三角函数向量教师版

1、PAGE PAGE 33三角函数、向量专题11. 已知，则 2将函数的图像向左平移个单位，所得的图像对应的函数为偶函数，则的最小值为 3.若向量 eq o(sup6(),sdo1(a)、 eq o(sup6(),sdo1(b)满足| eq o(sup6(),sdo1(a)|1，| eq o(sup6(),sdo1(b)|2，且 eq o(sup6(),sdo1(a)与 eq o(sup6(),sdo1(b)的夹角为 eq f(,3)，则| eq o(sup6(),sdo1(a)+2 eq o(sup6(),sdo1(b)| 4.函数的图象如上，则y的表达式是 5.如图,在中，是边上一点，则 6

2、.在中,已知,则 .7.在中，角的对边分别为，且，则角的大小是 或O11515x(第9题)y8外接圆的半径为，圆心为，且，则 39 函数，在上的部分图象如图所示，则的值为 【答案】10已知非零向量a，b满足|a|ab|1，a与b夹角为120，则向量b的模为 111在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a1，A60，ceq F(eq R(,3),3)，则ABC的面积为 eq F(eq R(,3),6)12已知直线xa(0aeq F(,2)与函数f(x)sinx和函数g(x)cosx的图象分别交于M，N两点，若MNeq F(1,5)，则线段MN的中点纵坐标为 eq F(7,10)1

3、3已知sineq f(1,2)cos，且(0,eq f(,2)，则的值为 14在中，是边的中点，角的对边分别是,若，则中角的大小为 .15ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，（1）求；（2）若，求16、如图，已知OAB中，点C是点B关于A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，DC和OA交于E，设，.(1)用向量与表示向量、.BACODE(2)若，求实数的值.，17（本题满分14分）在中，命题：；命题：函数为减函数. 设向量.（1）如果命题为假命题，求函数的值域；（2）命题“且”为真命题,求的取值范围；（3）如果向量，求.17. 解:(1)由命题为假命题，则1分,2分，3分的

4、值域为.4分(2) 命题“且”为真命题,由命题：，解得，5分由命题：函数为减函数,，6分函数为减函数，7分,8分 .9分 (3) ,即,10分，11分，12分 ，,13分.14分18. （满分14分）如图是足球场的部分示意图，假设球门的宽AB=7m，A到边线的距离AC=30m。现距离边线5m处的一名运动员P沿着边线方向向底线运球，他观察球门的角称为视角。设P到底线的距离为PD=m，记为。（1）试将表示成的函数；（2）求当P离底线多少m时，该球员观察球门的视角最大？（结果保留根式）18.（1）；（2）。当且仅当19 （满分16分）函数（、是常数，A0，,是锐角）的部分图象如图所示，其中。（1）求

5、的解析式；（2）若将函数的图象先向右平移个单位，再将图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，试写出函数的解析式；（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围。19（1）；（2）将函数的图象先向右平移个单位，得到函数；再将图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数；（3）若存在，使得成立。，可以求导，得：在递减，在递增；。也可以利用斜率进行数形结合求解。所求实数的取值范围是。20（本小题满分14分）在中，三个内角，的对边分别为，其中， 且 求证：是直角三角形； 如图，设圆过三点，点位于劣弧上，求面积最大值. 证明：由正弦定理得， 2分HYPERLINK /

6、整理为，即 3分又因为或，即或 ， 舍去，故由可知，是直角三角形 6分 解法一：由（1）及，得， 7分设，则， 在中， 所以 10分 12分因为所以，当，即时，最大值等于. 14分解法二：设到的距离为，取到最大值时，取得最大值；过作的垂线交于点，此时最大，所以= 14分三角函数、向量专题21已知510角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则=_.2已知，则与向量方向相反的单位向量坐标为_.3. 在中，角的对边分别为，若，则=_.44. 若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，ABCDE则_.5. 如图，在中，为边上的点，且，则_.16若均为非零向量，且，则向量的夹角为 OABC(第11题图)

7、7如图，是半径为的圆上两点， 且若点是圆上任意一点，则的取值范围为 8、若的值为 . 9、已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45，(a+ b)(a+b)，则实数的值为 10、设，则函数的最小值为_eq r(3)11已知= 12若点M是ABC所在平面内的一点，且满足，则ABM与ABC的面积比为 13.如图，在平面四边形中，若，则 . 5A第11题CDB14：定义行列式运算：eq blc|rc|(avs4alco1(a1a2,a3a4)a1a4a2a3，将函数f(x)eq blc|rc|(avs4alco1(r(3)cosx,1 sinx)的图象向左平移m个单位(m0)，若所得图象对应的函数

