高三数学轨迹问题的求法

1、轨迹方程的求法 求平面上的动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握的主要内容之一，也是高考考查的重点内容之一。由于动点运动规律千差万别，因此求动点轨迹方程的方法也多种多样，这里介绍几种常用的方法。 1、直接法 例1、动点P到直线xy=6的距离的平方等于由两坐标轴及点P到两坐标轴之垂线所围成的矩形面积，求P的轨迹方程解：设动点P（x，y）则 S=|xy|点P到直线x十y=6的距离 故P点的轨迹方程为： 即：（x+y-6）2=2|xy| 当xy0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36当xy0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0 ACB2、定义法例2如图，在ABC中边BC=a，若三

2、内角满足 sinC sinb= sinA，求点 A的轨迹方程。 解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B（一a，0），C（a，0），设A（x，y）则 由sinC sinB= sinAc-b= a即|AB|-|AC|= a（定值）由双曲线定义知轨迹方程为 3、相关点法（代入法） 例3、从定点A（0，4），连接双曲线x2一4y2=16上任一点Q，求内分线段AQ成1：2的分点P的轨迹。 解：设Q（xl，y1），P（x，y），由题设， 则 Q（x1，y2）在双曲线上：, 即: 4、参数法 例题4、已知线段AB的长为a，P分AB为 APPB= 2l两部分，当A点在y

3、轴上运动时，B点在x轴上运动，求动点P的轨迹方程。 解：设动点P（x，y），AB和x轴的夹角为，| ，作PMx于M, PNy轴于N|AB|= a, |AP|= a, |PB|= a动点P的参数方程为 即：5、交轨法 例6、椭圆与双曲线有共同的焦点F1(一4,0),F2(4,0)，且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹。解：设双曲线的实半轴长为a（2a0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O为AB中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且， P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存

4、在，请说明理由。 OxyABCDEFP解：根据题意，首先求出点P坐标满足的方程，根据此判断是否存在两定点，使得点P到两定点的距离和为定值。 依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)设 =k(0k1),由此有E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak)直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0直线GE的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0从消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0, 整理得 当a2= 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点； 当a2 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离

5、之和为定值； 其中当a2 时，点P到椭圆两个焦点（a， ）的 距离之和为定值2a. 2003年高考题20（本小题满分12分） 在某海滨城市附近海面有一台风据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南（ arccos ）方向 300 km的海面P处，并以20 kmh的速度问西偏北450方向移动。台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 kmh的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 解：以O为原点，正东方向为x轴正向，建立直角坐标系在时刻t(h)，台风中心P（m,n）的坐标为即此时台风侵袭的区域是其中r(t)=10t+60若在时刻t城市O受到侵袭，则有 即： 解得12

6、t24 答：12小时后该城市受到台风侵袭。 http:/www.139111888.club lpu48hln 五岁以上，三十岁以下的年青人，而且耿老爹计划只教授三年时间，因此其教材的内容与一年级小学童的课本有些不同，而且一开始就加入了珠算。兄妹仨把夜校教材也研究一遍，都感觉并没有什么需要改动的。然后，耿正就带着新婚燕尔的秀儿，又拉上耿直、娘和耿兰专门去了一趟省城。那日进城后，耿正先把娘、秀儿和耿兰安置到客栈里住下后，马上就和弟弟带上书稿直奔省城唯一的一家印书馆去了。去了印书馆后，耿正与其掌柜的说明情况，提出来希望其一定要保证质量，并且争取尽量加快印刷。掌柜的满口答应，说：“先生只管放心，样书

7、您也看了，我们的印刷质量绝对没有问题！这样吧，你们年底之前，大概在腊月二十前后就可以来提书了。”谢过掌柜的后，耿正当即交付了规定的定金。柜台给开了付印课本的名称、数量和总费用，以及定金的收据之后，兄弟俩高高兴兴地返回客栈。耿正这次省城印书可谓计划周全，不但带弟弟去了省城的印书馆，使俩人都得以了解了付印课本的一切交接程序，而且还顺便带着娘、秀儿和耿兰在省城里美美地转悠了一番，让她们有机会开了一次大的眼界！返回来的路上，耿正吩咐弟弟：“年底之前取书的事儿哥就不管了。你叫上你姐夫给你赶车，看你姐和董妞儿，还有大伯大娘他们是不是想去省城里玩儿玩儿。如果他们想去，就顺便让他们也坐车去转一转。”耿直说：“

8、行，印书馆那地儿俺记住了！”耿正又吩咐：“你们去提书时，一定要仔细检查他们的印刷质量和交付数量；如果没有错，就补足费用全部提了，还要让他们给咱打包好了！”耿直说：“那些凭证单据什么的还是哥你保存着哇，走之前再给俺！俺可不想多操心，倘若弄丢了一张，岂不麻烦！”郭氏伸出右手食指轻轻戳了一下耿直的脑门儿，半怜爱半舔怪地说：“你就讨省心哇，亏得有你哥哥在前面挡着呢！这么多年过去了，怎么还是这么一个小娃娃的脾性！”秀儿却说：“娘，你可别这样说，小直子很不容易的。他哥哥和俺说过好多次了，小直子很坚强，也很聪明能干呢。在亲哥哥的面前，弟弟永远都是弟弟哇！”耿直撇撇嘴说：“可不是耶，后来的这些年爹不在跟前，哥哥就当是俺的爹啦！当年走的时候，俺还只知道贪玩儿呢，就连俺喝了的那些个墨水儿，也主要是俺哥和俺姐给俺灌输的呢！”耿兰说：“是啊二哥，大哥和咱姐教了你，三哥倒是得了咱爹的亲传！看这事情，怎么给搞成这样