第十一章 标高投影

1、第十一章第十一章 标高投影标高投影11-1 11-1 点和直线的标高投影点和直线的标高投影11-2 11-2 平面的标高投影平面的标高投影11-3 11-3 曲面的标高投影曲面的标高投影11-4 11-4 地形图地形图标高投影法标高投影法是采用是采用水平投影水平投影并标注特征点、线、并标注特征点、线、面的高度数值来表达空间形体的方法。面的高度数值来表达空间形体的方法。 标高投影法标高投影法的应用：的应用：1.1.军事应用；军事应用； 2.2.土木工程建设；土木工程建设； 3.3.油气运输管道铺设；油气运输管道铺设； 4.4.采矿；采矿； 5.5. .概概 述述 因为建筑物是在地面上修建的，在设

2、计和施工中，因为建筑物是在地面上修建的，在设计和施工中，常需要了解表示常需要了解表示地面起伏状况的地形图地面起伏状况的地形图，以便在图纸上，以便在图纸上解决有关的工程问题。由于地面的形状比较复杂，用多解决有关的工程问题。由于地面的形状比较复杂，用多面正投影法表示，不易表达清楚，因此在实践中常采用面正投影法表示，不易表达清楚，因此在实践中常采用标高投影法来表示标高投影法来表示地形面地形面。 标高投影图在土木工程中的作用标高投影图在土木工程中的作用所注高度称为所注高度称为高程（标高）。高程（标高）。（高程以（高程以米米为单位，为单位，不需注明。同时在标高投影图上必须注明绘图的不需注明。同时在标高投

3、影图上必须注明绘图的比例或比例尺比例或比例尺） 在多面正投影中，当物体的水平投影确定以后，其在多面正投影中，当物体的水平投影确定以后，其正面投影正面投影的主要作用是反映物体各特征点、线、面的的主要作用是反映物体各特征点、线、面的高高度度。若能在物体的水平投影中标明它的特征点、线、面。若能在物体的水平投影中标明它的特征点、线、面的的高度高度，就可以充全确定物体的空间形状和位置。，就可以充全确定物体的空间形状和位置。152025152025标高投影图的形成标高投影图的形成 用一组用一组等距、平行等距、平行的水平面与地面截交，所得的水平面与地面截交，所得到截交线为水平曲线，投射到一个水平投影面到截交

4、线为水平曲线，投射到一个水平投影面（基（基准面）准面）上形成的投影图。上形成的投影图。 0 10 2040mH01234m1.1.点的标高投影点的标高投影基准面基准面a4c0b-3CAB点的标高投影中的表示方法：点的标高投影中的表示方法：小写字母右下角加小写字母右下角加注高程，如注高程，如a4 4。11-1 11-1 点和直线的标高投影点和直线的标高投影假设水平基准面假设水平基准面(H)(H)的高程（标高）为的高程（标高）为O O，基准面以，基准面以上的高程为正，以下的高程为负。上的高程为正，以下的高程为负。2.2.直线的标高投影直线的标高投影 2.12.1直线的标高投影表示法直线的标高投影表

5、示法 有两种：有两种：坡度坡度a3b6表示法一表示法一0 1 24mb61:2表示法二表示法二0 1 24mHa3b6AB（1 1）直线的）直线的水平投影水平投影及直线上及直线上两点的标高投影两点的标高投影来表示直线。来表示直线。（2 2）直线上）直线上一点高程投影一点高程投影和直线的和直线的坡度及方向坡度及方向表示直线，其中坡度方向的表示直线，其中坡度方向的箭头箭头应指向应指向下坡下坡。ABLH2.2 2.2 直线的坡度和平距直线的坡度和平距H1 1个单位个单位l（1 1）坡度：）坡度：直线上任意两点的直线上任意两点的高高度差（度差（H H）与该两点的与该两点的水平距离水平距离(L)(L)之

