4 根轨迹法课件

1、第四章 根轨迹法 1948年，W.R.Evans根据反馈控制系统开环传递函数与其闭环特征方程式之间的内在联系，提出了一种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法根轨迹法。 当系统特征方程式中的某一参数（例如开环增益 、时间常数 ）连续由零变化到无穷大时，特征方程式的根连续变化而在 平面上形成的运动轨迹，即为闭环系统特征根的根轨迹。 根轨迹法简单、实用，是经典控制理论的基本分析方法之一。第一节 根轨迹图 系统开环传递函数为对应的闭环传递函数为系统特征方程为系统特征根为根轨迹图 可见，当 时， 为两相异的实根；当 时， 为两相等实根；当 时，为一对共轭复根，实部为 ，虚部为 ，意味着这些复根都集中在

2、根平面上离虚轴 的垂直线上。 实际中，最常用的可变参数是系统的开环增益 ，以 为可变参数而得到的根轨迹称为常规根轨迹。 第二节 绘制根轨迹的数学依据 开环传递函数的两种表达式闭环特征方程的几种表达形式 相应的闭环系统特征方程也有以下几种常用的表达形式，可根据实际需要选择合适的表达式。 闭环传递函数有以下两种表示形式： （1）闭环特征方程的几种表达形式 需要指出的是，上述六种表达方式其实质是一致的，都是根据特征方程 而得到的。 （2） （3） （4） （5） （6）绘制根轨迹的数学依据 根据上式等号两边的幅值和相角应分别相等的条件，可得 由于系统闭环特征方程为 上式就是绘制根轨迹的相角条件和幅值

3、条件，相角条件是绘制根轨迹的依据根平面上凡满足相角条件的点的全体就是根轨迹。或绘制根轨迹的数学依据 因此，利用相角条件就可画出根轨迹，即绘制根轨迹无需考虑幅值条件。而幅值条件用于确定根轨迹上某一点所对应的 值，即根轨迹上凡满足幅值条件的点就是相应 值所对应的系统闭环极点，反之亦然。 相角条件与幅值条件的不同在于相角条件与 值无关。因此，将满足相角条件的 值代入幅值条件，定能求得与之对应的 值，即凡满足相角条件的点必定同时满足幅值条件。反之，满足幅值条件的点未必都能满足相角条件。 绘制根轨迹的数学依据 图示系统由幅值条件可得令 ，上式化为即可见，系统的等增益轨迹是一簇同心圆。对某个 值，对应圆周

4、上无穷多个 值都能满足上式，但只有同时满足相角条件的 值才是特征根。绘制根轨迹的数学依据 如图中 点，由于相角 ，满足根轨迹的相角条件，表明该点是根轨迹上的一个点。至于该 值所对应的 值，根据幅值条件得 。不难看出，图中 实轴段上的 值均满足相角条件，因此该部分线段是系统的根轨迹。 综上所述，根轨迹就是 平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹的基础，因此绘制根轨迹的一般步骤是：先找出 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；然后根据需要，用幅值条件确定相关点对应的 值。绘制根轨迹的数学依据 用相角条件画出图示系统 变化时的根轨迹，并用幅值条件确定使闭环系统的一对共轭复数极点的阻

5、尼比 时的 值。 上述系统的相角条件和幅值条件为绘制根轨迹的数学依据 在 平面上画出开环极点 系统特征方程有两个开环极点 、 。 确定实轴上的根轨迹 首先确定正实轴上是否有根轨迹。 在正实轴上任取一点 ，则 ，不满足相角条件。因此，正实轴上没有根轨迹。 在负实轴 间任取一点 ，则满足相角条件， ，是根轨迹的一部分。绘制根轨迹的数学依据 确定 平面上除实轴以外的其它根轨迹 在 平面上任取一点 ，令 、 。若 位于根轨迹上，则满足相角条件 ，显然，只有位于坐标原点0与 间线段的垂直平分线上的点，才能满足相角条件，因此该垂直平分线也是根轨迹的一部分。 确定一对阻尼比 的共轭复数闭环极点 由于闭环极点

