工程力学导学文件6点的运动学

1、1工程力学导学2运动学叙言目录内容提要3基本要求7典型例题8补充习题22运动学对象:1)质点；2)刚体叙言:1.运动学的2. 运动的相对性:1) 相对静系；2)相对动系1.内容提要1) 基本概念点的一般运动，就是要点的运动几何性质，要确定点的几何性质，必须有一个参照物。点的运动几何性质只有相对参照物（一般用坐标系表示）才有意义。这就是运动的相对性。2)主要公式(1) 点的运动描述本章点的运动方程是以一个固定物为参考系，来几何位置随时间变化的规律。点的34点的位置坐标的几种表示方法形式图例运动描述与矢量式关系适用矢量MrOz trr空间曲线直角坐标Mzx Oxyyx x(t) y yt z zt

2、 r xi yj zk i , j, k 为x,y,z方位的常矢量空间曲线弧坐标（自然法）sM(-) O(+)s str rs(t)运动轨迹 已知的空间曲线极坐标MrOAr rt (t)r rerer , e 为矢量平面曲线5建立点的位置坐标的关键，是要选择合适的坐标系，并将点置于一般位置时来列写。同时必须注意，不管使用哪种坐标，一定要先确定坐标的原点及坐标正向，且必须在图中标出。(2) 速度方程与度方程点的速度是度量点的运动快慢的程度，合速度的方向就是点的运动方向。点的度是度量点的速度的变化快慢程度，合速度的方向必定指向轨迹曲线的凹向。点的运动矢端曲线就是运动轨迹；其切线方位就是速度的方位；

3、速度的矢端曲线的切线就是度的方位，度指向轨迹曲线的凹向。点的速度、度的几种表示方法形式图例速度方程度方程矢量MrvOad v r rd td d2 a v v r rd td t 2直角坐标vzazvyMay vxaxv d x xxd tv d y yyd tv d z zzd td vd2 xax x vx xd td t 2 d vy d2 yay d t vy d t 2 y2a d vz v d z zzd tzd t 2弧坐标（自然法）Mvatanv d s s d t v vetet为矢量d vd 2 sat d t v d t 2 sv 2an a a et an enen为矢

4、量极坐标av arvrMOAv d rv r drd td tv vrer ve er , e为矢量d v d 2d2 r d 2ar r r rd t d t d t 2 d t d r dd2 a 2 d t d t r d t 2a arer ae672. 基本要求对给出的点的运动物体，能选择适当的坐标系，并予以图示，建立出点的运动方程。根据点的运动描述、速度方程、度方程以及它们之间的微积分关系，正确熟练地进行速度及度分析。83. 典型例题9例1：杆AB长为l，其两端点A、B分别沿轴Ox、Oy运动。已知点A以匀速v运动，方向如图示，若AM=b，设运动初始时杆位于水平位置。试求杆上点M的速

5、度与 度。y解: 对于既要建立点的位置坐标，又要求解B速度、 度的问题，应先建立点的位置坐标，根据速度、度方程是位置坐标的一 M阶、二阶导数关系，问题可全部求解。AOvx本题点M的运动轨迹未知，故用直角坐标来描述。设角，则有x (l b) cosx l cos l vt得 cos l vt MAlyM b sin 及 vA xA l sin v得 vl sin v x (l b) sin l b v MxMll vtl vtb cot 式中 cot 222 2vMy yM b cos vl (l vt)2lvt v tl10v x (l b) sin l b vl vtl vt MxMl式中

6、cot b cot l 2 (l vt)22lvt v2t 2vMy yM b cos vlv x (l b) sin l b v得v为常数。MxMlMxb cot b l vtvMy yM vll2lvt v2t 2再求导得点M的度：aMx vMx 0bv22lvt v2t 2 (l vt)2a v MyMyl(2lvt v2t 2 )3/ 2即点M的度沿轴y向，为：bv22lvt v2t 2 (l vt)2aM aMy l(2lvt v2t 2 )3/ 2合度。11例2：点M沿固定的圆弧线运动。已知：圆的半径为r，=t。试求：（1）用各种坐标来描述点M的运动；（2）在各种坐标中的速度分量；