8、为偶函数，则m的最小值是_解析：由题意，知f(x)eq r(3)sinxcosx2(eq f(r(3),2)sinxeq f(1,2)cosx)2sin(xeq f(,6)，其图象向左平移m个单位后变为y2sin(xeq f(,6)m)，平移后其对称轴为xeq f(,6)mkeq f(,2)，kZ.若为偶函数，则x0，所以mkeq f(2,3)(kZ)，故m的最小值为eq f(2,3).答案：eq f(2,3)15已知向量，其中（1）若，求函数的最小值及相应x的值；（2）若a与b的夹角为，且ac，求的值16（本题满分14分）设的内角的对边分别为（1）求证：；（2）若，试求的值 417(本题满分

9、15分) 设,是两个互相垂直的单位向量，已知向量，（1）若、 三点共线，试求实数的值 （2）若、 三点构成一个直角三角形，试求实数的值解：（1）-=2分 、 三点共线，4分 即=7分 （2）（）+（）+（）= 8分 若，则（舍去）10分 若，则12分 若，则（舍去）或14分 综上所述实数的值为或15分18.（满分14分）已知，且。（1）求的大小； （2）若，求的值。18.(1);(2)19（本题满分14分）已知，内角所对的边分别为，且满足下列三个条件： ； ； 求 (1) 内角和边长的大小； (2) 的面积解：(1) 由，所以,2分, ,4分,6分(2) 8分由,得,12分故14分20（本题满

10、分14分）在中，已知过点的直线与线段分别相交于点，若 其中， 求的值； 记OMN的面积为，平行四边形的面积为，试求之值.（本题满分14分）解： 由题意得所以，又又因为三点共线，得，则（1） 式两边平方，得，即解得： 7分 由题意得，=即. 14分三角函数、向量专题31将函数f(x)eq r(3)sinxcosx的图象向右平移(0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为_解析：因为f(x)eq r(3)sinxcosx2sin(xeq f(,6)，f(x)的图象向右平移个单位所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为eq f(5,6).2已知sin(eq f(,12)eq f(1,3)，

11、则cos(eq f(7,12)的值等于_解析：由已知，得cos(eq f(7,12)cos(eq f(,12)eq f(,2)sin(eq f(,12)eq f(1,3).答案：eq f(1,3)3. 设点是函数与的图像的一个交点，则 _ 。4.已知函数f(x)asin2xcos2x(aR)图象的一条对称轴方程为xeq f(,12)，则a的值为_解析：xeq f(,12)是对称轴，f(0)f(eq f(,6)，即cos0asineq f(,3)coseq f(,3)，aeq f(r(3),3).答案：eq f(r(3),3)5. 已知函数ysin(x)(0，)的图象如图所示，则_解析：由图可知

12、，eq f(T,2)2eq f(3,4)，Teq f(5,2)，eq f(2,)eq f(5,2)，eq f(4,5)，ysin(eq f(4,5)x)又sin(eq f(4,5)eq f(3,4)1，2-2sin(eq f(3,5)1，eq f(3,5)eq f(3,2)2k，kZ.，eq f(9,10).答案：eq f(9,10)6：函数的图像如右图所示，则 _ 解析：由图象可知：，从而得，计算可得，于是有：7. 已知函数f(x)sinxcosx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)f(x)f(x12012)成立，则的最小值为_解析：显然结论成立只需保证区间x1，x1201

13、2能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f(x)sinxcosxeq r(2)sin(xeq f(,4)，则2012eq f(f(2,),2).答案：8已知，则9在中，AB=2，BC=4，B=60，设O是的内心，若，则10. 在中，则_ 【解析】利用正弦定理可知：11. 函数的图象向左平移个单位后，与的图象重合，则实数的最小值为 .【解析】，所以至少向左平移个单位，即的最小值为 12. 已知则的值为【解析】（必修4课本21页例4改编） 13、若角的终边落在射线上，则= 014、给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是 1，2，4若 函数的图象关于对称； 函数为偶函数，函数是周期函数，且周