6、位于 的直线上，所以第三节 绘制根轨迹的一般规则 规则1 根轨迹的连续性 当 由0连续变化到时，系统的闭环特征根也一定是连续变化的，所以根轨迹也必然是连续的。 由于闭环特征方程为实系数代数方程，相应的特征根或为实数，或为共轭复数，或两者兼而有之。因此，根轨迹必然对称于实轴。 规则2 根轨迹的对称性 这样，只需画出 上半平面的根轨迹，下半平面的根轨迹可根据对称性原理作出。绘制根轨迹的一般规则 规则3 根轨迹的分支数及其起点和终点 当 变化时，根轨迹共有 条分支，它们分别从 个开环极点出发，其中 条根轨迹分支的终点为 个开环零点， 条根轨迹分支的终点在无穷远处。如果把无穷远处的终点称为无限零点，则

7、根轨迹的终点有 个有限零点， 个无限零点。 证明 设系统闭环特征方程为绘制根轨迹的一般规则 当 时，特征方程根的位置就是根轨迹的起点，此时 当 变化时，特征方程中的任一根由起点连续地向其终点变化的轨迹，即为根轨迹的一条分支。由于 ，因而闭环特征方程式 的最高阶次必等于开环传递函数的极点数 ，系统根轨迹共有 条分支。表明根轨迹的起点 就是开环传递函数的极点。绘制根轨迹的一般规则 当 时，特征方程根的极限位置就是根轨迹的终点，由 表明，开环传递函数的零点 是 条根轨迹分支的终点。得 式 的幅值条件为绘制根轨迹的一般规则当 时，上式为可见，当 时， 也能满足上式，此时 条根轨迹分支的终点在无穷远处。

8、 绘制根轨迹的一般规则 规则4 根轨迹在实轴上的分布 在 平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。 对于实轴根轨迹上的任一点 ，其右边每个开环零点或极点指向该点矢量的相角为 ；其左边的每个开环零点或极点指向该点的矢量 绘制根轨迹的一般规则的相角都为 ；一对共轭开环零点或极点指向该点的矢量的相角相互抵消，其和为零。 由相角条件可知，只有在右边开环零点、极点的总数为奇数的实轴线段上，才有根轨迹存在。除此之外，实轴上其它线段上的点均不能满足相角条件。 例1 设一单位反馈控制系统如图所示，试绘制该系统的根轨迹。绘制根轨迹的一般规则的应用 解 由规则3可知

9、，系统的根轨迹在 时分别从三个开环极点 、 、 出发， 时根轨迹的二条分支趋向开环零点 、 ，另一条趋向无穷远处。 按照规则4可以判定，在实轴的0至-1线段和-2至-3线段上，以及从-4至 的线段上存在根轨迹。绘制根轨迹的一般规则 规则5 根轨迹的渐近线 伸向无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的交点为（ ， ），相角为 ，其中 绘制根轨迹的一般规则 由于开环复数极点和零点总是成对出现的，因此 总是一个实数。为便于记忆，上式可简化为 例2 设一单位反馈控制系统如图所示，试绘制该系统的根轨迹。 解 系统有3条根轨迹分支，它们的起点为开环极点（0，-1，-2）；绘制根轨迹的一般规则的应用 因系统无开环零点

10、，所以3条根轨迹分支均沿渐近线趋向无穷远； 渐近线的相角为 实轴上的0至-1线段和-2至 线段是根轨迹。渐近线与实轴的交点为绘制根轨迹的一般规则 规则6 根轨迹的分离点与会合点 二条以上根轨迹分支的交点称为根轨迹的分离点或会合点。如果根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面，则该交点称为根轨迹的分离点。 如果根轨迹分支由复平面走向实轴，则它们在实轴上的交点称为会合点。根据根轨迹的对称性，分离点和会合点或位于实轴上，或产生于共轭复数对中。绘制根轨迹的一般规则 如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，则在这两个相邻极点之间，至少存在一个分离点。 如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点（其中一个零点可