7、（3）在各种坐标中的 度分量。M解: 不论点M在平面内的运动轨迹是否已知，都r可以用直角坐标方法。一般地坐标原点就选在本机构的静点上。本机构在各种约束下只须一个运动参变量就可描述，可见点M的x,y均应为角坐标的函数。12yM1.直角坐标法：rxx r cos r costO y r sin r sin t位置坐标轨迹方程：x2 y2 r 2v vyvx x r sin t注意对的v1M v y r costxry复合求导！ v v2 v2 rxy或 tan vy cot 1vxay a a v x r 2 sin tM 2xxaa v y r 2 costrx yya a2 a2 r 2或 x

8、y tan ay tan 2ax13s2.自然坐标法：Mr当点的运动轨迹已知时,用自然坐标表达更简捷。O1s r rt位置坐标vv d s s r合速度Md tra v 0tv22分度an r raM合度： a arn方向:指向曲率中心（圆心）。143.极坐标法：Mr点做平面曲线运动，也可以用极坐标求解。OAr constconst意为常量！ tvvr r 0rMv r r分速度 合速度：v vaa r r 2 r 2 r分度M a 2r r 0r合度： a ar方向：沿r的负向。通过上述求解，可知：对已知轨迹曲线的，往往用自然坐标比较容易。15例3：一动点位置函数为：x=50t，y=500-

9、5t2，式中：x和y以m计， t以s计。试求（1）动点运动的轨迹；（2）动点沿运动轨迹的运动规律；（3）当t=0时，动点的切向、法向度及轨迹的曲率半径。解: （1）在直角坐标的运动描述中，消去时间t得轨迹方程：x2 250000 500 y（2）沿轨迹的运动规律，就是要转化为自然坐标的描述。若在轨迹上建立自然坐标（如图示），则y500 O1 x 50v x2 y 2 502 (10)2 t 2 d s y 10td tsts d s 10 52 t 2 d t时间零点对应点O1。00O500 xs 5t5 t125ln( t 5 t ) 125ln 5222222t 52 t 2s 5t5 t

10、125lns516（3）当t=0时，动点的切向、法向度及轨迹的曲率半径 x 50v x2 y 2 1025 t 2 y 10ta d v xx yy x 0a xx yy10ttd t22因为 y 10tx2 y 225 t 2x ya x2 y2 10m/s 2y此圆仅表示点O1O1v的曲率半径，曲a a2 a2 xy yxan线上个点具有不ntx2 y 2同的曲率半径。(10t)250Ox102 25 t 225 t 2v2(x2 y 2 )3/ 2at 0 当t=0时，axy yxan2n 250 m 2(25 t 2 )3/ 217例3：一动点M用直角坐标描述的方程为：x=lcost，

11、y=bsint，式中l、b、为常量。试求：（1）动点M的轨迹方程；（2）沿轨迹的运动描述；（3）切向度与法向度；（4）曲率半径的表达式。解: （1）在直角坐标的运动描述中，消去时间t得轨迹方程： x ys lcost( x )2 ( y )2 1 ylbbx sin tOlO1 b（2）沿轨迹的运动描述，就是要转化为自然坐标的描述。若在轨迹上建立自然坐标（如图示），则x l sin td sv x2 y 2 l 2 sin 2 t b2 cos2 t y b costd tsts d s l 2 sin 2 t b2 cos2 t d t时间零点对应点O1。001822sint 1 2 d 设

12、： tan t 则： d t cos2 t 11 21 2 l 22 b2s d (1 2 )3/ 219（3）切向度与法向度x l sin tv x2 y 2 l 2 sin 2 t b2 cos2 t y b costd vxx yy x l 2 cost at d t x2 y 2因为 y b 2 sin txx yyl 2 b22at sin t costx2 y 2l 2 sin 2 t b2 cos2 ta x2 y2 2l 2 cos2 t b2 sin 2 ta a2 a2 xy yxntx2 y 2 2l 2 cos2 t b2 sin 2 t (l b ) sint cos