14、期为。15.设的内角，的对边长分别为，且求证：；若，求角的大小.解析：整理得由可以得，又由得，在三角形中有，由得为锐角，所以有16. （本小题满分14分）在ABC中，为三个内角为三条边，且（I）判断ABC的形状；（II）若，求的取值范围()解：由及正弦定理有：或若，且，；，则，三角形7分() ，而，1417. （本题满分16分）如图，海岸线，,现用长为6的拦网围成一养殖场，其中(1)若BC = 6，,求养殖场面积最大值；(2)若AB = 2，AC = 4，在折线内选点， 使BD + DC = 6，求四边形养殖场DBAC的最大面积（保留根号）18（本小题满分14分）在中，是中点 求向量与向量的夹

15、角的余弦值； 若，是线段上任意一点，求的最小值解： 设向量与向量的夹角为，令， 7分 设则，而 所以当且仅当时 的最小值是 14分19（本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点，其中 若求证：； 若，求的值（本小题满分14分）解：（方法一）由题设知 2分所以 6分因为所以，故 7分（方法二）因为所以，故 2分因此 4分因为所以 因为，所以即解得9分因为所以因此12分从而14分20（本题满分16分）如图为河岸一段的示意图，一游泳者站在河岸的A点处，欲前往河对岸的C点处若河宽BC为100m，A、B相距100m，他希望尽快到达C，准备从A步行到E（E为河岸AB上的点），再从E游到C已知此人步行速度

16、为v，游泳速度为0.5v ， 设，试将此人按上述路线从A到C所需时间T表示为的函数；并求自变量的取值范围； 当为何值时，此人从A经E游到C所需时间T最小，其最小值是多少？ABEC（本题满分16分） 从步行到所用的时间为 2分 4分由题意可知：点位于处时，取最小值，点位于处时，取最大值， 6分， 8分 由得， 10分时，时，时，取得极小值时同时也是最小值 15分答：此人从经游到所需时间的最小值为. 16分三角函数、向量专题41. 已知是第二象限角，且，则的值为_2. 在锐角ABC中，A = t 1，B = t 1，则t的取值范围是 3.已知，若，则的值为 4将函数的图像向左平移至少 个单位，可得

17、一个偶函数的图像 5对于,有如下四个命题: 若 ,则为等腰三角形,若,则是直角三角形若,则是钝角三角形若, 则是等边三角形其中正确的命题个数是_. 1 6设G是的重心，且，则角B的大小为_. 607在ABC中，A=,b=1,其面积为，则外接圆的半径为 8 设k为实数，已知向量(1，2)， EQ o(sup7(),b)(3，2)，且(k EQ o(sup7(),b)(3)，则k的值是 199在平面直角坐标系xOy中，若角的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y eq r(3)x（x0）上，则sin5 EQ F( EQ r( ,3),2)10在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知a2，3

18、bsinC5csinBcosA0，则ABC面积的最大值是 211. 外接圆的半径为，圆心为，且，则 3 12在ABC中，角所对的边分别为，且满足，若，则a的值为 13、在面积为2的中，分别是的中点，点在直线EF上，则的最小值是 14在中，若，则面积的最大值为 15(本小题满分14分) 设，满足，()求函数的单调递增区间；（）设三内角所对边分别为且，求在上的值域解：()由因此 4分 令得 故函数的单调递增区间 7分 （）由余弦定理知：即， 9分又由正弦定理知：即,所以 当时，16（本题满分14分） 已知复数， ， ，求：（1）求的值； （2）若,且,求的值17.（本小题满分14分）已知ABC的内

19、角A的大小为120，面积为（1）若AB，求ABC的另外两条边长；（2）设O为ABC的外心，当时，求的值【解】（1）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以bc=4 3分因为，所以由余弦定理得 6分（2）由得，即，解得或48分设BC的中点为D，则，因为O为ABC的外心，所以，于是12分所以当时，；当时，14分18在ABC中，角，所对的边分别为，c已知 （1）求角的大小；（2）设，求T的取值范围解：（1）在ABC中， ， 3分 因为，所以， 所以， 5分 因为，所以， 因为，所以 7分 （2） 11分 因为，所以， 故，因此， 所以 14分ABFEDCH19. （本小题满分16分

