数学必修二第二章测试题含答案

1、第二章综合检测题时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A相交B平行C异面 D平行或异面2平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A3B4C5D63已知平面和直线l，则内至少有一条直线与l()A平行B相交C垂直D异面4长方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A30B45C60D905对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得()Aa，b Ba，bCa，b Da，b6下面四个命题

2、：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；若ab，则a，b与c所成的角相等；若ab，bc，则ac.其中真命题的个数为()A4B3C2D17在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1EB1F，有下面四个结论：EFAA1；EFAC；EF与AC异面；EF平面ABCD.其中一定正确的有()ABCD8设a，b为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是()A若a，b与所成的角相等，则abB若a，b，则abC若a，b，ab，则D若a，b，则ab9已知平面平面，l，点A，Al，直线A

3、Bl，直线ACl，直线m，n，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABm BACmCAB DAC10(2012大纲版数学(文科)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为()Aeq f(4,5) B. .eq f(3,5)C.eq f(3,4) Deq f(3,5)11已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABACeq r(3)，BC2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为()A.eq f(r(3),3)B.eq f(1,3)C0Deq f(1,2)12如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA

4、平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是()A90 B60C45 D30二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中的横线上)13下列图形可用符号表示为_14正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角C1ABC的平面角等于_15设平面平面，A，C，B，D，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面，之间，AS8，BS6，CS12，则SD_.16将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角；AB与CD所成的角是60.其中正确结论的序号是_三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明

5、过程或演算步骤)17(10分)如下图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC与A1B1C1都为正三角形且AA1面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点求证：(1)平面AB1F1平面C1BF；(2)平面AB1F1平面ACC1A1.分析本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件18(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(1)证明：CD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积19(12分)如图所示，边长为2的等边

6、PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC2eq r(2)，M为BC的中点(1)证明：AMPM；(2)求二面角PAMD的大小20(本小题满分12分)(2010辽宁文，19)如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.(1)证明：平面AB1C平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B平面B1CD，求A1DDC1的值21(12分)如图，ABC中，ACBCeq f(r(2),2)AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点(1)求证：GF底面ABC；(2)求证：AC平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.分析

7、(1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥CABED.22(12分)如下图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点(1)求证：ACBC1；(2)求证：AC1平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值详解答案1答案D2答案C解析AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条3

8、答案C解析1直线l与平面斜交时，在平面内不存在与l平行的直线，A错；2l时，在内不存在直线与l异面，D错；3l时，在内不存在直线与l相交无论哪种情形在平面内都有无数条直线与l垂直4答案D解析由于ADA1D1，则BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显BAD90.5答案B解析对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在，使a，b，B正确；对于选项C，a，b，一定有ab，C错误；对于选项D，a，b，一定有ab，D错误6答案D解析异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确；对于，在平面内，ac，而在空间中，a与c可以平行，可

9、以相交，也可以异面，故错误7答案D解析如图所示由于AA1平面A1B1C1D1，EF平面A1B1C1D1，则EFAA1，所以正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EFA1C1，又ACA1C1，则EFAC，所以不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以不正确；由于平面A1B1C1D1平面ABCD，EF平面A1B1C1D1，所以EF平面ABCD，所以正确8答案D解析选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a，则a或a，则内存在直线la，又b，

10、则bl，所以ab.9答案C解析如图所示：ABlm；ACl，mlACm；ABlAB.10答案eq f(3,5) 命题意图本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用解析首先根据已知条件，连接DF，然后则角DFD1即为异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到eq r(5)DFD1F，DD12，结合余弦定理得到结论11答案C解析取BC中点E，连AE、DE，可证BCAE，BCDE，AED为二面角ABCD的平面角又AEEDeq r(2)，AD2，AED90，故选C.12答案B解析将其还原成正方体ABCDPQRS，显见PBSC，ACS为正三角形，ACS60.13答案AB14答案45解析如图所示，正

