数字信号处理第六章

1、第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 第六章第六章 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计作业：作业：5(2)，9, 10 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 本章思路：本章思路：1.滤波是信号处理中最为重要的方法，数字滤波器与模拟滤波器相比有很多优势2.IIR数字滤波器的设计有两种方法：间接设计法和直接设计法3.间接设计法借助模拟滤波器的设计方法来设计数字滤波器，是本章的重点4.所以本章内容： a.滤波的基本概念 b.模拟滤波器设计 c.模拟滤波器到数字滤波器的设计方法6.1滤波的基本概念滤波的基本概念滤波就是提取输入信号中的有用频率成分，抑制无

2、用频率成分的信号处理过程。所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。所谓数字滤波器设计，就是要找出满足滤波要求的系统所谓数字滤波器设计，就是要找出满足滤波要求的系统的单位脉冲响应的单位脉冲响应h(n)，或者系统的系统函数，或者系统的系统函数H(z).正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重

3、量轻、灵活、不波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。特殊滤波功能。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 傅立叶分析告诉我们，任何波形的时域信号都是由不同频率的正弦信号叠加形成的。通过频域分析我们可以发现该波形是单一频率正弦波调制的双边带信号与宽带噪声干扰的叠加，双边带信号的载波频率为100 Hz，而干扰噪声的频率大于170 Hz第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 滤滤波波器器模拟滤波器模拟滤波器(AF)数字数字滤波滤波器器(DF)经典滤

4、波器经典滤波器根据滤波特性来分：根据滤波特性来分：低通；高通；带通；带阻低通；高通；带通；带阻 (理想滤波器是不可实现的理想滤波器是不可实现的,只能在一定程度上去逼近只能在一定程度上去逼近)从单位脉冲响应长度来分：从单位脉冲响应长度来分：IIR-DF；FIR-DF现代滤波器现代滤波器寻找在某种准则下的最优解寻找在某种准则下的最优解维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器器从对信号处理的作用来分：从对信号处理的作用来分：选频；其他选频；其他第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 2 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标常用的数字滤波器一般

5、属于选频滤波器。假设数常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的频率响应函数字滤波器的频率响应函数H(ej)用下式表示：用下式表示： H(ej)=|H(ej)|ej()式中，式中，|H(ej)|称为幅频特性函数称为幅频特性函数; ()称为相频特性函称为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器特性相

6、同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。输出的信号波形也是不一样的。1. p和和s分别称为通带边界频率和阻带截止频率。分别称为通带边界频率和阻带截止频率。2. 从从p到到s称为过渡带，过渡带上的频响一般是单调下降的称为过渡带，过渡带上的频响一般是单调下降的3. 通带频率范围为通带频率范围为0|p，在通带中要求，在通带中要求(11)|H(ej)|1，阻带频率范围为，阻带频率范围为s|，在阻带中要求，在阻带中要求|H(ej)|2。pj0pj(e )20lgdB(e)HHsj0sj(e )20lgdB(e)HH4.当幅度下降到当幅度下降到 时，标记时，标记=c，此时，此时

7、 dB，称，称c为为3 dB通带截止频率。对其他类型的滤波器，通带截止频率。对其他类型的滤波器，(6.1.3b)式和式和(6.1.4b)式中的式中的H(ej0)应改成应改成2/23p)(0jeH第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 片段常数特性：片段常数特性： 对于选频型滤波器，一般对通带和对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数片段常数特性特性”。所谓片段，是指。所谓片段，是指“通带通带”和和“阻带阻

8、带”，常数是，常数是指指“通带波纹幅度通带波纹幅度1”和和“阻带波纹幅度阻带波纹幅度2”，而通带最，而通带最大衰减大衰减 p和阻带最小衰减和阻带最小衰减 s是与是与1和和2完全等价的两个常完全等价的两个常数。片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，数。片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，尤其有助于理解尤其有助于理解IIR数字滤波器的双线性变换设计思想。数字滤波器的双线性变换设计思想。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗函数法、滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。频率采