6、比，称为该直线的坡度，用之比，称为该直线的坡度，用(i)(i)表示。直线对水平面的倾角用表示。直线对水平面的倾角用 表示。表示。i= =i= =tan H HL L（2 2）平距：）平距：当直线上两点的高度当直线上两点的高度差为差为一个单位一个单位时，这两点间的水时，这两点间的水平距离称为该直线的平距离称为该直线的平距平距，用，用 ( (l) ) 表示。表示。 i= =i= =H HL1 1l平距和坡度互为倒数平距和坡度互为倒数HABHLa3b60 1 24mL例例: : 如图所示，已知直线如图所示，已知直线ABAB的标高投影的标高投影a a7 7 b b3 3，求直线，求直线ABAB上上C

7、C点的点的高程高程。解解: :先求直线先求直线ABAB的坡度的坡度i i1 12 2 由图中比例尺量得由图中比例尺量得L LBABA=8m=8m，而，而H HBABA= =（7-37-3）m=4mm=4m，直线直线BABA的坡度的坡度 i =i =H HBABAL LBABA4 48 8= = =用比例尺量得用比例尺量得L LCACA则则H HCACA= i= iL LCACA= =1 12 21m1m2m=2m=CC点的高程为：点的高程为：（7-17-1）m = 6 mm = 6 mHHLb3a7c0124mb3a7c6i= =i= =tan H HL L标高投影图标高投影图比例尺比例尺8m

8、2m=2m1.1.解：解：先求点先求点A A求求A A点距点距B B点的高差点的高差H HBABA= =（6.4-2.46.4-2.4）m=4m ,m=4m ,L LBABA= =H HBABAi i= =4m4m1 13 3=12 m=12 m作图：从作图：从b b6.46.4沿箭头所示的下坡方向，按比例尺量取沿箭头所示的下坡方向，按比例尺量取12m12m，即得即得A A点的标高投影点的标高投影求求A A点距点距B B点的水平距离点的水平距离例例: :已知直线上已知直线上B B点的高程及该直线的坡度，求直线上点的高程及该直线的坡度，求直线上高程为高程为2.42.4的点的点A A，并定出直线上

9、的，并定出直线上的整数标高点整数标高点。b6.41:3L=12mb b6.4a a2.4b b6.4a a2.4c c3 3d d4 4e e5f f61.2m0 1 24m2.2.解：解：求整数标高点求整数标高点（解法一）（解法一） 分析：在分析：在B B、A A两点间的整数标高点有高程为两点间的整数标高点有高程为6 6、5 5、4 4、3m3m的四的四个点个点F F、E E、D D、C C。L LBFBF = H = HBFBF / i / i =(6.4-6)=(6.4-6)1/31/3 = 1.2 m= 1.2 m同理，可求出其它各点。同理，可求出其它各点。FEDCb b6.4a a2

10、.40.41.0解法二：解法二：作比例线段方法求解。作比例线段方法求解。3.0m11-2 11-2 平面的标高投影平面的标高投影H1.1.平面上的等高线和坡度线平面上的等高线和坡度线R123hhhlll平面上的平面上的等高线等高线（a a）空间情况）空间情况1 1ll3 32 2(b)(b)投影图投影图平面上等高线有以下平面上等高线有以下特征特征：1. 1. 平面上的等高线是平面上的等高线是直线直线；2. 2. 等高线彼此等高线彼此平行平行；3. 3. 等高线的高差相等时，水等高线的高差相等时，水平间距也相等。平间距也相等。 平面上的平面上的坡度线坡度线 平面上垂直于等高线的直线，称为平面的平

11、面上垂直于等高线的直线，称为平面的坡坡度线度线，也就是平面上对，也就是平面上对H H面的面的最大斜度线最大斜度线。1 1ll3 32 2坡度线坡度线R123坡度线坡度线坡度线有以下坡度线有以下特征特征：1. 1. 平面上的坡度线与等高线互相平面上的坡度线与等高线互相垂直垂直，其水平投影也互相，其水平投影也互相垂直垂直。2. 2. 坡度线对水平面的坡度线对水平面的倾角倾角，等于该平面对水平面的，等于该平面对水平面的倾角倾角。因此，因此， 坡度线的坡度就代表该平面的坡度坡度线的坡度就代表该平面的坡度。2.2.平面的标高投影表示法平面的标高投影表示法1. 1. 用一组高差相等的等高线表示平面用一组高