11、方体ABCDA1B1C1D1中，由于BCAB，BC1AB，则C1BC是二面角C1ABC的平面角又BCC1是等腰直角三角形，则C1BC45.15答案9解析如下图所示，连接AC，BD，则直线AB，CD确定一个平面ACBD.，ACBD，则eq f(AS,SB)eq f(CS,SD)，eq f(8,6)eq f(12,SD)，解得SD9.16答案解析如图所示，取BD中点，E连接AE，CE，则BDAE，BDCE，而AECEE，BD平面AEC，AC平面AEC，故ACBD，故正确设正方形的边长为a，则AECEeq f(r(2),2)a.由知AEC90是直二面角ABDC的平面角，且AEC90，ACa，ACD是

12、等边三角形，故正确由题意及知，AE平面BCD，故ABE是AB与平面BCD所成的角，而ABE45，所以不正确分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.则MNAB，且MNeq f(1,2)ABeq f(1,2)a，MECD，且MEeq f(1,2)CDeq f(1,2)a，EMN是异面直线AB，CD所成的角在RtAEC中，AECEeq f(r(2),2)a，ACa，NEeq f(1,2)ACeq f(1,2)a.MEN是正三角形，EMN60，故正确17证明(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，F、F1分别是AC、A1C1的中点，B1F1BF，AF1C1F.又B1F1AF1F1，C1FB

13、FF，平面AB1F1平面C1BF.(2)在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，B1F1AA1.又B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A1.18解析(1)如图所示，连接AC，由AB4，BC3，ABC90，得AC5.又AD5，E是CD的中点，所以CDAE.PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.(2)过点B作BGCD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.由(1)CD平面PAE知，BG平面PAE.于是BPF为直线PB与平面PAE所

14、成的角，且BGAE.由PA平面ABCD知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角AB4，AG2，BGAF，由题意，知PBABPF，因为sinPBAeq f(PA,PB)，sinBPFeq f(BF,PB)，所以PABF.由DABABC90知，ADBC，又BGCD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GDBC3.于是AG2.在RtBAG中，AB4，AG2，BGAF，所以BGeq r(AB2AG2)2eq r(5)，BFeq f(AB2,BG)eq f(16,2r(5)eq f(8r(5),5).于是PABFeq f(8r(5),5).又梯形ABCD的面积为Seq f(1,2)(53)416，所以四

15、棱锥PABCD的体积为Veq f(1,3)SPAeq f(1,3)16eq f(8r(5),5)eq f(128r(5),15).19解析(1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，PCD为正三角形，PECD，PEPDsinPDE2sin60eq r(3).平面PCD平面ABCD，PE平面ABCD，而AM平面ABCD，PEAM.四边形ABCD是矩形，ADE，ECM，ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EMeq r(3)，AMeq r(6)，AE3，EM2AM2AE2.AMEM.又PEEME，AM平面PEM，AMPM.(2)解：由(1)可知EMAM，PMAM，PME是二面角PA

16、MD的平面角tanPMEeq f(PE,EM)eq f(r(3),r(3)1，PME45.二面角PAMD的大小为45.20解析(1)因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1CBC1，又已知B1CA1B，且A1BBC1B，所以B1C平面A1BC1，又B1C平面AB1C所以平面AB1C平面A1BC1 .(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线因为A1B平面B1CD，A1B平面A1BC1，平面A1BC1平面B1CDDE，所以A1BDE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点即A1DDC11.21解(1)证明：连接AE，如下图所示ADEB为正方形，AEBDF，

17、且F是AE的中点，又G是EC的中点，GFAC，又AC平面ABC，GF平面ABC，GF平面ABC.(2)证明：ADEB为正方形，EBAB，又平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，EB平面ABED，BE平面ABC，BEAC.又ACBCeq f(r(2),2)AB，CA2CB2AB2，ACBC.又BCBEB，AC平面BCE.(3)取AB的中点H，连GH，BCACeq f(r(2),2)ABeq f(r(2),2)，CHAB，且CHeq f(1,2)，又平面ABED平面ABCGH平面ABCD，Veq f(1,3)1eq f(1,2)eq f(1,6).22解析(1)证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面三边长AC3，BC4，AB5，ACBC.又C1CAC.AC平面BCC1B1.BC1平面BCC