第65讲 空间角及其计算

1、1.理解和掌握异面直线所成的角、直理解和掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念线与平面所成的角、二面角的概念.2.掌握求空间角的基本方法及空间角掌握求空间角的基本方法及空间角向平面角的转化技巧向平面角的转化技巧.3.培养依据不同问题情境选择传统的培养依据不同问题情境选择传统的构造法或向量法计算空间角的思维习惯构造法或向量法计算空间角的思维习惯.4.培养学生的转化化归思想和数形结培养学生的转化化归思想和数形结合思想合思想,提高学生的空间想象能力提高学生的空间想象能力.1.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中,E1、F1分别是分别是棱棱A1B1、C1D1上的点上的点,且且B

2、1E1=D1F1= ,则则BE1与与DF1所成角的余弦值为所成角的余弦值为( )114ABBA. B.C. D.81715173212 在在A1B1上取一点上取一点G,并使并使A1G= ,连接连接AG,再在再在AB上取一点上取一点H，连接，连接GH.则则AGH为异面直线为异面直线BE1与与DF1所成的角所成的角.不妨设不妨设A1B1=4，则则AG=GH= = .所以在所以在AGH中，中，cosAGH= = = .114AB1517241 172222AGGHAHAG GH171742 1717 2.在一个锐二面角的一个面内有一点，它到在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的

3、距离的棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，倍，则二面角的度数为则二面角的度数为 .30 如图，过点如图，过点C作平面作平面的垂线，垂的垂线，垂足为足为D，过，过D作作DE垂直垂直AB于于E，连接，连接CE.由三垂线定理得由三垂线定理得CED为为-AB-的平面角的平面角.由题意可知由题意可知CED=30.3.已知正四棱锥已知正四棱锥S-ABCD中，中，SA=AB=a,则则侧棱与底面所成角的大小为侧棱与底面所成角的大小为 .45 如图，由如图，由S作作SO平面平面ABCD,则则O是正方形是正方形ABCD的中心，的中心，AO是是SA在平面在平面ABCD上的射影，上的射影，所以所以SAO为侧棱与底面所

4、成的角为侧棱与底面所成的角.又在又在ABO中，易得中，易得AO= a,所以所以SAO=45.224.如图，已知如图，已知AB为平面为平面的一条的一条斜线斜线,B为斜足，为斜足，AO，O为为垂 足垂 足 , B C 为为 内 的 一 条 直内 的 一 条 直线线,ABC=60,OBC=45,则斜线则斜线AB和平面和平面所成的角所成的角为为 .45 由斜线和平面所成的角的定义可由斜线和平面所成的角的定义可知知,ABO为斜线为斜线AB和平面和平面所成的角所成的角.又因为又因为cosABO= = = ,所以所以ABO=45.22coscosABCOBC cos60cos45 一、异面直线所成的角一、异

5、面直线所成的角 1.异面直线所成的角异面直线所成的角:在空间中任取一点在空间中任取一点O,过过O点分别作两异面直线的点分别作两异面直线的 线所成线所成的的 叫做两条异面直线所成的角叫做两条异面直线所成的角. 2.异面直线所成的角的范围是异面直线所成的角的范围是 ,当当= 时时,这两条异面直线垂直这两条异面直线垂直.平行平行锐角或直角锐角或直角(0, 22 二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角 1.直线和平面所成的角：直线和平面所成的角： (1)如果直线平行平面或在平面内，则它如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为和平面所成的角的大小为 . (2)如果直线垂直于平面，则它

6、和平面所如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为成的角的大小为 . (3)如果直线是平面的斜线，则它和它在如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的平面内的 所成的所成的 角，称之为直角，称之为直线和平面所成的角线和平面所成的角. 2.直线和平面所成的角的范围是直线和平面所成的角的范围是 .02射影射影锐锐0, 2 三、二面角的平面角三、二面角的平面角 1.二面角的平面角：从一条直线出发的二面角的平面角：从一条直线出发的两个两个 组成的图形叫做二面角，以组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上二面角的棱上 一点为端点，在两个面一点为端点，在两个面内分别作内分别作 两条射线两条射线.这两条射这两

