弧长与面积公式

1、知识回顾知识回顾rop圆的周长公式圆的周长公式圆的面积公式圆的面积公式C=2rS=r2 在田径二百米比赛中，每位运动员的位置（如图所示），在田径二百米比赛中，每位运动员的位置（如图所示），他们的起跑点不在同一处，为什么？（提示：每位运动员弯路他们的起跑点不在同一处，为什么？（提示：每位运动员弯路的展直长度相同吗？）的展直长度相同吗？）创设情境创设情境 引入新课引入新课不同不同 小明想将扇子的边缘贴上金纸，金纸需要多长呢？扇面的面积是多少呢？创设情境创设情境 引入新课引入新课解解:圆心角圆心角900铁轨长度是圆周长的铁轨长度是圆周长的41则铁轨长是则铁轨长是米50100241如图是圆弧形状的铁轨

2、示意图，其中铁轨如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为的半径为100米，圆心角为米，圆心角为90你能求你能求出这段铁轨的长度吗出这段铁轨的长度吗?问题情景问题情景：图 23.3.1 上面求的是的圆心角上面求的是的圆心角900所对的弧长，若所对的弧长，若圆心角为圆心角为n0，如何计算它所对的弧长呢？，如何计算它所对的弧长呢？ 思考：思考：请同学们计算半径为请同学们计算半径为 r，圆心角分别为，圆心角分别为1800、900、450、n0所对的弧长。所对的弧长。图 23.3.2 问题探究问题探究：圆心角占整个周角的圆心角占整个周角的3601803609036045360n所对弧长是所对弧长是r

3、2360180r236090r236045rn2360图 2 3 .3 .2 图 2 3 .3 .2 图 2 3 .3 .2 图 2 3 .3 .2 弧长公式弧长公式如果弧长为如果弧长为l，圆心角度数为，圆心角度数为n，圆的半，圆的半径为径为r，那么，弧长的计算公式为：，那么，弧长的计算公式为：1802360rnrnl已知圆弧的半径为已知圆弧的半径为50厘米，圆心角厘米，圆心角为为60，求此圆弧的长度。，求此圆弧的长度。1802360rnrnl=350cm答：此圆弧的长度为答：此圆弧的长度为350cm跟踪训练跟踪训练1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧长为_ _.2.已知一条弧的半径

4、为9，弧长为 ，那么这条弧所对的圆心角为_ _.3.750的圆心角所对的弧长为 ，则此弧所在圆的半径是 cm.4.钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( )A. B. C . D. 跟踪训练跟踪训练例例1、制造弯形管道时，要先按中心线计算、制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直展直长度长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：单位：mm，精确到，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧解：由弧长公式，可得弧AB 的长的长l l （mm） 1570500180900100因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 L （

5、mm） 297015707002答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为2970mm 如下图，由组成圆心角的两条如下图，由组成圆心角的两条半径半径和和圆心角所对的圆心角所对的弧弧围成的图形是围成的图形是扇形扇形。半径半径半径半径OOB BA A圆心角圆心角弧弧OOB BA A扇形扇形精讲点拨精讲点拨请类比研究弧长公式的方法推导出扇形的请类比研究弧长公式的方法推导出扇形的面积公式。面积公式。若设若设O O半径为半径为R R， n n的圆心角所的圆心角所对的扇形面积为对的扇形面积为S S，则，则 3602RnS扇形ABO扇形面积公式扇形面积公式圆心角占整个周角的圆心角占整个周角的360180360

6、9036045360n所对扇形面积是所对扇形面积是图 2 3 .3 .2 图 2 3 .3 .2 图 2 3 .3 .2 图 2 3 .3 .2 2360180r236090r236045r2360rnABO若设若设O O半径为半径为R R， n n的圆心角所对的圆心角所对的扇形面积为的扇形面积为S S，则，则 3602RnS扇形扇形面积公式扇形面积公式已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为120120, ,半径为半径为2 2，则这个扇形的面积为多少？则这个扇形的面积为多少？2360n RS扇形2120243603答：此扇形的面积为答：此扇形的面积为ABO跟踪训练跟踪训练跟踪训练跟踪训练（1）已

7、知扇形的圆心角为120，半径为2，则这个扇形的面积为_ _ （2）已知半径为2的扇形，面积为 ，则它的圆心角的度数为 .（3）已知扇形面积为 ，圆心角为60，则这个扇形的半径R=_ _ _34问题问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？：扇形的面积公式与什么公式类似？ lRS21扇形3602RnS扇形180Rnl精讲点拨精讲点拨RRnRRnS180212180扇形lR21ahS21已知扇形的半径为已知扇形的半径为3cm,3cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cm,cm,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2