11、以位于无穷远处）之间，则在这两个相邻零点之间，至少存在一个会合点。 如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点（有限零点或无限零点）之间，则在这两个相邻的极、零点之间，或既不存在分离点也不存在会合点，或既存在分离点又存在会合点。绘制根轨迹的一般规则 如果系统的特征方程式为则根轨迹的分离点和会合点可由下述方程的根确定 需要说明的是，此处用来确定分离点或会合点的条件只是必要条件，而非充分条件。按上式求得的根并非都是实际的分离点或会合点，只有位于根轨迹上的那些重根才是实际的分离点或会合点。 绘制根轨迹的一般规则 此外，在分离点或会合点处，根轨迹离开实轴的相角应为 ， 为趋向或离开实轴的根轨迹分支

12、数。 证明 由于分离点或会合点是特征方程的重根，方程出现重根的条件是 值必须同时满足即绘制根轨迹的一般规则的应用 例3 求图示系统根轨迹的分离点。 解 特征方程式为 根据根轨迹在实轴上的分布，可知 是根轨迹的实际分离点。绘制根轨迹的一般规则 规则7 根轨迹的出射角和入射角 根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，称为根轨迹的出射角。根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角，称为根轨迹的入射角。绘制根轨迹的一般规则 证明 设 为靠近开环复数极点 的根轨迹上点，所以开环零点和极点指向 点矢量的相角和它们指向 矢量的相角相等。由于 位于根轨迹上，满足相角条件，即绘制根轨迹的一般规则

13、 规则8 根轨迹与虚轴的交点 当根轨迹与虚轴相交时，表示特征方程式存在纯虚根，此时系统处于等幅振荡状态。 根轨迹与虚轴的交点，可通过下述方法求得： 采用劳斯稳定判据； 采用试探法求解； 令特征方程中的 ，然后再使其实部和虚部分别等于零，求出 、 ，这时得到的 值，就是根轨迹与虚轴交点的频率，而 值则为临界稳定增益。绘制根轨迹的一般规则 规则9 根轨迹的走向 以闭环极点 形式表示的闭环特征方程式为 以开环零、极点形式表示的闭环特征方程式为绘制根轨迹的一般规则当 时， 与 无关，且有即闭环极点之和等于开环极点之和。开环传递函数极点确定后，其和为常数。当 变化时，若部分闭环极点在 平面上向左移动，则

14、另一部分闭环极点必向右移动，以保证全部极点为常数。此规则可用于定性判断 时的根轨迹走向。绘制根轨迹的规则表绘制根轨迹的规则表第四节 例题 例4 绘制图示系统的根轨迹。 解 根据例2、例3已知系统根轨迹的分支数、起始点、分离点，实轴上的根轨迹和渐近线与实轴的交点及相角，现求系统根轨迹与虚轴的交点。 令特征方程中 ，得例题 解本题的MATLAB程序为 % 1/s(s+1)(s+2) n=1； d=conv(1,1,1,2)0； rlocus(n,d)令实部和虚部分别等于零，可得 因此，根轨迹在 点与虚轴相交，交点对应的 值等于6。例题 例5 设一单位反馈控制系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹

15、。 解 根轨迹的起点、终点及分支数 系统有3条根轨迹分支，它们的起点为开环极点（0，-2，-3），终点为开环零点-1和无穷远零点。 实轴上的根轨迹 实轴上的0至-1和-2至-3间的线段是根轨迹的一部分。 例题 根轨迹的渐近线 根轨迹的分离点 根据公式 ，可得分离点为 例题 解本题的MATLAB程序为 % k(s+1)/s(s+2)(s+3) k=1 z=-1； p=0,-2,-3； n,d=zp2tf(z,p,k) rlocus(n,d)例题 解 根轨迹的起点、终点及分支数 实轴上的根轨迹 实轴上的0至-3线段是根轨迹的一部分。 例6 设一单位反馈控制系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹。