7、条射线所成的角叫做线所成的角叫做 .平面角平面角是是 角的二面角叫做直二面角角的二面角叫做直二面角. 2.二面角的范围是二面角的范围是 . 3.作二面角的平面角的常用方法有作二面角的平面角的常用方法有 . . 四、求空间角的基本方法四、求空间角的基本方法 1.构造法（传统法）；构造法（传统法）；2.空间向量法空间向量法.1111半平面半平面任意任意1212垂直于棱的垂直于棱的1313二面角的平面角二面角的平面角1414直直15150,定义定义法、线面垂直法、垂面法法、线面垂直法、垂面法例例1 如图，直四棱柱如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面的底面ABCD为平行四边形，其中为平行四边

8、形，其中AB= ，BD=BC=1，AA1=2，E为为DC的中点，的中点，F是棱是棱DD1上的动点上的动点. (1)求异面直线求异面直线AD1与与BE所所 成角的正切值；成角的正切值； (2)当当DF为何值时为何值时,EF与与BC1 所成的角为所成的角为90?2 依异面直线所成角的定义或推理寻依异面直线所成角的定义或推理寻找或平行移动作出异面直线所成角对应的找或平行移动作出异面直线所成角对应的平面角平面角. （方法一）（方法一）（1）连接连接EC1.在直四棱柱在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，中，AD1BC1，则则EBC1为异面直线为异面直线AD1与与BE所成的角所成的角.又底面又底面AB

9、CD侧面侧面DCC1D1BD=BCE为为CD的中点的中点 BE侧面侧面DCC1D1 BEEC1.在在RtBEC1中，中，BE= = ，EC1= = ，所以所以tanEBC1= =3.BECD22BCEC22221CCCE3 221ECEB(2)当当DF= 时时,EF与与BC1所成的角为所成的角为90.由（由（1）知，）知，BE侧面侧面DCC1D1 BEEF.又又DE=EC= ，CC1=AA1=2.当当DF= 时，时，因为因为 = = ， = = ，1422DFCE142214241DECC22224所以所以DEFCC1E，所以所以DEF+CEC1=90，所以所以FEC1=90，即，即FEEC1

10、.又又EBBC1=E，所以，所以EF平面平面BEC1，所，所以以EFBC1,即即EF与与BC1所成的角等于所成的角等于90.（方法二）（方法二）由由BC2+BD2=DC2可知可知BDBC，分，分别以别以BD、BC、BB1分别为分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建轴建立空间直角坐标系，如图，立空间直角坐标系，如图， 则则B(0,0,0),A(1,-1,0),D(1,0,0), D1(1,0,2),C(0,1,0),C1(0,1,2), E( ， ,0).1212(1)因为因为 =(0,1,2)， =( ， ,0),所以所以cos ， = = = ，1AD BE 12121AD BE 12252110

11、1010所以所以sin ， = ,所以所以tan ， =3，即即AD1与与BE所成的角的正切值为所成的角的正切值为3.(2)设设F(1,0,q)，则，则 =( ，- ,q).又又 =(0,1,2)，由由 = 0- 1+q2=0，得，得q= ，即即DF= 时，时，EFBC1.1AD BE 3 1010ADBE EF 12121BC EF 1BC 12121414 异面直线所成角的求法有传统异面直线所成角的求法有传统的构造法和空间向量法两种，解题可的构造法和空间向量法两种，解题可依据问题情境恰当选用依据问题情境恰当选用.例例2 如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB=4，AD=2，E为为CD

12、的中点，将的中点，将ADE沿沿AE折起，折起，使平面使平面ADE平面平面ABCE，得到几何体，得到几何体D-ABCE。 (1)求证：求证：BE平面平面ADE，并求，并求AB与平面与平面ADE所成的角的大小；所成的角的大小； (2)求求BD与平面与平面CDE所成角的正弦值所成角的正弦值. (1)在矩形在矩形ABCD中，连接中，连接BE，因为因为AB=2AD，E为为CD的中点，的中点，所以所以AD=DE，EAB=45，从而从而EBA=45，故，故AEEB.过过D作作DOAE于于O.因为平面因为平面ADE平面平面 ABCE，所以所以DO平面平面ABCE，所以，所以DOBE.又又AEDO=O，所以，所

13、以BE平面平面ADE.可知可知AE为为AB在平面在平面ADE上的射影，上的射影，从而从而BAE为为AB与平面与平面ADE所成的角所成的角,大大小为小为45.(2)由由(1)可知，可知，DO平面平面ABCE，BEAE，过过O作作OFBE，以，以O为原点，为原点，OA、OF、OD分别为分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直角坐轴建立空间直角坐标系标系,则则D(0,0, ),E(- ,0,0),B(-2,2 ,0), C(-2 ,2,0).2222设平面设平面CDE的法向量的法向量n=(x,y,z).又又 =(2 ,- ,2)， =( ,- ,0)， n =2 x- y+ z=0 z=-x n =