12、差相等的等高线表示平面1 1ll3 32 22.2.用平面上的一条等高线和平用平面上的一条等高线和平面坡度线（标注坡度）表示面坡度线（标注坡度）表示15i3.3.用平面上的一条倾斜直线和平用平面上的一条倾斜直线和平面的坡度表示平面面的坡度表示平面a3b01:1ADFC CBE3.03.01：11：21：1.5(1)(1)(2)(2)(3)(3)坡度线画成带箭头坡度线画成带箭头的弯折线，箭头指的弯折线，箭头指向下坡向下坡例例: :已知两条等高线已知两条等高线2020、1010所表示的平面，求作所表示的平面，求作高程为高程为1818、1616、1414、1212的等高线。的等高线。2010坡度线坡

13、度线c18d16e14f1212141618解：解：先作坡度线。先作坡度线。 五等分坡度线，得到四五等分坡度线，得到四个高程点。个高程点。坡度线坡度线特征特征：1. 1. 平面上的坡度线与等高线互相平面上的坡度线与等高线互相垂直垂直，其水平投影也互相，其水平投影也互相垂直垂直。2. 2. 坡度线对水平面的坡度线对水平面的倾角倾角，等于该平面对水平面的，等于该平面对水平面的倾角倾角。因此，因此， 坡度线的坡度就代表该平面的坡度坡度线的坡度就代表该平面的坡度。等高线等高线: :特征特征：1. 1. 平面上的等高线是平面上的等高线是直线直线；2. 2. 等高线彼此等高线彼此平行平行；3. 3. 等高

14、线的高差相等时，水等高线的高差相等时，水平间距也相等。平间距也相等。 过高程点作已知等高线过高程点作已知等高线平行线。平行线。01 24m例：已知平面上一条高程为例：已知平面上一条高程为1010的等高线，又知的等高线，又知平面的坡度平面的坡度i=1:2,i=1:2,求作平面上高程为求作平面上高程为9 9、8 8、7 7的的等高线。等高线。10101 1：2 2解：解：i=1:2 i=1:2 平距平距 l =1/i=2m=1/i=2ml作图：作图：沿箭头方向按比沿箭头方向按比例尺连续截取三个平距，例尺连续截取三个平距，得三个点，得三个点，过这三个点作高程为过这三个点作高程为1010的等高的等高线

15、的平行线，即为所求。线的平行线，即为所求。9870124m例：已知平面上的一条倾斜直线例：已知平面上的一条倾斜直线a3b0，以及平面的，以及平面的坡度坡度i=1:0.5i=1:0.5，图中箭头表示大致坡向。试作出平，图中箭头表示大致坡向。试作出平面上高程为面上高程为0 0、1 1、2 2的等高线。的等高线。解解: :先求过点先求过点A A作平面上高程作平面上高程为为0 0的等高线的等高线。A AB B1 12 21:0.50124ma3b0a3b0点点A A距距0 0等高线的水平距离：等高线的水平距离：LAB= = HABi=(3-0):1/0.5=1.5mc012R1.5C CaR1.5空间

16、分析空间分析坡度线坡度线作图作图0Aa3Bb0co3.3.平面交线的标高投影平面交线的标高投影用三面共点法求两平面的交线用三面共点法求两平面的交线P PQ QMNH12H1012121010相邻两坡面的交线称为相邻两坡面的交线称为坡面交线坡面交线。两坡面的交线为。两坡面的交线为直线直线。坡面与地面的交线称为坡面与地面的交线称为坡边线坡边线。坡边线分为开挖坡边线（简称坡边线分为开挖坡边线（简称开挖线开挖线）和填筑坡边线（简）和填筑坡边线（简称称坡脚线坡脚线）。）。两平面上两平面上相同高程等高相同高程等高线的两个交点线的两个交点的连线，的连线，就是两平面的交线。就是两平面的交线。3.3.平面交线的

