2021版数学（新教材）必修 第一册人教A版：第五章 5-4-1

1、5.4三角函数的图象与性质5.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象.3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题知识点一正弦函数的图象1正弦曲线的定义正弦函数ysin x，xR的图象叫正弦曲线2正弦函数图象的画法(1)几何法：利用单位圆上点T(x0，sin x0)画出ysin x，x0,2的图象；将图象向左、向右平行移动(每次2个单位长度)(2)五点法：画出正弦曲线在0,2上的图象的五个关键点(0,0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，1)，(，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f

2、(3,2)，1)，(2，0)，用光滑的曲线连接；将所得图象向左、向右平行移动(每次2个单位长度)思考为什么把ysin x，x0,2的图象向左、向右平移2的整数倍个单位长度后图象形状不变？答案由公式sin(x2k)sin x，kZ可得知识点二余弦函数的图象1余弦曲线的定义余弦函数ycos x，xR的图象叫余弦曲线2余弦函数图象的画法(1)要得到ycos x的图象，只需把ysin x的图象向左平移eq f(,2)个单位长度即可，这是由于cos xsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2).(2)用“五点法”：画余弦曲线ycos x在0,2上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1

3、)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0)，(，1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0)，(2，1)，再用光滑的曲线连接1正弦函数的图象向左右是无限伸展的()2正弦函数ysin x的图象在x2k，2k2，(kZ)上的图象形状相同，只是位置不同()3函数ysin x的图象向右平移eq f(,2)个单位得到函数ycos x的图象()4函数ycos x的图象关于x轴对称()一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识例1(1)下列叙述正确的个数为()ysin x，x0,2的图象关于点P(，0)成中心对称；ycos x，x0,2的图象关于直线x成轴对称；正、余弦函

4、数的图象不超过直线y1和y1所夹的范围A0 B1个 C2个 D3个答案D解析分别画出函数ysin x，x0,2和ycos x，x0,2的图象，由图象(略)观察可知均正确(2)函数ysin |x|的图象是()答案B解析ysin |x|eq blcrc (avs4alco1(sin x，x0，,sin x，x0，)结合选项可知选B.反思感悟解决正、余弦函数图象的注意点对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到跟踪训练1关于三角函数的图象，有下列说法：ysin x1.1的图象与x轴有无限多个公共点；ycos(x)与y

5、cos |x|的图象相同；y|sin x|与ysin(x)的图象关于x轴对称；ycos x与ycos(x)的图象关于y轴对称其中正确的序号是_答案解析对，ycos(x)cos x，ycos |x|cos x，故其图象相同；对，ycos(x)cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知均不正确二、用“五点法”作简图例2用“五点法”作出下列函数的简图：(1)ysin x1，x0,2；(2)y2cos x，x0,2解(1)列表：x0eq f(,2)eq f(3,2)2sin x01010sin x110121描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图(2)列表：x0eq f(,2)eq f(3,2)

6、2cos x101012cos x32123描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图反思感悟作形如yasin xb(或yacos xb)，x0,2的图象的三个步骤跟踪训练2利用“五点法”作出函数y1sin x(0 x2)的简图解(1)取值列表：x0eq f(,2)eq f(3,2)2sin x010101sin x10121(2)描点连线，如图所示三、正弦(余弦)函数图象的应用例3利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合(1)sin xeq f(1,2)；(2)cos xeq f(1,2).解(1)作出正弦函数ysin x，x0,2的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合

7、为eq blcrc(avs4alco1(f(,6)2k，f(5,6)2k)，kZ.(2)作出余弦函数ycos x，x0,2的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为eq blcrc(avs4alco1(f(,3)2k，f(5,3)2k)，kZ.反思感悟用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在0,2上的图象；(2)写出不等式在区间0,2上的解集；(3)根据公式一写出定义域内的解集跟踪训练3在0,2上，使cos xeq f(1,2)成立的x的取值集合为_答案eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(2,3)xf(4,3)解

8、析画出ycos x在0,2上的简图，如图所示由于cos xeq f(1,2)时，xeq f(2,3)或xeq f(4,3).由图象可知，在0,2上，使cos xeq f(1,2)成立的角x的取值集合为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(2,3)xf(4,3).根据函数图象求范围典例函数f(x)sin x2|sin x|，x0,2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_答案(1,3)解析用数形结合法判断k的取值范围f(x)eq blcrc (avs4alco1(3sin x，0 x，,sin x，x2.)图象如下图所示结合图象可知1k

9、3.素养提升关于方程根的个数问题，往往运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决1函数ysin x，xeq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(3,2)的简图是()答案D解析函数ysin x与ysin x的图象关于x轴对称，故选D.2在同一平面直角坐标系内，函数ysin x，x0,2与ysin x，x2，4的图象()A重合B形状相同，位置不同C关于y轴对称D形状不同，位置不同答案B解析根据正弦曲线的作法可知函数ysin x，x0,2与ysin x，x2，4的图象只是位置不同，形状相同3用“五点法”画函数y23sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是()A0，