14、 x- y=0 y=x.取取x=1，得，得n=(1,1,-1).又又 =(- ,2 ,- )，cosn, = = .则则BD与平面与平面CDE所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .2CD 2CE 22则则CD CE 22222，得，得DB 222DB 1 (2) 1 2 2( 1) (2)32 3 2323 本例的求解策略说明，若方本例的求解策略说明，若方便获知直线在平面内的射影，则可便获知直线在平面内的射影，则可用传统的构造法求直线与平面所成用传统的构造法求直线与平面所成的角；若找直线在平面内的射影较的角；若找直线在平面内的射影较难，则可用向量法求直线和平面所难，则可用向量法求直线和平面所成的

15、角成的角.例例3 如图，在直四棱柱如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，中，AB=AD=2，DC=23,AA1=3,ADDC, ACBD,垂足为垂足为E. (1)求证：求证：BDA1C； (2)求二面角求二面角A1-BD-A 的大小的大小. （方法一）（方法一）(1)证明：在直四棱柱证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为中，因为AA1平面平面ABCD，则，则AA1BD.因为因为BDAC，所以，所以BD平面平面AA1C，故故BDA1C.(2)连接连接A1E,与与(1)同理可证同理可证:BDA1E,BDAE,所以所以A1EA为二面角为二面角A1-BD-A的平面角的平面角.因为因为A

16、DDC，所以所以ADC=90.又又AD=2，DC=2 ,AA1= ,且且ACBD,可得可得AC=4.又又AD2=AEAC，所以，所以AE=1.又又AA1= ，所以，所以A1EA= = ，所以所以A1EA=60，即二面角即二面角A1-BD-A的大小为的大小为60.3331AAAE3(方法二方法二)在直四棱柱在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，中，ADDC，故建立空间直角坐标系如图，故建立空间直角坐标系如图.则则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2 ,0),A1(2,0, ).设设B(x,y,0).因为因为AB=2，ACBD，又又 =(-2,2 ,0), =(x,y,0), =(x-

17、2,y,0) (x-2)2+y2=4 x=3 -2x+2 y=0 y=3 x=0 y=0(舍舍),即即B(3, ,0).3AC33BD AB 得得3,解得解得或或3(1)因为因为 =(3, ,0)， =(-2,2 ,- ),所以所以 =3(-2)+ 2 +0(-3)=0,所以所以 ，所以，所以DBA1C.(2)平面平面ABD的法向量为的法向量为 =(0,0, ),又又 =(2,0, )， =( ,1,0)，设平面设平面A1BD的法向量的法向量n=(x,y,z)， n =2x+ z=0 n = x+y=0，3DB 1AC331AC331AC1A A31DA 3BD 3则则1DA 3DB DB D

18、B 3取取x= ，得，得n=( ,-3,-2),cosn， = =- ,故故n， =120，从而二面角从而二面角A1-BD-A的大小为的大小为60.1AA3330( 3) 03( 2)34 121AA 如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E是棱是棱BC的中点，点的中点，点F是是棱棱CD上的动点上的动点. (1)试确定点试确定点F的位置，的位置， 使得使得D1E平面平面AB1F; (2)当当D1E平面平面AB1F时，时， 求二面角求二面角C1-EF-C的正切值的大小的正切值的大小. 欲使欲使D1E平面平面AB1F，只需，只需D1E垂垂直于平面直于平面A

19、B1F内的两条相交直线内的两条相交直线AF和和AB1.而异面直线垂直的问题可利用线面垂而异面直线垂直的问题可利用线面垂直的定义来证明；直的定义来证明；(2)的解决关键是由二的解决关键是由二面角的定义，只需作出棱面角的定义，只需作出棱EF的垂面，计的垂面，计算平面角的大小即可算平面角的大小即可. (1)如图，连接如图，连接A1B、DE.因为因为A1BAB1,A1D1AB1,所以所以AB1平面平面A1BED1,所以所以AB1ED1.又因为又因为E为线段为线段BC的中点，的中点，D1DAF,所 以所 以 F 为 线 段为 线 段 D C 的 中 点 时 ， 有的 中 点 时 ， 有DEAF,则则AF