16、 系统有4条根轨迹分支，它们的起点为开环极点（0，-3， ），终点为无穷远处。例题 根轨迹的渐近线 根轨迹的分离点 渐近线与实轴的夹角分别为 、 ，渐近线与实轴的交点为 。 根据公式 ，可得分离点为 ，分离角为 ，对应分离点的 值 复数极点 的出射角例题 根轨迹与虚轴的交点 系统特征方程为 解本题的MATLAB程序为 % k/s(s+3)(s2+2s+2) g=tf(1,conv(1,3, 1,2,2) 0) rlocus(g) 令 ，实部和虚部分别为零，得确定闭环极点的方法 当 值满足幅值条件时，对应的根轨迹上的点，就是此时的闭环极点。同样，利用幅值条件可确定根轨迹上任一点所对应的 值。 有

17、时已知一对主导共轭极点的阻尼比，要求确定闭环极点及其相应的开环增益。为此可先画出一条给定的 线，根据它与复平面上根轨迹的交点确定一对共轭闭环极点。然后用幅值条件求相应的开环增益，并用试探法求出满足幅值条件的实数极点。 例4中，若给定一对主导极点的阻尼比 ，则 。确定闭环极点的方法 用试探法可以确定此时的另一个闭环极点为 ，则系统的闭环传递函数为在图中作60线可得它与根轨迹的交点为 ，根据幅值条件，对应的开环增益为第五节 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹 以开环增益 为可变参量的常规根轨迹是最常见的。若需要研究除 外的其它参数对系统性能的影响，就要绘制以其它参数为可变参量的根轨迹，即参数根轨迹或广

18、义根轨迹。 若系统可变参量为时间常数 ，此时不能采用前述的方法直接绘制系统根轨迹，而需要把闭环特征方程式中不含 的各项去除该方程，使原方程变为 其中： 为等效开环传递函数， 在其中相当于 的位置。这样，前述的各项规则依然有效。参数根轨迹 解 系统开环传递函数为 例7 设反馈系统如图所示，试绘制以 为参变量的根轨迹。特征方程为 以不含 的项 ，除以上式得 参数根轨迹系统等效开环传递函数为式中， 。 根轨迹的起点、终点及分支数 实轴上的根轨迹 负实轴为根轨迹的一部分。 系统有2条根轨迹分支，起始于开环极点 ，终止于开环零点0和无穷远处。参数根轨迹 根轨迹的会合点 根据 ，可得会合点为 ，会合角为

19、，相应的 ， 。 复数极点 的出射角 解本题的MATLAB程序为 % ks/(s2+2s+10) n=1 0 d=1 2 10 rlocus(n,d) 多回路系统的根轨迹 对多回路系统而言，需先作内环根轨迹，再用幅值条件求出内环的闭环极点，进而作为外环的部分开环极点，再画出外环的根轨迹。 例8 试绘制以 为参变量的根轨迹。 解 内环的根轨迹 内环开环传递函数为 ，其根轨迹与例4相同。多回路系统的根轨迹 内环的闭环传递函数为 求出 时的内环闭环极点为： ， 内环化简后的外环开环传递函数为式中， 。多回路系统的根轨迹 外环（系统）的根轨迹 实轴上的根轨迹在0至-1，-2.33至-3处。 根轨迹的4条分支分别始于开环极点0、-2.33和 ，终于开环零点-1，-3和无穷远处。 根轨迹的渐近线与实轴的交点为 ，相角 。 复数极点 处的出射角 。 根轨迹与虚轴的交点为 ， ， 。第六节 正反馈回路和非最小相位系统的根轨迹 局部正反馈系统的闭环传递函数为相应的特征方程式为或 可见，正反馈回路根轨迹的幅值条件与负反馈回路完全相同，为 正反馈回路的根轨迹 但相角条件却变为 故又称零度根轨迹。在绘制零度根轨迹时，需要对有关涉及相角条件的规则进行修改。 规则4 在 平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为偶数。 规则5 根轨迹的 条渐近线与实轴的相角为正反馈