10、eq f(,4)，eq f(,2)，eq f(3,4)， B0，eq f(,2)，eq f(3,2)，2C0，2，3，4 D0，eq f(,6)，eq f(,3)，eq f(,2)，eq f(2,3)答案B解析所描出的五点的横坐标与函数ysin x的五点的横坐标相同，即0，eq f(,2)，eq f(3,2)，2，故选B.4不等式cos x0，x0,2的解集为_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(3,2)解析由函数ycos x的图象可知，不等式cos x0，x0,2的解集为eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(3,2).5函数ycos x，x0,2

11、的图象与直线yeq f(1,4)的交点有_个答案2解析作ycos x，x0,2的图象及直线yeq f(1,4)(图略)，知两函数图象有两个交点1知识清单：(1)通过单位圆画正弦函数图象；(2)通过平移得余弦函数的图象；(3)五点法作图；(4)函数图象的应用2方法归纳：数形结合3常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象1用五点法画y3sin x，x0,2的图象时，下列哪个点不是关键点()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(3,2) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，3) C(，0) D(2，0)答案A解析五个关键点的横坐标依次是0，eq f(,

12、2)，eq f(3,2)，2.2函数ysin(x)，x0,2的简图是()答案B解析由ysin(x)sin x可知，其图象和ysin x的图象关于x轴对称3函数y1sin x，x0,2的图象与直线y2交点的个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析由函数y1sin x，x0,2的图象(如图所示)，可知其与直线y2只有1个交点4在0,2内，不等式sin xeq f(r(3),2)的解集是()A(0，) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(4,3) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(5,3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(5

13、,3)，2)答案C解析画出ysin x，x0,2的草图如下因为sin eq f(,3)eq f(r(3),2)，所以sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(r(3),2)，sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,3)eq f(r(3),2).即在0,2内，满足sin xeq f(r(3),2)的xeq f(4,3)或eq f(5,3).可知不等式sin xeq f(r(3),2)的解集是eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(5,3).故选C.5如图中的曲线对应的函数解析式是()Ay|sin x| Bysin |x|Cysin |

14、x| Dy|sin x|答案C解析排除法，可知C正确6用“五点法”画出y2sin x在0,2内的图象时，应取的五个点为_答案(0,0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，2)，(，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，(2，0)解析可结合函数ysin x的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可7函数ycos x4，x0,2的图象与直线y4的交点的坐标为_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，4)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，4)解析由eq blcrc (avs4alco1(

15、ycos x4，,y4)得cos x0，当x0,2时，xeq f(,2)或eq f(3,2)，交点为eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，4)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，4).8函数y的定义域是_答案x|2kx2k，kZ解析由0知0sin x1，由正弦函数图象(图略)知2kx2k，kZ.9用“五点法”作下列函数的简图(1)y3sin x(x0,2)；(2)ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(xblcrc(avs4alco1(f(,2)，f(5,2).解(1)列表如下：x0eq f(

16、,2)eq f(3,2)23sin x03030描点连线如图：(2)列表如下：xeq f(,2)eq f(3,2)2eq f(5,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)01010描点连线如图：10根据ycos x的图象解不等式：eq f(r(3),2)cos xeq f(1,2)，x0，2解函数ycos x，x0,2的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(,3)xf(5,6)或f(7,6)xf(5,3).11如图所示，函数ycos x|tan x|eq blc(rc)(avs4alco1

17、(0 xf(3,2)且xf(,2)的图象是()答案C解析当0 xeq f(,2)时，ycos x|tan x|sin x；当eq f(,2)x时，ycos x|tan x|sin x；当xeq f(3,2)时，ycos x|tan x|sin x，故其图象为C.12方程sin xeq f(x,10)的根的个数是()A7 B8 C9 D10答案A解析在同一坐标系内画出yeq f(x,10)和ysin x的图象如图所示根据图象可知方程有7个根13函数y2cos x，x0,2的图象和直线y2围成的一个封闭的平面图形的面积是_答案4解析如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个

18、矩形，其面积为224.14函数ysin x2|sin x|在0,2上的图象若与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_，若与直线yk有四个不同的交点，则k的取值范围是_答案1k30k1解析 ysin x2|sin x|eq blcrc (avs4alco1(3sin x，0 x，,sin x，x2，)由题意在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，若有两个不同的交点，则1k3.若有四个不同的交点，则0k1.15已知函数f(x)|sin x|，x2，2，则方程f(x)eq f(1,2)的所有根的和等于()A0 B C D2答案A解析若f(x)eq f(1,2)，即|sin x|eq f(1,2)，则sin xeq f(1,2)或sin xeq f(1,2).因为x2，2，所以方程sin xeq f(1,2)的4个根关于xeq f(,2)对称，则对称的2个根之和为，则4个根之和为2，由对称性可得sin xeq f(1,2)的四个根之和为2.综上，方程f(x)eq f(1,2)的所有根的