20、平面平面D1DE,所以所以D1EAF，故，故D1E平面平面AB1F.(2)连接连接C1E、C1F、AC、EF,AC与与EF交于交于点点H,连接连接C1H.由（由（1）知，）知，ACEF.又又C1CEF,所以所以EF平面平面C1HC,所以所以C1HC就是二面角就是二面角C1-EF-C的平面角的平面角.易知在易知在RtC1HC中，中，C1C=1,CH= ,所以所以tanC1HC= =2 .241C CCH21.空间角包括：两异面直线所成的空间角包括：两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角角、直线与平面所成的角、二面角.求求空间角首先要把它转化为平面角，然空间角首先要把它转化为平面角，然后再

21、用代数的方法、三角的方法求解；后再用代数的方法、三角的方法求解；当上述目标实现较困难时，可考虑用当上述目标实现较困难时，可考虑用向量方法求解向量方法求解.2.构造法求空间角的一般步骤是：构造法求空间角的一般步骤是：一作（找），二证，三计算一作（找），二证，三计算.作（找）作（找）出所求的角是计算的基础出所求的角是计算的基础.异面直线所异面直线所成的角一般通过作平行线来作出，而直成的角一般通过作平行线来作出，而直线与平面所成的角最关键是找一条与平线与平面所成的角最关键是找一条与平面垂直的垂线，二面角的平面角多采用面垂直的垂线，二面角的平面角多采用定义法或线面垂直法等方法来寻找定义法或线面垂直法等

22、方法来寻找.最最后，一般通过解三角形求出角的大小后，一般通过解三角形求出角的大小.学例1 如图，四边形如图，四边形ABCD是边长为是边长为1的正方形，的正方形，MD平面平面ABCD，NB平面平面ABCD，且，且MD=NB=1，E为为BC的中点的中点. (1)求异面直线求异面直线NE与与AM所成角的余弦值所成角的余弦值; (2)在线段在线段AN上是否存在点上是否存在点 S，使得，使得ES平面平面AMN？ 若存在，求线段若存在，求线段AS的长；的长； 若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由. (1)如图，以如图，以D为坐标原点，建立空间为坐标原点，建立空间直角坐标系直角坐标系D-xyz.依题意依

23、题意,易得易得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E(12,1,0).所以所以 =(- ,0,-1), =(-1,0,1).因为因为cos , = = =- ,所以异面直线所以异面直线NE与与AM所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .NE 12AM NE AM | |NE AMNEAM 12522 10101010(2)假设在线段假设在线段AN上存在点上存在点S,使得使得ES平面平面AMN.因为因为 =(0,1,1),故可设故可设 = =(0,).又又 =( ,-1,0),所以所以 = + =( ,-1,). =0 - +=

24、0 =0 (-1)+=0.故故= ,此时此时 =(0, , ),| |= .经检验，当经检验，当AS= 时，时，ES平面平面AMN.故线段故线段AN上存在点上存在点S,使得使得ES平面平面AMN,此时此时AS= .EA ANAS AM 12ES EA AS 12由由ES平面平面AMN,得得,即即ES ES AN1212AS 1212AS 222222学例2 如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD为菱形，为菱形，PA平面平面ABCD，ABC=60,E、F分别是分别是BC、PC的中点的中点. （1）证明：证明：AEPD； （2）若若H为为PD上的动点，上的动点， EH

25、与平面与平面PAD所成最大角的正切值为所成最大角的正切值为 ，求二面角求二面角E-AF-C的余弦值的余弦值.62 （1）证明：由四边形证明：由四边形ABCD为菱形，为菱形，ABC=60，可得，可得ABC为正三角形为正三角形.因为因为E为为BC的中点，所以的中点，所以AEBC，又又BCAD，因此，因此AEAD.因为因为PA平面平面ABCD，AE平面平面ABCD，所以所以PAAE.而而PA平面平面PAD,AD平面平面PAD,且且PAAD=A，所以所以AE平面平面PAD.又又PD平面平面PAD，所以，所以AEPD. (2)设设AB=2，H为为PD上任意一点，连接上任意一点，连接AH、EH.由由(1)知，知，AE平面平面PAD，则，则EHA为为EH与平面与平面PAD所成的角所成的角.在在RtEAH中，中，AE= ，所以当所以当AH最短时，最短时，EHA最大，最大，即当即当AHPD时，时，EHA最大最大.此时此时tanEHA= = = ,因此因此AH= .又又AD=2，所