9、样法和切比雪夫等波纹逼近法。3 数字滤波器设计方法概述数字滤波器设计方法概述IIR滤波器设计方法有间接法和直接法滤波器设计方法有间接法和直接法间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的其设计步骤是：其设计步骤是： 先设计过渡模拟滤波器得到系统函数先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系按某种方法转换成数字滤波器的系统函数统函数H(z)。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 IIR数字滤波器的设计方法间接设计法（从模拟滤波器设计IIR数字滤波器）直接设计法脉冲响应不变法双线性变

10、换法零极点累试法频域逼近法时域逼近法第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)滤波器滤波器:具有单调下降的幅频特性；具有单调下降的幅频特性；切比雪夫型(Chebyshev)滤波器：通带内有等波纹幅频特性函数，阻带内有单调下降的幅频特性函数。切比雪夫型(Chebyshev)滤波器：阻带内有等波纹幅频特性函数，通带内有单调下降的幅频特性函数。椭圆椭圆(Ellipse)滤滤波器波器:选择性是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特选择性是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍

11、严重。性，相位特性的非线性也稍严重。贝塞尔贝塞尔(Bessel)滤波器滤波器:通带内有较好的线性相位特性；通带内有较好的线性相位特性；第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 图图6.2.1 各种理想模拟滤波器幅频特性各种理想模拟滤波器幅频特性 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 6.2.1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法本书中，分别用本书中，分别用ha(t)、a(s)、Ha(j)表示模拟滤波表示模拟滤波器的单位冲激响应、系统函数、频率响应函数，三者的器的单位冲激响应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下：关系如

12、下： 可以用可以用ha(t)、Ha(s)、Ha(j)中任一个描述模拟滤波器，中任一个描述模拟滤波器，也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。但是设也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。但是设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数|Ha(j)|给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数数Ha(s)。aaajaaa( )LT( )( )ed(j)FT( )( )edsttHsh th ttHh th tt第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 2aa()20lg(j)10

13、lg(j) dB AHH损耗函数的优点是对幅频响应损耗函数的优点是对幅频响应|Ha(j)|的取值非线性压缩，的取值非线性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。直接画出的损耗函数曲线图正好与幅频特性曲线变化情况。直接画出的损耗函数曲线图正好与幅频特性曲线形状相反，所以，习惯将形状相反，所以，习惯将A()曲线称为损耗函数曲线称为损耗函数第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 2pap10lg|(j)|H 2sas10lg|(j)|H )1lg(201p2slg20第六章第六章 IIRIIR数字滤波

14、器的设计数字滤波器的设计 图 低通滤波器指标示意图用数学方法描述低通滤波器的指标如下：通带内(0|p),paajHjH)0()(lg20()aHj 2()lg()asaHjHj 200阻带内(s|), 111)(1jHaps通带最大衰减阻带最小衰减当2()1/2acHj时1( 0)20lg3()aacHjdBHj第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 如果能由如果能由 p、p、 s和和s求出求出|Ha(j)|2，那么就可以求，那么就可以求出出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要的，由此可求出所需要的Ha(s)。 )j ()j (| )()(| )j (|*aajaa2aH

15、HsHsHHs(6.2.6)2a16|(j )|H2 222（25-）(49+)(36+)222aaa16( )()(j )ssHs HsHs 2 222（25+ ）(49-s )(36)极点：极点：零点：零点：7, 65j二阶a4( )6sHss2（25+ ）(s+7)()第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 6.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的设计1 巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下用下式表示：式表示： (6.2.7)式中，式中，N称为滤

16、波器的阶数。当称为滤波器的阶数。当=0时，时，|Ha(j)|=1； =c时，时， ，c是是3 dB截止频率。在截止频率。在=c附近，随附近，随加大，幅度迅速下降。加大，幅度迅速下降。 NH2c2a11| )j (|2/1| )(|jHa第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 幅度特性与幅度特性与和和N的关系如图的关系如图6.2.4所示。幅度下降所示。幅度下降的速度与阶数的速度与阶数N有关，有关，N愈大，通带愈平坦，过渡带愈愈大，通带愈平坦，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快, 总的频响特总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。性与理