20、）如图所示，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()的池底水平铺设污水净化管道（,是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米,米,记.(1)试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定义域；(2)若,求此时管道的长度；(3)问:当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度18.（1）即（2）（3）则或时20（本小题满分14分）已知向量，且，求：（1）及； （2）若的最小值是，求的值.17. （本小题满分14分）解：(1) 2分 5分 7分 综上所述，为所求. 14分注意：没分类讨论扣2分三角函数、向量专题51函数的最小正周期是 1

21、2. 已知，则的值为 3向量，= 4若，则的值为 . 5已知，且，则 6若的最小值为，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为，又图像过点，则其解析式是 AOBC SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 7.如图，平面内有三个向量 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的夹角为120， SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的夹角为150，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF

22、1 0 的值为分析：本题的目的是考查向量的坐标运算和向量的基本定理，在解决向量问题中的坐标系和坐标的意识.如下图所示：建立平面直角坐标系，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 可得： SKIPIF 1 0 ，可解得 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0）的图像的最高点，M、N是该图像与x轴的交点，若，则 的值为 . 9为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩（如图），要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，就可以计算出两点的距离为 . 10如图，已知正方形的边长为3，为的中

23、点，与交于点则 11若点是ABC的外心，且，则实数 12已知ABC是边长为2的等边三角形，D是BC边上的一点，且,则= 。13. 若 ABC 内接于以O为圆心，1为半径的圆，且 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的值为 14函数的最大值与最小值之和为 102【解析】是奇函数，奇函数的最大值与最小值之和为0，15（本小题满分14分）在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c.（1）若，求的值；1（2）若，求的值. 16（本小题满分14分）已知平面内向量，（1）求实数，使得与共线； （2）求实数，使得与垂直 17.（本题满分14分）已知，分别是的三个内角，的对边，若向量，

24、求角的大小； 求函数的值域15(1) 因为向量，且，所以, 2分由正弦定理，得, 4分即，所以， 6分因为，所以； 8分(2) 因为 ,12分而，所以函数的值域为, 18已知是的三个内角，且满足，设的最大值为（）求的大小；（）当时，求的值15解：（）由题设及正弦定理知，即由余弦定理知，2分4分因为在上单调递减，所以的最大值为6分（）解：设，8分由（）及题设知由2+2得，10分又因为，所以，即14分19（本小题满分16分）已知 A、B两地相距，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上

25、种花，其余是空地设花坛的面积为，草坪的面积为，取用及R表示和；求的最小值（1）因为，则，则3分设AB的中点为O，连MO、NO，则易得三角形AMC的面积为， 5分三角形BNC的面积为， 7分+ 8分（2）， 10分令，则 13分的最小值为16分20。如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中AOB的圆心角为，半径OA为1Km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成。其中D在线段OB上，且CD/AO，设AOC=，（1）用表示CD的长度，并写出的取值范围。(2)当为何值时，观光道路最长？18.解：（1）在中，由正弦定理得2分又因

26、为所以，4分所以，7分（2）设道路长度为9分11分列表如下： 0递增极大递减所以当取得最大值。14分三角函数、向量专题61当函数取得最大值时,_. 2已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 .3. 设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC，3b20acosA，则sinAsinBsinC为 4已知，则函数的最大值是 5设函数，其中，则导数的取值范围是 6设为锐角,若,则的值为 7函数，又，且的最小值等于，则正数的值为 【解析】 8外接圆的半径为，圆心为，且，则 答案：39已知和点M满足.若存在实数m使得成立，则m 3 10已知函数的值为 ACD

27、BE第12题图11已知，C是线段AB上异于A，B的一点，均为等边三角形，则的外接圆的半径的最小值是 11设则，在中，由余弦定理，知又当且仅当时，取“=”，所以，又的外接圆的半径12在平行四边形已知，点的中点，点 在上运动（包括端点），则的取值范围是 ，113.设i、j分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|ai|a2j| eq r(5)，则|a2i|的取值范围是_ eq f( eq a(6 eq r(5),5),314. 巳知函数有两个不同的零点，且方程有两个不同的实根.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为_ _.15已知向量与互相垂直，其中 （1）求和的值； （2）若，求的值解：（1），又，且， 6分（2），又， 10分 16（本小题满分14分）已知函数（1）求函数f(x)的最小值和最小正周期；（2）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且c=，若向量共线，求a , b的值。答案：解：（1） 3分 即 T=7分（2） 10分由余弦定理14分17（本小题满分14分）在锐角三角形ABC中，（1）求的值；（2）若，求实数m的值。17；18.（本小题满分14分）如图，摩天轮的半