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文档简介
1、经 济 数 学 线 性 代 数第3讲 行列式的展开教师：边文莉. 下一步例如一、余子式与代数余子式. 下一步在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作叫做元素 的代数余子式例如. 下一步. 下一步定理 行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即二、行列式按行列展开法那么证: 我们将分三步来证明此结论，先来证明它的 特殊情况，即某行只需一个元素不为0，而其 余元素为0时定理成立。. 下一步1当第一行只需位于第一行第一列的元素即有又从而定理成立。. 下一步2 再证 阶行列式，假设其中第 行一切元素除 外都为零，那末这行列式等于
2、 与它的代数余子式的乘积，即 例如. 下一步得. 下一步得. 下一步. 下一步中的余子式. 下一步故得于是有. 下一步3 证明普通情况 把行列式的第 行的每个元素都写成n个 数的和的方式。然后利用行列式的性质， 把行列式拆成n个行列式的和。. 下一步. 下一步例1. 下一步. 下一步 证用数学归纳法例2证明范德蒙德(Vandermonde)行列式. 下一步. 下一步 n-1阶范德蒙德行列式. 下一步推论 行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证. 下一步同理一样. 下一步关于代数余子式的重要性质. 下一步例 计算行列式解按第一行展开，得. 下一步例 计算行列式解
3、. 下一步. 下一步 1. 行列式按行列展开法那么是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 三、小结. 下一步克莱姆法那么设线性方程组那么称此方程组为非 齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念. 下一步一、克拉默法那么假设线性方程组的系数行列式不等于零，即. 下一步其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项替代后所得到的 阶行列式，即那么线性方程组 有解，并且解是独一的，解可以表为. 下一步证明在把 个方程依次相加，得. 下一步由代数余子式的性质可知,于是当 时,方程组 有独一的一个解. 下一步由于方程组 与方程组 等价,故也是方程组的 解. 下一步二、齐次线性方程组的相关定理定理 假设齐次线性方程组 的系数行列式 那么齐次线性方程组 没有非零解. 下一步 定理 齐次线性方程组 有非零解的充要 条件是它的系数行列式为零.有非零解.系数行列式. 下一步例1 用克拉默那么解方程组解. 下一步. 下一步. 下一步例2 问 取何值时，齐次方程组有非零解？解. 下一步齐次方程组有非零解，那么所以 或 时齐次方程组有非零解. 下一步 1. 行列式按行列展开法那么是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 小结. 下一步3. 用克拉默法那么解方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量
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