17、想低通滤波器的误差愈小。以以s替换替换j，将幅度平方函数，将幅度平方函数|Ha(j)|2写成写成s的函数：的函数： (6.2.8)NssHsH2caaj11)()(22()NNcsj 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 (6.2.9)式中，式中，k=0，1，2，2N-1。)21221(jcc21e)j () 1(NkNks第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 1. S平面上有平面上有2N个极点等角距分布在半径为个极点等角距分布在半径为c的圆的圆上，上，2. 极点对称于实轴和虚轴，虚轴上无极点，极点对称于实轴和虚轴，虚轴上无极点，N为奇为奇数时实轴上

18、有极点数时实轴上有极点, N为偶数时实轴上没有为偶数时实轴上没有 极点极点3. 各极点之间的角距为各极点之间的角距为Ncaaa210c1( )()( )()1jNNNkkHs HsHssss第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 (6.2.11) 令令p=+j=s/c，=/c，称为归一化频率，称为归一化频率， p称为归称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为系统函数为 (6.2.12)a1c0cc1NkksGss10a)(1)(NkkpppG第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 式中，

19、式中，pk=sk/c, 为归一化极点，用下式表示：为归一化极点，用下式表示： (6.2.13)显然显然, 这样，只要根据技术指标求出阶数这样，只要根据技术指标求出阶数N，按照，按照(6.2.13)式求式求出出N个极点，再按照个极点，再按照(6.2.12)式得到归一化低通原型系统式得到归一化低通原型系统函数函数Ga(p)，如果给定，如果给定c，再去归一化，即将，再去归一化，即将p=s/c代入代入Ga(p)中中(或由或由(6.2.14)式求出式求出sk=cpk)，便得到期望设计的，便得到期望设计的系统函数系统函数Ha(s)。110 e21221j,N, ,kpNkkckksp(6.2.14)第六章

20、第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 将极点表示式将极点表示式(6.2.13)代入代入(6.2.12)式，得到式，得到Ga(p)的的分母是分母是p的的N阶多项式，用下式表示：阶多项式，用下式表示： （6.2.15）归一化原型系统函数归一化原型系统函数Ga(p)的系数的系数bk，k=0，1，N1，以及极点，以及极点pk，可以由表，可以由表6.2.1得到。另外，表中还给得到。另外，表中还给出了出了Ga(p)的因式分解形式中的各系数，这样只要求出的因式分解形式中的各系数，这样只要求出阶数阶数N，查表可得到，查表可得到Ga(p)及各极点及各极点, 而且可以选择级联而且可以选择级联型和直

21、接型结构的系统函数表示形式，避免了因式分解型和直接型结构的系统函数表示形式，避免了因式分解运算工作。运算工作。a1212101( )NNNNNGppbpbpb pb第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 表表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 1) 计算阶数N和3 dB截止频率c的公式并考虑巴特沃斯滤波器的单调下降特性(边界频率点若满足指标，则其他频率点必然满足要求。)以及H(j0)=1，可以得到 由于巴特沃斯滤波器的幅度

22、平方函数为 22)(lg10)(lg20)(lg10)(lg20sasaspapapjHjHjHjHNcajH22)(11)(第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 因此 上式两边取指数得到：)(1lg10)(lg10)(1lg10)(lg102222NcSsasNcppapjHjH0.120.120.120.12101 ()101 ()()101()101pspspNcNscpNcNsc 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 两式相除消去c, 得到只有一个未知量N的方程：令 则 sp/10s/10p101101Nssppsp/10sp/1010110

23、1kspsplglgkN 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 用上式求出的用上式求出的N可能有小数部分，应取大于可能有小数部分，应取大于或等于或等于N的最小整数。关于的最小整数。关于3 dB截止频率截止频率c，如，如果技术指标中没有给出，可以按照果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.16)式或式或(6.2.17)式求出。由式求出。由(6.2.16)式得到：式得到： (6.2.19) N211 . 0pc) 110(p由由(6.2.17)式得到：式得到：(6.2.20)N211 . 0sc) 110(s第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 请注意，

24、如果采用请注意，如果采用(6.2.19)式确定式确定c，则通带指标刚好，则通带指标刚好满足要求，阻带指标有富余；满足要求，阻带指标有富余； 如果采用如果采用(6.2.20)式确定式确定c，则阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余。，则阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余。总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1) 根据技术指标根据技术指标p、 p、s和和 s，用，用(6.2.18)式式求出滤波器的阶数求出滤波器的阶数N。(2) 按照按照(6.2.13)式，求出归一化极点式，求出归一化极点pk，将，将pk代入代入(6.2.12)式，得到归一化低

