，可以认为对于 而言，所有开环零点和开环极点都汇聚在一起，其位置即 。例4-2 单位反馈系统开环传递函数为试根据

6、已知的基本法则，绘制根轨迹的渐近线。 解： 开环零点 ：-1开环极点：0，-4，-1j法则5 根轨迹的分离点：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又分离的点，称为根轨迹的分离点 d分离点的坐标的确定方法：1）重根法（无零点时）：2）极值法：3）试探法：分离点的坐标d可由方程分离角：法则5的证明1系统闭环特征方程为 根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重根条件为从而解除s的值。法则5的证明2系统闭环特征方程为代入得 根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重根条件为 两式相除得 根轨迹的分离点一般位于s平面的实轴上（有时也成对地出现在s平面内），1 若实轴上相邻开环极点间有根轨迹，必有

7、分离点；2 若实轴上相邻开环零点间有根轨迹，必有会合点；3 若实轴上开环极点和开环零点间有根轨迹，或没有分离点或有成对分离点。实轴上根轨迹的分离点具有如下性质： 分离点所对应的根轨迹增益Kg的性质： 实根与共轭复根的分界线，即引起振荡响应时最小的根轨迹增益值（也即，临界阻尼）。例4-3 控制系统开环传递函数为试概略绘制系统根轨迹。解: 实轴上的根轨迹：根据法则3，实轴上的根轨迹区段为： 渐近线：根据法则4，根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角为 分离点：根据法则5，分离点坐标为，例4-3补充问题分离点所对应的K*,引起振荡响应时最小的根轨迹增益值将d值代入D(s)中，解得相应K*法则6 根轨迹与虚轴

8、的交点： 方法一：令 方法二：劳斯判据法。即使劳斯表中某一行全为零，解出Kg。再根据辅助方程求得虚根。例4.4某负反馈系统的开环传递函数为S-5 -1 0 1）实轴上的根轨迹2）渐近线（3）分离点S-5 -1 0 4)与虚轴的交点S-5 -1 0 法则7 根轨迹的起始角和终止角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以 表示；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以 表示。 法则7的证明由 同理得 假设在一开环极点pk附近取一点s1, 则 S所有零点到 的向量夹角其它极点到 的向量夹角其它零点到 的向量夹角所有极点到 的向量夹角起始于 的根轨迹在起点处的

9、切线与水平正方向的夹角终止于 的根轨迹在终点处的切线与水平正方向的夹角例4.5 单位反馈系统的开环传递函数为，绘制根轨迹。法则8 根之和：当系统开环传递函数的分子、分母阶次差（n-m）大于等于2时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。法则8的证明证明： 由代数定理：n-m 2时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零。绘制根轨迹的法则法则 5 渐近线法则 1 根轨迹的起点和终点法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和法则 6 分离点法则 7 与虚轴交点法则 8 出射角/入射角例1 已知系统结构图，绘制根轨迹。解. 渐近线： 实轴上的根轨迹：-,

10、0 与虚轴交点： 出射角：例2 单位反馈系统的开环传递函数为解. 渐近线： 实轴上的根轨迹：-20, 0，绘制根轨迹。 分离点：试根得： 虚轴交点： 出射角：例2 渐近线： 实轴上的根轨迹：-20, 0 分离点： 虚轴交点： 出射角：稳定的开环增益范围：0 K 3.4725解. 渐近线： 实轴上的根轨迹：(-,-1, 0, 1例3 已知，绘根轨迹; 求稳定的K范围。 分离点： 出射角：例3 虚轴交点：稳定的 范围：稳定的 范围：4.3 广义根轨迹4.3.1 参数根轨迹 除 K*（或开环增益K） 之外其他参数变化时系统的根轨迹绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同绘制步骤：1）求“等

11、效开环传递函数” 2）按常规根轨迹法则绘制根轨迹例4.7 系统开环传递函数解. (1) 渐近线： 实轴根轨迹：-,0a=0 变化，绘制根轨迹；x=1时， F(s)=? 分离点：整理得： 与虚轴交点：构造 “ 等效开环传递函数 ” 解. (2) x=1 时，即系统处于临界阻尼状态。例4.7 系统开环传递函数a=0 变化，绘制根轨迹；x=1时， F(s)=?对应于分离点 d ，ad=2/274.3.2 零度根轨迹系统实质上处于正反馈时的根轨迹 模值条件 相角条件绘制零度根轨迹的基本法则 法则 5 渐近线法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和法则 6 分离

12、点法则 7 与虚轴交点 法则 8 出射角/入射角法则 1 根轨迹的起点和终点例4-8 设系统结构图如图所示，其中 试绘制根轨迹。解 系统为正反馈，应绘制0度根轨迹 实轴上的根轨迹： 渐近线： 分离点： 经整理得 起始角： 临界开环增益： 例4-8 设系统结构图如图所示，其中 试绘制根轨迹。坐标原点对应的根轨迹增益为临界值，可由模值条件求得根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j根轨迹示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj04.4 利用根轨迹分析系统性能4.4.1 利用主导极点估算系统的性能指标如果高阶系统闭环极点满足具有闭环主导极点的分布规律，就可以忽略非主导极点

13、及偶极子的影响，把高阶系统简化为阶数较低的系统，近似估算系统性能指标。 利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤 绘制系统根轨迹； 依题意确定闭环极点位置； 确定闭环零点； 保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能例4-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为试用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环增益K的范围，并计算阻尼比=0.5的K值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。解 将开环传递函数写成零、极点形式，得实轴上的根轨迹 渐近线： 分离点 与虚轴的交点 例4-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为试用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环增益K的范围，并计算阻尼比=0.5的K值以

14、及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。所以稳定欠阻尼状态的根轨迹增益的范围为可设相应两个复数闭环极点分别为 例4-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为试用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环增益K的范围，并计算阻尼比=0.5的K值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。比较系数有 解得 例4-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为试用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环增益K的范围，并计算阻尼比=0.5的K值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。 4.4.2 开环零极点分布对系统性能的影响1、增加开环零点对根轨迹的影响 例4.13 三个单位反馈系统的开环传递函数分别为 试分别绘制三个系统的根轨迹。增加一个开环零点使系统的根轨迹向左偏移。提高了系统的稳定度，有利于改善系统的动态性能，而且，开环负实零点离虚轴越近，这种作用越显著；若增加的开环零点和某个极点