第一节 联合分布与边缘分布

1、从本讲起，我们开始第三章的学习从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量我们重点讨论二维随机变量 .它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广. 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述需要用几个随机变量来描述. 在打靶时在打靶时,命中点的位置是命中点的位置是由一对由一对

2、r .v (两个坐标两个坐标)来确定的来确定的. 飞机的重心在空中的位置是飞机的重心在空中的位置是由三个由三个r .v (三个坐标三个坐标)来确定的等来确定的等等等.一般地一般地, 设设 是一个随机试验是一个随机试验,E它的样本空间是它的样本空间是 , 设设 11,XX 22,XX ,nnXX 是定义在是定义在 上的随机变量上的随机变量, 由它们构成的一个由它们构成的一个 维向维向n量量 12,nXXX叫做叫做 维随机向量维随机向量n或或 维随机变维随机变n量量. 以下重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照 .)()(xXPxFxX的分布函数

3、的分布函数一维随机变量一维随机变量 ,F x yPXxYyP Xx Yy, ,x y如果对于任意实数如果对于任意实数二元函数二元函数称为二维随机变量称为二维随机变量 的分布函数的分布函数, ,X Y或者称为随机或者称为随机变量变量 和和 的联合分布函数的联合分布函数.YX定义定义1 ,X Y设设 是二维是二维随机变量随机变量,xXOx Oxyy YX ,YX yx ,x 将二维随机变量将二维随机变量 看成是平面上随机点看成是平面上随机点的坐标的坐标, ,X Y 那么那么,分布函数分布函数 在点在点 处的函数值处的函数值就是随机点就是随机点 落在下面左图所示的落在下面左图所示的,以点以点 为顶点

4、而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. ,X Y ,x y ,F x y ,x y分布函数的函数值的几何解释分布函数的函数值的几何解释 11211222,yxFyxFyxFyxF 2121,yYyxXxP 随机点随机点 落在矩形域落在矩形域 ,X Y1212,xxxyyy概率为概率为xyO YX,2y1y1x2xxyO YX,1x2xy yx ,1 yx ,2 :,的性质的性质分布函数分布函数yxF ;,.1的不减函数的不减函数和和是关于变量是关于变量yxyxF ;,212121yxFyxFxxRxxRy 时时当当及及对任意固定的对任意固定的 ;,21

5、2121yxFyxFyyRyyRx 时时当当及及对任意固定的对任意固定的 YX, ,0,1,0.2 yFRyyxF对任意固定的对任意固定的且且 .1,0,0, FFxFRx对任意固定的对任意固定的Oxyy YX ,XY yx ,x yx ,x即即F(x, y) 关于关于x, y是右连续的。是右连续的。 .0, 0,.3 yxFyxFyxFyxF11221212(,),(,),xyxyxxyy 4. 对任意的对任意的 22211211,0F xyF xyF xyF xy 1212,P xXxyYy ,),(ijjipyYxXP或随机变量或随机变量X和和Y 的的联合分布律联合分布律. ,)(kkp

6、xXPk=1,2, 离散型离散型一维随机变量一维随机变量XX 的分布律为的分布律为 , 0kpkkp1k=1,2, 定义定义2限对或无限可列多对限对或无限可列多对, 则称则称是是离散型随机变量离散型随机变量. ,X Y设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 ,X Y可能取的值是可能取的值是 ,ijx y,1,2,i j ,1,2,i j 记记如果二维随机变量如果二维随机变量 ,X Y全部可能取到的值是有全部可能取到的值是有称之为二维离散型随机变量称之为二维离散型随机变量 的的分布律分布律, ,X Y12jyyyXY12ixxx11211 ippp12222 ippp12jjijppp也可用表

7、格来表示随机变量也可用表格来表示随机变量X和和Y 的的联合分布律联合分布律. ijijijpjip1, 2 , 1, 0二维离散型随机变量二维离散型随机变量 的的分布律具有性质分布律具有性质 ,X Y二维离散型随机变量二维离散型随机变量 的的联合分布函数为：联合分布函数为： ,X Y( , )ijijxx yyF x yp. , ,求和求和的的其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足jiyyxxji 例例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次为三次抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数 ，而，而 Y 为正面出现次数与为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值反面出现次数

8、之差的绝对值 , 求求 (X ,Y) 的分布律的分布律 .解解 ( X, Y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)PX=0, Y=3PX=1, Y=1 PX=2, Y=1PX=3, Y=3YX1301 83 8001233 8001 82131122C2231122C 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 .),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1 的分布律的分布律试求试求整数值整数值中等可能地取一中等可能地取一在在另一个随机变量另一个随机变量取值取值四个整数中等可能地四个整数中等可能地在在设随机变量设随机变量YXXYX解解:,的取