25、通原型系统函数式，得到归一化低通原型系统函数Ga(p)。也可。也可以根据阶数以根据阶数N直接查表直接查表6.2.1得到得到pk和和Ga(p)。 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 (3) 将将Ga(p)去归一化。将去归一化。将p=s/c代入代入Ga(p)，得到，得到实际的滤波器系统函数实际的滤波器系统函数这里这里c为为3 dB截止频率，如果技术指标没有给出截止频率，如果技术指标没有给出c，可以按照可以按照(6.2.19)式或式或(6.2.20)式求出。式求出。【例例6.2.1】 已知通带截止频率已知通带截止频率fp=5 kHz，通带，通带最大衰减最大衰减 p=2 dB，

26、阻带截止频率，阻带截止频率fs=12 kHz，阻带，阻带最小衰减最小衰减 s=30 dB，按照以上技术指标设计巴特沃，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。斯低通滤波器。c| )()(asppGsH第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 解解 (1) 确定阶数确定阶数N。sp0.1sp0.1sspp10141.322310122.42lg41.32234.25lg2.4kffN取取N=5第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 (2) 按照按照(6.2.13)式，其极点为式，其极点为按照按照(6.2.12)式，归一化低通原型系统函数为式，归一化低通原型系

27、统函数为上式分母可以展开成五阶多项式，或者将共轭极点放在上式分母可以展开成五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解式。这里不如直接查表一起，形成因式分解式。这里不如直接查表6.2.1简单，简单，由由N=5直接查表得到：直接查表得到： 57j456j3j254j153j0e ee eeppppp，40a)(1)(kkpppG第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 极点：极点：0.3090j0.9511， 0.8090j0.5878, 1.0000归一化低通原型系统函数为归一化低通原型系统函数为式中式中, b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3

28、=5.2361，b4=3.2361分母因式分解形式为分母因式分解形式为以上公式中的数据均取小数点后四位。以上公式中的数据均取小数点后四位。012233445a1)(bpbpbpbpbppG) 1)(16180. 1)(16180. 0(1)(22appppppG第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 (3) 为将为将Ga(p)去归一化，先求去归一化，先求3 dB截止频率截止频率c。按照按照(6.2.19)式，得到：式，得到： 将将c代入代入(6.2.20)式，得到式，得到:10.12cp(101)2 5.2755 krad/spN s10.12sc(101)2 10.525

29、 krad/sN第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 此时算出的此时算出的比题目中给的比题目中给的s小，因此，过渡小，因此，过渡带小于指标要求。或者说，在带小于指标要求。或者说，在s=212 krad/s时衰减时衰减大于大于30 dB，所以说阻带指标有富余量。，所以说阻带指标有富余量。将将p=s/c代入代入Ga(p)中中, 得到：得到： s5c04c123c232c34c455ca)(bsbsbsbsbssH第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 2. 用用MATLAB工具箱函数设计巴特沃斯滤波器工具箱函数设计巴特沃斯滤波器 MATLAB信号处理工具箱

30、函数buttap, buttord和butter是巴特沃斯滤波器设计函数。其5种调用格式如下。1） Z，P, K=buttap(N)该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化（3 dB截止频率c=1）模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子。返回长度为N的列向量Z和P，分别给出N个零点和极点的位置，K表示滤波器增益。得到的系统函数为如下形式: （6.2.21）a(pZ(1)(pZ(2)(pZ(N)G (p)K(pP(1)(pP(2)(pP(N)第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 式中，Z(k)和P(k)分别为向量Z和P的第k个元素。如果要从计算得到的零、极点得到系统函数的分

31、子和分母多项式系数向量B和A,可以调用结构转换函数B, A=zp2tf(Z, P, K)。2） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As)该格式用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3 dB截止频率wc。调用参数wp和ws分别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频率的归一化值，要求0wp1，0ws1, 1表示数字频率（对应模拟频率Fs/2，Fs表示采样频率）。Rp和As分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（dB）。当wswp时，为高通滤波器； 当wp和ws为二元矢量时，为带通或带阻滤波器，这时wc也是二元向量。N和wc作为butter函数的调用参数。第六章第六章 IIRIIR数字滤