17、标高投影平面交线的标高投影* *例：例：在高程为在高程为5m5m的地面上挖一基坑，坑底高程为的地面上挖一基坑，坑底高程为1m1m，坑，坑底的形状、大小以及各坡面坡度，如图所示。求作底的形状、大小以及各坡面坡度，如图所示。求作开挖开挖线线和和坡面交线坡面交线，并在坡面上画出，并在坡面上画出示坡线示坡线。1.001.001:21:11:1.51:1.55.0002468m作图作图解解: :（1 1）作开挖线）作开挖线 地面高程为地面高程为5m5m，故开挖线就是高程，故开挖线就是高程为为5m5m的等高线，它们与坑底相应的边线平行。其水平距离的等高线，它们与坑底相应的边线平行。其水平距离 L1=H/i

18、=(5-1)L1=H/i=(5-1)1/1=4m 1/1=4m L1同理，同理，L2=L2=（5-15-1）1/1.5=6m, L3=(5-1)1/1.5=6m, L3=(5-1)1/2=8m1/2=8m。L2L2L3（2 2）作坡面交线）作坡面交线 （3 3）画示坡线）画示坡线 为了增加图形的为了增加图形的明显性明显性，在坡面上，在坡面上高高的一侧，按垂直于坡面上的等高线方向画出的一侧，按垂直于坡面上的等高线方向画出长短相间，等长短相间，等距的距的、用、用细实线细实线表示的示坡线。表示的示坡线。开挖线开挖线坡面交线坡面交线例：例：已知大堤与小堤相交，堤顶面标高分别为已知大堤与小堤相交，堤顶面

19、标高分别为3m3m和和2m2m，地面标高为地面标高为0 0。各坡面的坡度如图所示。求作相交两堤的。各坡面的坡度如图所示。求作相交两堤的标高投影图。标高投影图。024m1:11:11:11:11:0.70.003.002.003.002.00 解：解：（1 1）求坡脚线）求坡脚线 坡顶线到坡脚线的水平距离坡顶线到坡脚线的水平距离L=H/i=3L=H/i=31/1=3m1/1=3m同理：作出小堤的坡脚线。同理：作出小堤的坡脚线。（2 2）坡面交线）坡面交线（3 3）画出示坡线）画出示坡线作图作图1m2m1.4m用水平投影图加注高程数值来表示空间物体用水平投影图加注高程数值来表示空间物体的方法，称为

20、的方法，称为标高投影法标高投影法。点和直线的标高投影点和直线的标高投影平面的标高投影平面的标高投影平面交线的标高投影平面交线的标高投影作图作图* *直线的坡度和平距直线的坡度和平距小小 结结点和直线的标高投影表示法点和直线的标高投影表示法平面上的等高线和坡度线平面上的等高线和坡度线平面的标高投影表示法平面的标高投影表示法作作 业业习题集：习题集： P21P21( (2,52,5) )11-3 11-3 曲面的标高投影曲面的标高投影* * 在标高投影中，用一系列水平面来截曲面，画出这些在标高投影中，用一系列水平面来截曲面，画出这些截交线的标高投影，就是曲面的标高投影。截交线的标高投影，就是曲面的

21、标高投影。0 01 12 23 34 40 01 12 23 34 41.1.圆锥面的标高投影（正圆锥面）圆锥面的标高投影（正圆锥面）正面投影正面投影标高投影标高投影4 43 32 21 10 00 01 12 23 34 4正圆锥面上的等高线都是正圆锥面上的等高线都是同同心圆心圆，高差相等时，其水平距，高差相等时，其水平距离也相等。离也相等。无论正立或倒立，正圆锥面无论正立或倒立，正圆锥面上的素线都与正圆锥面上的上的素线都与正圆锥面上的等高线圆的切线相垂直，故等高线圆的切线相垂直，故素线就是正圆锥面的坡度线素线就是正圆锥面的坡度线。圆锥面标高投影特性：圆锥面标高投影特性：0 01 12 23