8、, ,lRS21扇形解：2332123跟踪训练跟踪训练例例2 2：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是半径是0.6cm0.6cm，其中水面高，其中水面高0.3cm0.3cm，求截面上有水，求截面上有水部分的面积。（精确到部分的面积。（精确到0.01cm0.01cm）。）。0 0B BA AC CD D弓形的面积弓形的面积 = S= S扇扇- S- S提示：要求的面积，可提示：要求的面积，可以通过哪些图形面积的以通过哪些图形面积的和或差求得和或差求得例题精析例题精析变式：变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是

9、面半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9cm，求截面，求截面上有水部分的面积。（精确到上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。）。0ABDCE弓形的面积弓形的面积 = S扇扇+ S S弓形弓形=S扇形扇形-S三角形三角形 S弓形弓形=S扇形扇形+S三角形三角形规律提升规律提升00 0弓形的面积是扇形的面积与三角形弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差面积的和或差通过本节课的学习，通过本节课的学习，我知道了我知道了学到了学到了感受到了感受到了体会分享体会分享当堂检测当堂检测C C、D D为半圆的三等分点，直径为半圆的三等分点，直径在在ABAB40cm40cm，求阴影部分的面积，求阴

10、影部分的面积ABCDO拓展延伸拓展延伸1 1、正方形的边长为，求阴影部分的面积、正方形的边长为，求阴影部分的面积拓展延伸拓展延伸2、正方形的边长为，求阴影部分的面积、正方形的边长为，求阴影部分的面积拓展延伸拓展延伸第1课时 弧长和扇形面积拓展延伸拓展延伸拓展延伸拓展延伸1 1、 图图24244 47 7中的粗线中的粗线CDCD表示某条公路的一段，表示某条公路的一段，其中其中AmBAmB是一段圆弧，是一段圆弧，ACAC，BDBD是线段，且是线段，且ACAC，BDBD分别分别与圆弧与圆弧 相切于点相切于点A A，B B，线段，线段ABAB180 180 m m，ABDABD150150. .（1

11、1）画出圆弧的圆心）画出圆弧的圆心O O；拓展延伸拓展延伸1 1、 图图24244 47 7中的粗线中的粗线CDCD表示某条公路的一段，表示某条公路的一段，其中其中AmBAmB是一段圆弧，是一段圆弧，ACAC，BDBD是线段，且是线段，且ACAC，BDBD分别分别与圆弧与圆弧 相切于点相切于点A A，B B，线段，线段ABAB180 180 m m，ABDABD150150. .（2）求）求A到到B这段弧形公路的长这段弧形公路的长.拓展延伸拓展延伸拓展延伸拓展延伸中考链接中考链接1、（2014湖北宜昌,第13题3分）如图，在44的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将AOC绕点O顺时针旋转

12、90得到BOD，则 的长为（）A B 6 C 3 D1.5 2、（2014湖南衡阳,第11题3分）圆心角为120，弧长为12的扇形半径为（）A 6B 9C 18D 36DC3、（2014四川成都,第10题3分）在圆心角为120的扇形AOB中，半径OA=6cm，则扇形OAB的面积是（）A6cm2 B8cm2 C12cm2 D24cm2中考链接中考链接C4、(2014黑龙江牡丹江, 第10题3分)如图，AB是O的直径，弦CDAB，CDB=30，CD=2 ，则S阴影=（）AB 2C D D中考链接中考链接5 、(2014年山东东营,第5题3分)如图，已知扇形的圆心角为60，半径为 ，则图中弓形的面积

13、为（）A B C D C中考链接中考链接6、（2014四川南充，第9题，3分）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（ ）A B13 C25 D25 A中考链接中考链接7、（2014莱芜，第8题3分）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45，点A旋转到A的位置，则图中阴影部分的面积为（）A B2 C D4B如图，如图， 矩形矩形ABCDABCD是一厚土墙截面，墙长是一厚土墙截面，墙长1515米，米，宽宽1 1米。在距米。在距D D点点5 5米处有一木桩米处有一木桩E E，木桩上拴，木桩上拴一根绳子，绳子长一根绳子，绳子长7 7米，另一端拴着一只小狗，米，另一端拴着一只