高中数学等比数列专题讲解

1、高中数学等比数列专题讲解教学目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.教学重点：1.等比中项的理解与应用.2.等比数列定义及通项公式的应用.教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.教学过程：.复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式.讲授新课根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?(1)若a，A，b成等差数列a eq f(ab,2) ，A为等差中项.那么，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则即 eq f(G,a) eq f(b,G) ，即G2ab反之，

2、若G2ab，则 eq f(G,a) eq f(b,G) ，即a，G，b成等比数列a，G，b成等比数列G2ab(ab0)总之，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G eq r(ab) ，(a，b同号)另外，在等差数列中，若mnpq，则amanapaq，那么，在等比数列中呢？由通项公式可得：ama1qm1，ana1qn1，apa1qp1，aqa1qq1不难发现：amana12qm+n2，apaqa12qp+q2若mnpq，则amanapaq下面看应用这些性质可以解决哪些问题?例1在等比数列an中，若a3a5100，求a4.分析：由等比数列性质，

3、若mnpq，则amanapaq可得：解：在等比数列中，a3a5a42又a3a5100，a410.例2已知an、bn是项数相同的等比数列，求证anbn是等比数列.分析：由等比数列定义及通项公式求得.解：设数列an的首项是a1，公比为p；bn的首项为b1，公比为q.则数列an的第n项与第n1项分别为a1pn1，a1pn数列bn的第n项与第n1项分别为b1qn1，b1qn.数列anbn的第n项与第n1项分别为a1pn1b1qn1与a1pnb1qn，即为a1b1(pq)n1与a1b1(pq)n eq f(an+1,an) eq f(bn+1,bn) eq f(a1b1（pq）n,a1b1（pq）n1)

4、 pq它是一个与n无关的常数，anbn是一个以pq为公比的等比数列.特别地，如果an是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列can是等比数列.例3三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.解：设m，G，n为此三数由已知得：mnG14，mnG64，又G2mn，G364，G4，mn10 eq blc(aal(m2,n8) 或 eq blc(aal(m8,n2) 即这三个数为2，4，8或8，4，2.评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径.课堂练习课本P50练习1，2，3，4，5.课时小结本节主要内容为：(1)若a，G，b成等比数列，则G2ab，G叫做a与b的等

5、比中项.(2)若在等比数列中，mnpq，则amanapaq.课后作业课本P52习题5，6，7，91已知数列an为等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值等于（）A.5B.10C.15D.202在等比数列中，a11，qR且|q|1，若ama1a2a3a4a5，则m等于（）A.9B.10C.11D.123非零实数x、y、z成等差数列，x1、y、z与x、y、z2分别成等比数列，则y等于（）A.10B.12C.14D.164有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.5在数列an和bn中，an0，bn0，且an，bn，an+1成等差数

6、列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a11，b12，a23，求anbn的值.6设xy2，且xy，xy，xy， eq f(y,x) 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.7有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.等比数列(二)答案1已知数列an为等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值等于（）A.5B.10C.15D.20分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a1和q，再求a3a5的方法是不行的，而应寻求a3a5整体与已知条件之间的关系.解法一：设此等比

7、数列的公比为q，由条件得a1qa1q32a1q2a1q4a1q3a1q525即a12q4(q21)225，又an0，得q0a1q2(q21）5a3a5a1q2a1q4a1q2(q21)5解法二：a2a42a3a5a4a625由等比数列性质得a322a3a5a5225即(a3a5)225，又an0，a3a55评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.2在等比数列中，a11，qR且|q|1，若ama1a2a3a4a5，则m等于（）A.9B.10C.11D.12解：ama1a2a3a4a5a15q1+2+3+4a15q10a15q

8、111又a11，amq111，m11.答案：C3非零实数x、y、z成等差数列，x1、y、z与x、y、z2分别成等比数列，则y等于（）A.10B.12C.14D.16解：由已知得 eq blc(aal(2yxz,y2（x1）z,y2x（z2）) eq blc(aal(2yxz,y2（x1）z,z2x) eq blc(aal(2y3x,y2（x1）2x) y12答案：B4有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.解：设所求的四个数分别为a，xd，x，xd则 eq blc(aal(（xd）2ax ,a（xd）x19 ,（xd）x（xd）12 ) 解得x4，代

9、入、得 eq blc(aal(（4d）24a, ad11) 解得 eq blc(aal(a25,d14) 或 eq blc(aal(a9,d2) 故所求四个数为25，10，4，18或9，6，4，2.5在数列an和bn中，an0，bn0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a11，b12，a23，求anbn的值.分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.解：由题意知： eq blc(aal(2bnanan1 ,an12bnbn1 ) an+1 eq r(bnbn1) ，an eq r(bnbn1) (n2)代入得2bn e

10、q r(bnbn1) eq r(bnbn1) 即2 eq r(bn) eq r(bn1) eq r(bn1) (n2) eq r(bn) 成等差数列，设公差为d又b12，b2 eq f(a22,b1) eq f(9,2) ，d eq r(b2) eq r(b1) eq f(3r(2),2) eq r(2) eq f(r(2),2) eq r(bn) eq r(2) eq f(r(2),2)（n1） eq f(r(2),2)（n1），bn eq f(1,2) （n1）2，当n2时，an eq r(bnbn1) eq f(n（n1）,2) 且a11时适合于式，故 eq f(an,bn) eq f(

11、n,n1) .评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.6设xy2，且xy，xy，xy， eq f(y,x) 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.分析：先由xy2，可知xyxyxy，下来只需讨论 eq f(y,x) 和xy的大小关系，分成两种情况讨论.解：xy2，xyxy，xyxy，而 eq f(y,x) 1xy当 eq f(y,x) xy时，由 eq f(y,x) ，xy，xy，xy顺次构成等比数列.则有 eq blc(aal( eq f(y,x) xy（xy）（xy）,（xy）2（xy）

12、xy) 解方程组得x75 eq r(2) ，y5 eq f(7,2) eq r(2) 所求等比数列为 eq f(r(2),2)，2 eq f(3,2) eq r(2) ，12 eq f(17,2) eq r(2) ，70 eq f(99,2) eq r(2) .当 eq f(y,x) xy时，由xy， eq f(y,x) ，xy，xy顺次构成等比数列则有 eq blc(aal( eq f(y,x) xy（xy）2, eq f(y,x) （xy）（xy）xy) 解方程组得y eq r( eq f(1,12) ) ，这与y2矛盾，故这种情况不存在.7有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列

13、，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.分析一：从后三个数入手.解法一：设所求的四个数为 eq f(（xd）2,x) ，xd，x，xd，根据题意有 eq blc(aal( eq f(（xd）2,x) （xd）21,（xd）x18) ，解得 eq blc(aal(x12,d6) 或 eq blc(aal(x eq f(27,4) ,d eq f(9,2) ) eq f(27,4) 所求四个数为3，6，12，18或 eq f(75,4) ， eq f(45,4) ， eq f(27,4) ， eq f(9,4) .分析二：从前三数入手.解法二：设前三个数为 eq f(x,q) ，x，xq，则第四个数为2xqx.依题设有 eq blc(aal( eq f(x,q) 2xqx21,xxq18) ，解得 eq blc(aal(x6,q2) 或 eq blc(aal(x eq f(45,4) ,q eq f(3,5) ) 故所求的四个数为3，6，12，18或 eq f(75,4) ， eq f(45,4) ， eq f(27,4) ， eq f(9,4)