32、波器的设计数字滤波器的设计 3） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As, s) 该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3 dB截止频率wc。wp、ws和wc是实际模拟角频率（rad/s）。其他参数与格式2）相同。4） B, A=butter(N, wc, ftype)计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量B和A。调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3 dB截止频率的归一化值（关于归一化），一般按格式2）调用函数buttord计算N和wc。由系数向量B和A可以写出数字滤波器系统函数： 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器

33、的设计 式中，B(k)和A(k)分别为向量B和A的第k个元素。5） B, A=butter(N, wc, ftype, s)计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式的系数向量B和A。调用参数N和wc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3 dB截止频率（实际角频率）。由系数向量B和A写出模拟滤波器的系统函数为（6.2.23）（6.2.22）1(N 1)N1(N 1)NB(z)B(1)B(2)zB(N)zB(N1)zH(z)A(z)A(1)A(2)zA(N)zA(N1)zNN 1aNN 1B(s)B(1)sB(2)sB(N)sB(N 1)H (s)A(s)A(1)sA(2)sA(N)sA(N

34、1)第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 由于高通滤波器和低通滤波器都只有一个3 dB截止频率wc，因此仅由调用参数wc不能区别要设计的是高通还是低通滤波器。当然仅由二维向量wc也不能区分带通和带阻。所以用参数ftype来区分。ftype=high时，设计3 dB截止频率为wc的高通滤波器。缺省ftype时默认设计低通滤波器。ftype=stop时，设计通带3 dB截止频率为wc的带阻滤波器，此时wc为二元向量wcl, wcu，wcl和wcu分别为带阻滤波器的通带3 dB下截止频率和上截止频率。缺省ftype时设计带通滤波器，通带为频率区间wclwcu。应当注意，设计的带

35、通和带阻滤波器系统函数是2N阶的。这是因为带通滤波器相当于N阶低通滤波器与N阶高通滤波器级联。 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 （6.2.21）、（6.2.22）和（6.2.23）式也适用于后面要介绍的切比雪夫和椭圆滤波器的MATLAB设计函数。【例例6.2.2】 调用buttord和butter设计巴特沃斯低通模拟滤波器。要求与例6.2.1相同。设计程序ep622.m如下: wp=2*pi*5000; ws=2*pi*12000; Rp=2; As=30; %设置滤波器参数N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); %计算滤波器阶数N和3

36、dB截止频率B, A=butter(N, wc, s); %计算滤波器系统函数分子分母多项式系数第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 k=0:511; fk=0:14000/512:14000; wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B, A, wk); subplot(2, 2, 1); plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk); grid onxlabel(频率(kHz); ylabel(幅度(dB)axis(0, 14, -40, 5)运行结果: N=5，wc=3.7792e+004，B=7.7094e+022A =11.2230e+0057

37、.4785e+0092.8263e+0146.6014e+0187.7094e+022第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 将B和A代入（6.2.23）式写出系统函数为与例6.2.1计算结果形式相同。滤波器的损耗函数曲线如图6.2.6所示。由图可以看出，阻带刚好满足指标要求，通带指标有富余。这就说明buttord函数使用（6.2.20）式计算3 dB 截止频率。a5432BH (s)sA(2)sA(3)sA(4)sA(5)sA(6)第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 图6.2.6 程序ep622.m运行输出的损耗函数(例6.2.1的设计结果)第六章

38、第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 6.2.3 切比雪夫滤波器的设计切比雪夫滤波器的设计1 切比雪夫滤波器的设计原理切比雪夫滤波器的设计原理巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带还是阻带都是频率的单调减函数。因此，当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有较大富余量。因此，更有效的设计方法应该是将逼近精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时均匀分布在两者之内。这样，就可以使滤波器阶数大大降低。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 切比雪夫滤波器的幅频特性就具有这种等波纹特性。它有两种形

39、式： 振幅特性在通带内是等波纹的、在阻带内是单调下降的切比雪夫型滤波器； 振幅特性在通带内是单调下降、在阻带内是等波纹的切比雪夫型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图6.2.7(a)和(b)分别画出不同阶数的切比雪夫型和型滤波器幅频特性。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 图6.2.7 不同阶数的切比雪夫型和型滤波器幅频特性 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 2. 用MATLAB设计切比雪夫滤波器MATLAB信号处理工具箱函数cheb1ap，cheb1ord和cheby1是切比雪夫型滤波器设计函数。其调用格式如下: 1） z,

