高考文科数学函数专题讲解与高考真题精选(含答案)

1、PAGE1 / NUMPAGES17函数【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:AB函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设a,b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做a,b；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做a,b

2、)，(a,b；满足xa,xa,x,bx的b实数x的集合分别记做a,),a(,),(b,(b注意：对于集合x|axb与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：f(x)是整式时，定义域是全体实数f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1ytanx中，xk(kZ)2零（负）指数幂的底数不能为零若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于

3、求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为a,b，其复合函数fg(x)的定义域应由不等式ag(x)b解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；k反比例函数(k

4、0)y的定义域为x|x0，值域为y|y0；x2bxca二次函数f(x)ax(0)的定义域为R，当a0时，值域为y|y(4ac4ab2)；当a0时，值域为y|y(4ac4ab2)配方法：判别式法：若函数yf(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次2a(y)xb(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有byaycy，从而确定函数的值域或最2()4()()02()4()()0值k不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值转化成型如：(k0)yx，利用平均值x不等式公式来求值域；换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最

5、值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作f:AB给定一

6、个集合A到集合B的映射，且aA,bB如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象（7）求函数解析式的题型有：1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；2）已知f(x)求fg(x)或已知fg(x)求f(x)：换元法、配凑法；3）已知函数图像，求函数解析式；4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等1.3函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法如果对于属于定义域I内（1）利用定义某个区间上的任意两个自变量的

7、值x1、x2,当x1yy=f(X)f(x)2（2）利用已知函数的单调性函数的x)f(x)，12那么就说f(x)在这个区间上是增函数of(x)1x1x2x（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数单调性（1）利用定义如果对于属于定义域I内yy=f(X)（2）利用已知函数 某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当xf(x)，1 2那么就说f(x)在这个区间上是减函数f(x)1f(x)2oxx12x的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增

8、函数为减函数对于复合函数yfg(x)，令ug(x)，若yf(u)为增，ug(x)为增，则yfg(x)为增；若yf(u)为减，ug(x)为减，则yfg(x)为增；若yf(u)为增，ug(x)为减，则yyfg(x)为减；若yf(u)为减，ug(x)为增，则yfg(x)为减a（2）打“”函数f(x)x(a0)x的图象与性质oxf(x)分别在(,a、a,)上为增函数，分别在a,0)、(0,a上为减函数（3）最大（小）值定义一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在xI，使得f(x0)M那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作0fmax(

9、x)M一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有fxm；（2）存在x0I，使得f(x0)m那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x)m1()（4）证明函数单调性的一般方法:定义法：设x1,x2A且x1x2；作差f(x1)f(x2)，判断正负号，（xA) 用导数证明：若f(x)在某个区间A内有导数，则f(x)0f(x)在A内为减函数f(x)在A内为增函数；f(x)0，（xA)（5）求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法（6）复合函数yfg(x)在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则fg(x)为增函数；若f与g的单调性相反，则fg

10、(x)为减函数注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集（7）一些有用的结论：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数f(x)增函数g(x)是增函数；减函数f(x)减函数g(x)是减函数；增函数f(x)减函数g(x)是增函数；减函数f(x)增函数g(x)是减函数bbbbb函数(a0,b0)或上单调递增；在,00yax在,或，上xaaaa是单调递减【1.3.2】奇偶性定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法如果对于函数f(x)定义（1）利用定义（要域内任意一个x，都有先判断定义域是否x)=f(x),那么函数f(关于原点对称）f(x)叫做奇函数（2）

11、利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义（1）利用定义（要域内任意一个x，都有先判断定义域是否x)=f(x),那么函数f(关于原点对称）f(x)叫做偶函数（2）利用图象（图象关于y轴对称）若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)0f(x)为偶函数f(x)f(|x|)奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)f(x)0，f(x)f(x)1函数周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(xT)f(x)恒成立，