13、 t22222l 2 sin 2 t b2 cos2 tlb 2l 2 sin 2 t b2 cos2 t20v x2 y 2 l 2 sin 2 t b2 cos2 tlb 2an l 2 sin 2 t b2 cos2 t（4）曲率半径的表达式v2 an v (x y )222 3/ 2anxy yx 2 (l 2 sin 2 t b2 cos2 t) (l 2 sin 2 t b2 cos2 t)3/ 2lb 2 /l 2 sin 2 t b2 cos2 tlb21例4：一质点M沿轴x作直线运动，其度a=rcost，式中：r、为常量，初瞬时其速度为零，并处于r处。试求其运动规律（点M位置

14、随时间t的历程）。解: 根据度、速度、位置函数间的积分关系求解。x a r2 cost即d x r costd txt分离变量，积分 0 d x rcost( d t)将初条件写0入积分的上下得 v x r sin t即d x r sin t限，成为定积d t分形式。xt分离变量，积分d x rsin t( d t)r0得x r(1 cost)224. 补充习题231 一动点M的度方程为 =x5xm/s2，当t=0时，x0=0.3m ,x0 =0.6m/s。试用x的函数表示动点M的速度。x 5x2 0.09 m/ sx2某起重机以v1=1m/s的速度沿水平向朝右行驶，并以v2=2m/s的速度向

15、上一重物，重物离顶点高度h=10m。取图时的位置为坐标原点O，试求重物的位置、轨迹示重物开始方程、重物的速度以及到达顶点的时间。x=t（m），y=2t（m），y=2x（m）， v=5m/s，t=5s。243杆AB长为l，滑块A和C各沿轴y和轴x作直线运动，BC=b， =kt (k为常数)，。试写出点B的位置，并求其轨迹。x2 y2x=lsinkty=bcoskt, 1，。l 2b22514一点沿半径为R的圆周按规律运动。试求：度大小等于bs v t bt202（1）此点的度(表示时间t的函数)；（2）的时间及此时点走过的圈数。v2)4v(;（2）t ， n （1）a b204Rb 0b。R22

16、6275动点沿图示半径R=1m的圆周按v=20-ct的规律运动，式中，v以m/s计，t以s计，c为常数。若动点经过A,B两点时的速度分别为vA=10m/s，vB=5m/s。试求动点从A到B所需要的时间和在点B时的度。t=0.209s，a=34.57m/s2。6度at沿半径R的圆周度大小相等的时刻。一点从状态开始，以匀切向运动。试求点的切向度和法向Ratt 。28297点M沿图示半径为r的圆弧运动，该点的速度v在直径AB方向上的投影vx是常数。试求点M的速度、度和角 的关系。2v vx,a vx 1。sin rsin3 308M由作平移的T字形杆ABD带动，沿曲线y2=2cx轨道运动， 。T形杆

17、的速度v=const。试求 M的速度和加速度的大小(写成杆位移x的函数)。v v 1 c, a v2c 。2M2xM4xx319销钉A由导杆B带动沿半径R=250mm的固定圆弧槽运动，导杆B沿丝杆以匀速v0=2m/s向上运动。试求 =30时，销钉A的切向度和法向度。an=21.33m/s2, at=12.33m/s2。3210，铅直导杆以不变速度v0向右运动，并带动销子M沿抛物线槽x=y2/3运动，式中x,y以m计。试求在y=2m处轨迹的曲率半径 和销子M在该位置的切向 度。 =6.944m，a 0.1688v2 m/s2。t03311一圆板在Oxy平面内运动。已知圆板中心C的位置为 xC=3

18、-4t+2t2， yC=4+2t+t2（其中，xC，yC以m计，t以s计）。板上一点M与点C的距离为l=0.4m，直线段CM与轴x的夹角=2t 2(以 rad计，t以s计)，试求t=1s时点M的速度与度。v=(-1.46i+3.33j)（m/s），a=(5.21i-4.48j)m/s2。12，具有铅垂固定转轴的起重机回转时，其转角 =t ( = const)，而起重臂AB和撑杆OA的夹角 保持不变，经点A用缆索吊一重物M，以匀速v0上升，缆索到轴Oz的垂直距离为l。试求重物的运动轨迹、速度与半径。度大小和轨迹的曲率l 2 2v2xlz cos , l 22, v v2, a l20l 2x2+y2=l2,。0nv034和曲柄OA铰接，并穿