9、值情况是的取值情况是jYiX , 4 , 3 , 2 , 1 i.的正整数的正整数取不大于取不大于ij且由且由乘法公式得乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 的分布律为的分布律为于是于是),(YX例例2XY12341234418112116108112116100121161000161例例3 一个袋中有三个球一个袋中有三个球,依次标有数字依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个从中任取一个, 不放回袋中不放回袋中 , 再任取一个再任取一个, 设每设每次取球时次取球时,各球被取到的可能性相等各球被取到的可能性相等,以以 X, Y 分

10、分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数的分布律与分布函数. ( X, Y ) 的可能取值为的可能取值为),2 , 1(,3122312, 1 YXP,3121321, 2 YXP.3121322, 2 YXP解解),1 , 2().2 , 2(122故故 ( X , Y ) 的分布律为的分布律为XY21213103131,31, 022211211 pppp下面求分布函数下面求分布函数.2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(,11)1(时时或或当当 yx),(yxF),(yxF

11、,21 , 21)2(时时当当 yx,2, 21)3(时时当当 yx),(yxF,yYxXP ; 0 11p ; 0 1211pp ;31 ,21 , 2)4(时时当当 yx;31),(2111 ppyxF,2, 2)5(时时当当 yx),(yxF22122111pppp . 1 2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(所以所以( X ,Y ) 的分布函数为的分布函数为, 21 , 2. 2, 2, 1, 2, 21,31, 11, 0),( yxyxyxyxyxF或或或或连续型连续型一维随机变量一维随机变量XX的概率密度函数的概率密度函数1)(dxxf xtdt

12、fxFx0)(xf Rxxf ,fx y函数函数 称为二维称为二维定义定义3对于二维随机变量对于二维随机变量 ,X Y的分布函数的分布函数 ,F x y则称则称 是是连续型的二维随连续型的二维随 ,X Y机变量机变量 ,（X,Y )的的概率密度概率密度 ,随机变量随机变量 ,yxF x yf u v dudv 存在非负的函数存在非负的函数 ,fx y如果如果任意任意 有有,x y使对于使对于 称为随机变量称为随机变量 X 和和 Y 的的联合概联合概 率密度率密度.或或 ;0,.1 yxf 2,1 ;Rfx y dxdy 2 .,1;fx y dxdy 表示介于表示介于 f (x, y)和和 x

13、oy 平面之间的空间区域的平面之间的空间区域的全部体积等于全部体积等于1., 1dd),( yxyxf.),(,表表示示空空间间的的一一个个曲曲面面几几何何上上yxfz 注：注： ;,.3dxdyyxfGYXPxOyGG 则有则有平面上的区域平面上的区域是是设设yxyxFyxf),(),(2在在 f (x,y)的连续点的连续点 ,.4注：注：,dd),(),( GyxyxfGYXP.),(, ),(为顶面的柱体体积为顶面的柱体体积以曲面以曲面为底为底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP 例例4 4 设设( (X,Y) )的概率密度是的概率密度是(2) 求分布函数求分布函数 (2),0,0,0

14、,.其它xyAexyfx y ,;F x y P YX (3) 求概率求概率 .(1) 求常数求常数A; 解解 (1) 由由 ,1fx y dxdy 可得可得A=2.Ouvy yx ,xOuvy yx ,x ,yxF x yf u v dudv ,Du vuxvy 积分区域积分区域区域区域 ,0f u v ,0,0u v uv解解 (2)Ouvy yx ,xOuvy yx ,x 211,0,0,0,.xyeexyF x y 其其它它00 xy或或当当 时时, ,yxF x yf u v dudv 0 故故(2)002yxu vedudv 2002yxvue dvedu 211xyee0,0 x

15、y当当 时时, ,yxF x yf u v dudv 2302xxeedx 1.3 (3) P YX ,y xfx y dxdy 2002xxydxedy 2002xxyedxedy yx xyo例例5 设随机变量设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为的联合分布函数为yxyCxBAyxF,2arctan2arctan),(其中其中A , B , C 为常数为常数.(1) 确定常数确定常数A , B , C ；(2)求求P (X 2);(3)求求(X ,Y )的联合密度函数。的联合密度函数。解解 (1)122),(CBAF(, )arctan022yFyA BC( ,)arctan022xF

16、xA BC 21,2,2ACB(2)(2) 1(2)1(2,)1(2,)P XP XP XYF 22arctan1211.4/1(3)2222( , )14( , )(4)(4) ,F x yf x yx yxyxy 设随机变量设随机变量(X, Y)的概率密度是的概率密度是 6,02,24,0,.kxyxyfx y 其其它它(1) 确定常数确定常数 ;k 1,3PXY (2) 求概率求概率解解 (1) xyo24 21,Rfx y dxdy 24026kdxxy dy 24026kdxxy dy 2023kx dx 8k 故故1 8.k 2xyo13242 1,3P XY(2) . 13,dx