12、则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换yfxyfxh()h0,h()()h0,h()左移个单位右移|个单位h0,h|()k0,k()上移个单位yfxyfxk下移|个单位k0,k|伸缩变换01,伸yf(x)yf(x)1,缩()A()01,缩yfxyAfxA1,伸对称变换x轴yf(x)y轴yf(x) yf(x)yf(x)原点yf

13、(x)直线yxyf1(x) yf(x)yf(x)去掉轴左边图象yyf(x)yf(|x|)保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象yy保留轴上方图象xyf(x)y|f(x)|将轴下方图象翻折上去xy=f(x)x轴y轴yx直线xa直线y=f(x);y=f(x)y=f(x);y=f(x)y=f(2ax);y=f(x)y=f1(x);原点y=f(x)y=f(x)（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别X围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解

14、题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章基本初等函数()2.1指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念n如果xa,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0根式的性质：(na)na；当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nna(a0)a|a|a(a0)（2）分数指数幂的概念mnmn正数的正分数指数幂的

15、意义是：aa(a0,m,nN,且n1)0的正分数指数幂等于0正数的负分数指数幂的意义是：mm11ma()()(a0,m,nN,nnnaa且n1)0的负分数指数幂没有意义注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质rsrsrsrsaaa(a0,r,sR)(a)a(a0,r,sR)rrr(ab)ab(a0,b0,rR)【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数x定义函数ya(a0且a1)叫做指数函数a10a1yx yayaxy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx 定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当x0时，y1奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数

16、在R上是减函数xa1(x0)xa1(x0)函数值的变化情况xa1(x0)xa1(x0)xa1(x0)xa1(x0)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低2.2对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义x若aN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogN，其中a叫做底数，N叫a做真数负数和零没有对数x 对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xNaNaaNa（2）几个重要的对数恒等式loga10，logaa1，logbaab（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即logN；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828,）

17、10（4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么加法：logaMlogaNloga(MN)减法：logalogalogaMNMNn数乘：loglog()nMMnRaalogaNaNnnlogMlogM(b0,nR)baab换底公式：logNblog(0,1)Nb且balogab【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数图象a10a1yx1ylogxayx1ylogax(1,0)O(1,0)Oxx定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当x1时，y0奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数log

18、x0(x1)alogx0(x1)a函数值的变化情况logx0(x1)alogx0(x1)alogx0(0 x1)alogx0(0 x1)aa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高(6)反函数的概念设函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xfy，习惯上改1()1()写成yfx1()1()（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式yf(x)

19、中反解出xfy；1()1()将xfy改写成1()1()yfx，并注明反函数的定义域1()1()（8）反函数的性质原函数yf(x)与反函数yfx的图象关于直线yx对称1()1()函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yfx的值域、定义域1()1()若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上，则Pba在反函数(,)(,)yfx的图象上1()1()一般地，函数yf(x)要有反函数则它必须为单调函数2.3幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第

20、一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当qp（其中p,q互qq质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则pyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则pyx是偶q函数，若p为偶数q为奇数时，则pyx是非奇非偶函数图象特征：幂函数yx,x(0,)，当1时

21、，若0 x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象在直线yx上方，当1时，若0 x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：2f(x)axbxc(a0)顶点式：2f(x)a(xh)k(a0)两根式：f(x)a(xx)(xx)(a0)（2）求二次函数解析式的方法12已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便（3）二次函数图象的性质二次函数b2f(x)axbxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x,

22、2a顶点坐标是2b4acb(,)2a4ab当a0时，抛物线开口向上，函数在(,2ab上递减，在,)2a上递增，当xb2a时，f(x)min24acb4ab；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,2ab上递增，在,)2a上递减，当xb2a时，f(x)max24acb4a二次函数2f(x)axbxc(a0)当240bac时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|x1x2|a|（4）一元二次方程20(0)axbxca根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程20(0)axbxca的两实根为x1,x2，且x1x2令2f(x)axbxc，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：值符号xb2a判别式：端点函数（5）二次函数2f(x)axbxc(a0)在闭区间p,q上的最值设f(x)在区间p,q上的最大值为M，最小值为m