2021版数学（新教材）必修 第一册人教A版：第一章 1-4-1

1、14充分条件与必要条件14.1充分条件与必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题知识点充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件思考若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？答案不唯一例如“x1”是“x0”的充分条件，p可以是“x2”“x3”或“2x3”等预习小测自我检验1若条件p：两个三角形相似，

2、q：两个三角形全等，则p是q的_条件答案必要2已知AB，则“xA”是“xB”的_条件答案充分3p：|x|y|，q：xy，则p是q的_条件答案必要解析xy|x|y|，即qp，p是q的必要条件4p：a0，q：ab0，则p是q的_条件答案充分一、充分条件的判断例1(1)下列命题中，p是q的充分条件的是_p：(x2)(x3)0，q：x20；p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；p：m2，q：方程x2xm0无实根答案解析 (x2)(x3)0，x2或x3，不能推出x20.p不是q的充分条件两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，p不是q的充分条件m2，124m2且b2”是“ab4，ab4”的_条

3、件答案充分解析由a2且b2ab4，ab4，是充分条件反思感悟充分条件的判断方法(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成pq问题(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，AB，则p是q的充分条件跟踪训练1“x2”是“x24”的_条件答案充分解析x2x24，故x2是x24的充分条件二、必要条件的判断例2在以下各题中，分析p与q的关系：(1)p：x2且y3，q：xy5；(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形解(1)由于pq，故p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)由于qp，故q是p的充分条件，p是q的必要条件

4、反思感悟(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若pq为真，则p是q的充分条件，若qp为真，则p是q的必要条件(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“xA”，条件乙“xB”，若AB，则甲是乙的必要条件跟踪训练2分析下列各项中p与q的关系(1)p：为锐角，q：45.(2)p：(x1)(x2)0，q：x10.解(1)由于qp，故p是q的必要条件，q是p的充分条件(2)由于qp，故p是q的必要条件，q是p的充分条件三、充分条件与必要条件的应用例3已知p：实数x满足3axa，其中a0；q：实数x满足2x3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范

5、围解p：3axa，即集合Ax|3axaq：2x3，即集合Bx|2x3因为pq，所以AB，所以eq blcrc (avs4alco1(3a2，,a3，,a0)eq f(2,3)a0，所以a的取值范围是eq f(2,3)a0.延伸探究1将本例中条件p改为“实数x满足ax0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围解p：ax3a，即集合Ax|ax3，,a0)a.2将例题中的条件“q：实数x满足2x3”改为“q：实数x满足3x0”其他条件不变，求实数a的取值范围解p：3axa，其中a0，即集合Ax|3axaq：3x0，即集合Bx|3x0因为p是q的充分条件，所以pq，所以AB，所以eq blcrc (

6、avs4alco1(3a3，,a0，,a0)1a0.所以a的取值范围是1a1，q：x1Dp：ab，q：eq r(a)eq r(b)答案A解析根据充分条件的概念逐一判断3“同位角相等”是“两直线平行”的()A充分条件B必要条件C既是充分条件，也是必要条件D既不充分又不必要条件答案C4若“x1”是“xa”的充分条件，则a的取值范围是_答案a1解析因为x1xa，所以a1.5“x22x”是“x0”的_条件，“x0”是“x22x”的_条件(用“充分”“必要”填空)答案必要充分解析由于x0 x22x，所以“x22x”是“x0”的必要条件，“x0”是“x22x”的充分条件1知识清单：(1)充分条件、必要条件

7、的概念(2)充分性、必要性的判断(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系(4)充分条件与必要条件的应用2常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值1使x3成立的一个充分条件是()Ax4 Bx0 Cx2 Dx4x3，其他选项均不可推出x3.2使x1成立的一个必要条件是()Ax0 Bx3 Cx2 Dx1x0，其他选项均不可由x1推出，故选A.3下列p是q的必要条件的是()Ap：a1，q：|a|1Bp：1a1，q：a1Cp：ab，q：ab，q：ab1答案D解析要满足p是q的必要条件，即qp，只有q：ab1q：ab1p：ab，故选D.4下列“若p，则q”形式的命题中，p是q

8、的充分条件的是()A若eq f(1,x)eq f(1,y)，则xy B若x21，则x1C若xy，则eq r(x)eq r(y) D若xy，则x2y2答案A解析B项中，x21x1或x1；C项中，当xy0时，eq r(x)，eq r(y)无意义；D项中，当xyy2，所以B，C，D中p不是q的充分条件5下列命题中，p是q的充分条件的是()Ap：a是无理数，q：a2是无理数Bp：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等Cp：x0，q：x1Dp：ab，q：ac2bc2答案B6下列说法不正确的是_(只填序号)“x5”是“x4”的充分条件；“xy0”是“x0且y0”的充分条件；“2x2”是“x2”的充分条件答

9、案解析中由xy0不能推出x0且y0，则不正确；正确7条件p：5xa，若p是q的充分条件，则a的取值范围是_答案a|a5解析 p：x5，若p是q的充分条件，则pq，也就是说，p对应集合是q对应集合的子集，所以a5.8下列式子：a0b；ba0；b0a；0ba.其中能使eq f(1,a)eq f(1,b)成立的充分条件有_(只填序号)答案解析当a0b时，eq f(1,a)0eq f(1,b)；当ba0时，eq f(1,a)eq f(1,b)0；当b0a时，eq f(1,b)0eq f(1,a)；当0ba时，0eq f(1,a)eq f(1,b)，所以能使eq f(1,a)B，q：BCAC；(2)p：

10、a3，q：(a2)(a3)0；(3)p：ab，q：eq f(a,b)B知BCAC，反之也正确，所以p既是q的充分条件，也是q的必要条件；在(2)中，若a3，则(a2)(a3)0，但(a2)(a3)0不一定a3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；在(3)中，当a2，b1时，eq f(a,b)21；当a2，b1时，eq f(a,b)21，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件10(1)是否存在实数m，使2xm0是x3的充分条件？(2)是否存在实数m，使2xm0是x3的必要条件？解(1)欲使2xm0是x3的充分条件，则只要eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1

11、(xf(m,2)x|x3，即只需eq f(m,2)1，所以m2.故存在实数m2，使2xm0是x3的充分条件(2)欲使2xm0是x3的必要条件，则只要x|x3eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(m,2)，这是不可能的故不存在实数m，使2xm0是x3的必要条件11对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是()A“acbc”是“ab”的必要条件B“acbc”是“ab”的必要条件C“acbc”是“ab”的充分条件D“acbc”是“ab”的充分条件答案B解析“ab”“ab0”“(ab)c0”“acbc”，“acbc”是“ab”的必要条件12已知集合AxR|1

12、x3，BxR|1x2 D2m2答案A解析因为xB成立的一个充分条件是xA，所以AB，所以3m1，即m2.13若Ax|axa2，Bx|x3，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为_答案a|a3，或a3解析 因为A是B的充分条件，所以AB，又Ax|axa2，Bx|x3因此a21或a3，所以实数a的取值范围是a|a3，或a314已知条件p：x3，条件q：xm1(m0)，若条件p是条件q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_答案m|0m2解析由题意，设集合Ax|x3，Bx|m1，因为条件p是条件q的充分不必要条件，即集合A是集合B的真子集，所以eq blcrc (avs4alco1(m11，,m11，,m13，)解得m0，所以实数m的取值范围是0m2.15设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件D丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案A解析因为甲是乙的必要条件，所以乙甲又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙乙，但乙丙，如图综上，有丙甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不