17、fx y dy 1302168dxxy dy101782x dx 38 二维随机变量二维随机变量 (X,Y)作为一个整体作为一个整体, 具有分布函具有分布函数数 ,F x y而而 和和 都是随机变量都是随机变量 ,XY也有各自的分也有各自的分布函数布函数,分别记为分别记为 ,XYFxFy XFxP Xx变量变量 (X,Y) 关于关于 X 和和 Y的边缘分布函数的边缘分布函数.依次依次称为二维随机称为二维随机 ,YFyP YyP XYyFy ,P Xx Y ,F x一、边缘分布函数一、边缘分布函数一般地，对离散型一般地，对离散型 r.v ( X,Y )，则则 (X,Y) 关于关于X 的边缘分布律

18、为的边缘分布律为:X和和Y 的联合分布律为的联合分布律为, 2 , 1,),(jipyYxXPijji 11,ijijjjPXx Yyp,2,1iixXP二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律. ip(X,Y) 关于关于 Y 的边缘分布律为的边缘分布律为:jyYPjiijjiippyYxXP.11, 1,2,j ,),()(1 xxjijXipxFxF.),()(1 yyiijYjpyFyF离散型随机变量关于离散型随机变量关于X 和和Y 的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为:;,2, 1,1 ipxXPjiji., 2 , 1,1 jpyYPiijjXYixxx21j

19、yyy2112111ippp22212ipppijjjppp21 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词缘上，由此得出边缘分布这个名词.例例6 已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律.XY1049164912491249910XY1042124212421242610iixXPp jjyYPp 注意注意联合分布联合分布边缘分布边缘分布解解 747317473解解1098765432112232424340111121112例例7., .)( , )( .10, 3, 2, 1并求边缘分布律并求边缘分布律的

20、联合分布律的联合分布律和和试写出试写出的素数的个数的素数的个数是能整除是能整除的正整数的个数的正整数的个数是能整除是能整除设设一个值一个值十个值中取十个值中取等可能地在等可能地在一整数一整数FDNNFFNNDDN : 布律布律的联合分布律与边缘分的联合分布律与边缘分和和由此得由此得FD样本点样本点DFDkp4321101104102103Fkp21010110710243211010000104102101000102DFjFP 101107102iDP 1011041021031或将边缘分布律表示为或将边缘分布律表示为012三、连续型随机变量的边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布.),(,d

21、),()(,dd),(),()(),(),(的边缘概率密度的边缘概率密度关于关于称其为随机变量称其为随机变量记记由于由于密度为密度为设它的概率设它的概率对于连续型随机变量对于连续型随机变量XYXyyxfxfxyyxfxFxFyxfYXXxX 定定义义同理可得同理可得 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数.d),()( xyxfyfYY 的边缘概率密度的边缘概率密度.,dd),(),()( yYyxyxfyFyF. )(),(., 0, 6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度求边缘概率密度其他其他具有联合概率密度具有联合概率密度和和设随机变量设随机变量 解解yyxfxfXd),()(

22、,10时时当当 xxy 2xy Oxy)1 , 1(yyxfxfXd),()( xxy2d6例例8).(62xx ,10时时或或当当 xx. 0d),()( yyxfxfX ., 0, 10),(6)(2其他其他因而得因而得xxxxfXxy 2xy Oxy)1 , 1(,10时时当当 yxyxfyfYd),()( ,10时时或或当当 yy. 0d),()( xyxfyfY ., 0, 10),(6)(其他其他得得yyyyfY yyxd6).(6yy xy 2xy Oxy)1 , 1(=5c/24=1,c =24/5 dxdyyxf),(解：解：(1)100(2)xcyx dy dx dxxxc

23、10222/ )(求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度。）两个边缘密度。(2),01,0( , )0,cyxxyxf x y 其其它它例例9 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解: (2) xXdyxyxf0)2(524)(),2(5122xx10 xxy01y=x求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度。）两个边缘密度。(2),01,0( , )0,cyxxyxf x y 其其它它例例9 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解: (2) ),2223(5242yyy1)2(524)(yYdxxyyf10 yxy01y=x求求 (1) c的值；的值； （2）两个边

24、缘密度。）两个边缘密度。(2),01,0( , )0,cyxxyxf x y 其其它它例例9 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是即即212(2),01( )50,Xxxxfx 其其它它2243(2),01( )5220,Yyyyyfy 其其它它练习练习 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是 ,0,0,yexyxfx y 其其它它求求( X,Y )关于关于 X 和和 Y 的边缘概率密度的边缘概率密度.xyx xy0 xx ,Xfxfx y dy 解解当当 时时,0 x 当当 时时,0 x 00Xfxdy yXxfxedy xe yxe 故故 ,0,0,0.xXexfxx yx xy0 ,Yfyfx y dx yyy当当 时时,0y 当当 时时,0y 00Yfydx 0yyYfyedx yye 故故 ,0,0,0.yYyeyfyy 设设G是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为A. 若二若二维随机变量（维随机变量（ X,Y）具有概率密度具有概率密度其它, 0),(,1),(GyxAyxf则