40、 p, k= cheb1ap(N, Rp)2） N, wpo= cheb1ord(wp, ws, Rp, As)3） N, wpo= cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s)4） B, A= cheby1(N, Rp, wpo, ftype)5） B, A= cheby1(N, Rp, wpo, ftype, s)第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 【例例6.2.3】 设计切比雪夫型和切比雪夫型模拟低通滤波器。要求与例6.2.2相同。 解解 设计程序ep623.m如下: 例6.2.3设计程序: ep623.m设计切比雪夫型模拟低通滤波器wp=2*pi*30

41、00; ws=2*pi*12000; Rp=0.1; As=60; 设置指标参数N1, wp1=cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s); 计算切比雪夫型模拟低通滤波器阶数和通带边界频率B1, A1=cheby1(N1, Rp, wp1, s); 计算切比雪夫型模拟低通滤波器系统函数系数第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 subplot(2, 2, 1); fk=0:12000/512:12000; wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B1, A1, wk); plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk); grid onxlabel

42、(频率(kHz); ylabel(幅度(dB)axis(0, 12, -70, 5)第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 运行结果: N=5切比雪夫型模拟低通滤波器通带边界频率: wp1 =1.8850e+004切比雪夫型模拟低通滤波器系统函数分子分母多项式系数: B=1.2187e+011A = 1 3.2873e+004 9.8445e+008 1.6053e+013 1.8123e+017 9.7448e+020 滤波器损耗函数如图6.2.9所示。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 图6.2.9 五阶切比雪夫型模拟低通滤波器损耗函数 （例6.

43、2.3的设计结果 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 6.2.4 椭圆滤波器的设计椭圆滤波器的设计椭圆（Elliptic）滤波器在通带和阻带内都具有等波纹幅频响应特性。由于其极点位置与经典场论中的椭圆函数有关，所以由此取名为椭圆滤波器。又因为在1931年考尔（Cauer）首先对这种滤波器进行了理论证明，所以其另一个通用名字为考尔（Cauer）滤波器。椭圆滤波器的典型幅频响应特性曲线如图6.2.10所示。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 由图6.2.10(a)可见，椭圆滤波器通带和阻带波纹幅度固定时，阶数越高, 过渡带越窄； 由图6.2.10(b

44、)可见，当椭圆滤波器阶数固定时，通带和阻带波纹幅度越小, 过渡带就越宽。所以椭圆滤波器的阶数N由通带边界频率p、阻带边界频率s、通带最大衰减 p和阻带最小衰减 s共同决定。后面对五种滤波器的比较将证实，椭圆滤波器可以获得对理想滤波器幅频响应的最好逼近，是一种性能价格比最高的滤波器，所以应用非常广泛。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 图6.2.10 椭圆滤波器幅频响应特性曲线第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 椭圆滤波器逼近理论是复杂的纯数学问题，该问题的详细推导已超出本书的范围。只要给定滤波器指标，通过调用MATLAB信号处理工具箱提供的椭圆滤

45、波器设计函数，就很容易得到椭圆滤波器系统函数和零极点位置。MATLAB信号处理工具箱提供椭圆滤波器设计函数ellipap、 ellipord和ellip。其调用格式如下: 1） z, p, k= ellipap(N, Rp, As)用于计算N阶归一化（通带边界频率wp=1）模拟低通椭圆滤波器的零点向量z、极点向量p和增益因子k。Rp和As分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（dB）。返回长度为N的列向量z和p分别给出N个零点和N个极点的位置。 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 2） N, wpo= ellipord(wp, ws, Rp, As)用于计算满足指标的椭圆数字

46、滤波器的最低阶数N和通带边界频率wpo，指标要求由参数(wp, ws, Rp, As)给定。参数(wp, ws, Rp, As)的定义与巴特沃思滤波器设计函数buttord中的相应参数相同。3） N, wpo= ellipord(wp, ws, Rp, As, s) 用于计算满足指标的椭圆模拟滤波器的最低阶数N和通带边界频率wpo。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 4） B, A= ellip(N, Rp, wpo, ftype)当wpo是表示滤波器通带边界频率的标量，而且缺省参数ftype时，该格式返回N阶低通椭圆数字滤波器系统函数的分子和分母多项式系数向量B和A，

47、滤波器通带波纹为Rp dB； 当ftype=high时，返回N阶高通椭圆数字滤波器系统函数系数向量B和A。当wpo是表示带通滤波器通带边界频率的二元向量，而且缺省参数ftype时，该格式返回2N阶带通椭圆数字滤波器系统函数的分子和分母多项式系数向量B和A，滤波器通带波纹为Rp dB。当ftype=stop时，返回2N阶带阻椭圆数字滤波器系统函数系数向量B和A。二元向量参数wpo表示阻带上下边界频率。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 5） B, A= ellip(N, Rp, wpo, ftype, s) 计算椭圆模拟滤波器系统函数系数向量B和A。当然，其中的边界频率均

48、为实际模拟角频率值（rad/s）。 【例例6.2.4】 设计椭圆模拟低通滤波器。要求与例6.2.2相同。设计程序ep624.m如下: % 椭圆滤波器设计程序wp=2*pi*3000; ws=2*pi*12000; Rp=0.1; As=60; %设置指标参数N, wpo=ellipord(wp, ws, Rp, As, s); %计算椭圆低通模拟滤波器阶数和通带边界频率B, A=ellip(N, Rp, As, wpo, s); 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 %计算低通模拟滤波器系统函数系数省去以下绘图部分运行结果: 椭圆模拟低通滤波器阶数: N=4模拟低通滤波器

49、通带边界频率: wpo=1.8850e+004椭圆模拟低通滤波器系统函数分子分母多项式系数: B=0.0010 8.3913e015 2.9126e+007 8.0051e004 1.0859e+017A= 1 3.3792e+004 9.3066e+008 1.3646e+013 1.0984e+017第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 滤波器损耗函数如图6.2.11所示。虽然本例中椭圆滤波器阶数是4，但从图6.1.11可以看出，四阶椭圆模拟低通滤波器的过渡带宽度小于7 kHz，比指标要求（9 kHz）窄2 kHz。 而例6.2.3中需要五阶切比雪夫模拟低通滤波器，且

50、其过渡带宽度大于7 kHz。对于本例的设计指标，如果用巴特沃斯模拟低通滤波器，计算所要求的阶数N=7。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 图6.2.11 四阶椭圆模拟低通滤波器损耗第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 6.2.5 五种类型模拟滤波器的比较五种类型模拟滤波器的比较 前面讨论了四种类型的模拟低通滤波器（巴特沃思、切比雪夫型、切比雪夫型和椭圆滤波器）的设计方法，这四种滤波器是主要考虑逼近幅度响应指标的滤波器，第五种（贝塞尔滤波器）是主要考虑逼近线性相位特性的滤波器。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 当阶数相同时，

51、对相同的通带最大衰减 p和阻带最小衰减s，巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，比巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。切比雪夫型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带是等波纹幅频特性。椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 相位逼近情况: 巴特沃思和切比雪夫滤波器在大约3/4的通带上非常接近线性相位特性，而椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性。贝塞尔滤波

52、器在整个通带逼近线性相位特性，而其幅频特性的过渡带比其他四种滤波器宽得多。复杂性: 在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特沃思滤波器阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 6.2.6 频率变换与高通、 带通、 带阻滤波器的设计 由于经典的模拟低通滤波器的设计资料（公式、图表）非常成熟，以前在设计模拟滤波器时，常先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成需要的滤波器类型（高通、带通、带阻）。 第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤

53、波器的设计 |HHP(j)|10.50sp图 高通滤波器高通、带通、 带阻滤波器概念及其指标参数。( )( )|ppHHPpsHsG p1p归一化通带边界频率第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 图 带通滤波器|HBP(j)|10.50plslphsh220( )( )|pwBPspsBHsG pwphplB 20plphslsh 通带宽度中心频率1p归一化通带边界频率第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 图 带阻滤波器|HBS(j)|10.50plslshph220( )( )|wpBSsBpsHsG pwshslB 20plphslsh 通带宽度

54、中心频率1p归一化通带边界频率第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 由于计算机的发展，现在可以不采用频率变换的方法，由于计算机的发展，现在可以不采用频率变换的方法，直接应用直接应用Matlab工具箱设计模拟滤波器（低通、高通、带工具箱设计模拟滤波器（低通、高通、带通和带阻）。通和带阻）。第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 6.3 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 给定一个数字滤波器的技术指标，要求设计数字滤波器：1.首先将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标2.设计相应的模拟滤波器，得到系统函数Ha(s)3.将模拟滤波器的系统函数H

55、a(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 从模拟滤波器（从模拟滤波器（AF）设计数字滤波器（）设计数字滤波器（DF）确定需要设计的数字滤波器的H(z)指标设计相应的模拟滤波器的系统函数Ha(s)选择合适的的数字滤波器设计方法(脉冲响应不变法、双线性变换法)，将DF指标转换成相应的AF指标用选择的设计方法(脉冲响应不变法、双线性变换法) ，将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 由模拟变换到数字的映射必须满足两条基 本 要 求：因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(

56、z).为 保 持 滤 波 器 稳 定 性，S 平 面 的 左 半 平 面 必 须 映 射 到Z 平 面 的 单 位 圆 内， 即Res0 |z|1H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应。S 平 面 的 虚 轴 j 必 须 映 射 到 Z 平 面 的 单 位 圆上，相应的频率之间呈线性关系。由模拟滤波器设计数字滤波器条件由模拟滤波器设计数字滤波器条件0Sz- 110Sz- 11第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 转换方法介绍两种：脉冲响应不变法，双线性变换法转换方法介绍两种：脉冲响应不变法，双线性变换法学习这两种转换方法，着重分析如下几点1.从Ha(s)到H(z)

57、的公式2.分析这种转换方法的性能 (1)是否实现模拟因果稳定到数字因果稳定转换 (2)模拟系统虚轴是否转换到数字系统单位圆 (3)得到的数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应的相似程度3.优点和缺点第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 脉冲响应不变法脉冲响应不变法第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 为了简化推导，设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点sk(k=1, 2, , N), 且分母多项式阶次高于分子多项式阶次，则Ha(s)可以用如下部分分式表示：(1) 对Ha(s)拉氏逆变换，求得单位冲激响应ha(t): NkkkassAsH1)( )(

58、)kNs takkh tA e u t1第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 (2) 对ha(t)采样得到数字滤波器单位脉冲响应h(n): (3) 对h(n)进行Z变换得到数字滤波器系统函数H(z): ( )()()()( )kkNNs nTs Tnakkkkh nh nTA eu nTA eu n11( )()( )kkNNs Tnnkks TnkkAH zA eu n zez 1111111( )( )1(kNNkkas TkkkAAHssH zssezz平面）（ 平面）NkkkassAsH1)( )( )kNs takkh tA e u t1第六章第六章 IIRII

59、R数字滤波器的设计数字滤波器的设计 nnTtthth)()()(aa nsnTstnstnThtnTtthdtthsHe )(de)()(e )()(aaaasTsTznznnsnTzHznhnhsHeea| )(|)(e )()(上式表明理想采样信号的拉氏变换与相应的采样序列上式表明理想采样信号的拉氏变换与相应的采样序列h(n)的的Z变换之间的映射关系可用下式表示：变换之间的映射关系可用下式表示：sTez )(ath设s=+j, z=rej, 则rej=e (+j)T= eT ejT所以r=eT =T表明，数字频率与模拟频率之间是线性关系，这是脉冲响应不变法的优点之一。 =0时，r=1，s平

60、面的虚轴映射为z平面的单位圆；0时，r1, s平面的左半映射为z平面的单位圆内； 0时，r1，s平面的右半映射为z平面的单位圆外。sTze分析脉冲响应不变法的性能分析脉冲响应不变法的性能第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 () ()aakkHjHjTT 12kajTkjHTeH)2(1)()()jM TsTjTTj TTTzeeeeeeM 2为整数第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 数字滤波器的频率响应增益随T变化，特别是T很小时增益很大，容易造成溢出，所以，工程实际中采用以下实用公式： h(n)=Tha(nT)这时 NkTskzeTAzHk11