22、 34 40 01 12 23 34 4正圆锥面正圆锥面坡度均相等坡度均相等。456789101112130 1 2 3 4mr14例：例：已知圆形平台高程为已知圆形平台高程为8m8m，建在一斜坡平面上，斜坡平，建在一斜坡平面上，斜坡平面用平面上的一组等高线表示。平台填筑坡面的坡度面用平面上的一组等高线表示。平台填筑坡面的坡度i=1:0.7i=1:0.7，开挖坡面坡度，开挖坡面坡度i=1:0.5i=1:0.5，作填筑坡面、开挖坡面，作填筑坡面、开挖坡面与已知斜坡平面的与已知斜坡平面的交线交线。8m分析：分析：以等高线以等高线8 8为界限为界限左边为左边为填筑区填筑区，右边为，右边为开挖区开挖区

23、左边为左边为填筑区填筑区，右边为，右边为开挖区开挖区等高线与平台圆周的交点为填等高线与平台圆周的交点为填挖分界点。挖分界点。填筑坡面为填筑坡面为正圆锥面正圆锥面，开挖坡，开挖坡面为面为倒圆锥面倒圆锥面，两圆锥锥顶重，两圆锥锥顶重合于合于c c解：解：根据等高线为整数高程，高差根据等高线为整数高程，高差均为均为1 1。开挖区：开挖区：平距平距 l1 1 =1/1:0.5=0.5m =1/1:0.5=0.5m填筑区：填筑区：平距平距 l2 2 =1/1:0.7=0.7m =1/1:0.7=0.7m作图：作图：开挖区：开挖区：以以c为圆心为圆心, 以以r+nl1为半径，为半径，画圆弧。画圆弧。填筑区

24、：填筑区：以以c c为圆心为圆心, , 以以r+nl2为半为半径，画圆弧。径，画圆弧。c c开挖线开挖线示坡线：应从高程大的边线画起，示坡线：应从高程大的边线画起，指向锥心。指向锥心。坡脚线坡脚线以以C C为圆心，为圆心，r+0.5r+0.5为半径为半径0 1 2 3 4mr例：例：在高程为在高程为4m4m的地面上，修筑一高程为的地面上，修筑一高程为8m8m的平台，台顶的平台，台顶形状及边坡的坡度如图所示，求其形状及边坡的坡度如图所示，求其坡脚线坡脚线和和坡面交线坡面交线。1:11:11:0.88.004.00r8.004.007654坡脚线坡脚线坡面交线坡面交线空间分析空间分析解：解：求平距

25、求平距平坡面平距平坡面平距： l1 1 =1/1:1=1m =1/1:1=1m曲坡面平距曲坡面平距： l2 2 =1/1:0.8=0.8m =1/1:0.8=0.8m作图：作图：间距为间距为1m1m以以C C为圆心，为圆心，r+0.8mr+0.8m为半径为半径2.2.同坡曲面的标高投影同坡曲面的标高投影图图2 2 如图，两侧边坡曲面上任何地如图，两侧边坡曲面上任何地方的坡度都相同，这种曲面称为方的坡度都相同，这种曲面称为同同坡曲面坡曲面。图图1 1 同坡曲面也可理解为：同坡曲面也可理解为：锥轴锥轴始始终终垂直垂直于于水平面水平面，圆锥面坡度不变，圆锥面坡度不变情况下，而情况下，而锥顶锥顶沿着沿

26、着空间曲线空间曲线运动运动的正圆锥的正圆锥包络面包络面。图图2 23.3.同坡曲面上的等高线为等距曲线，当同坡曲面上的等高线为等距曲线，当高差相高差相等等时，它们的时，它们的水平间距也相等水平间距也相等。同坡曲面的特性：同坡曲面的特性：1.1.同坡曲面为同坡曲面为直纹面直纹面。同坡曲面与圆锥面的同坡曲面与圆锥面的切切线线为同坡曲面的为同坡曲面的坡度线坡度线。2.2.同坡曲面上的同坡曲面上的等高线等高线与各正圆锥面上的与各正圆锥面上的等高等高线线一定相切。其一定相切。其切点切点在同坡曲面与各正圆锥面在同坡曲面与各正圆锥面的的切线切线上。上。l0=5例：例：已知同坡曲面上一条空间曲线的标高投影，曲

27、线上已知同坡曲面上一条空间曲线的标高投影，曲线上点点A A的标高投影的标高投影a6，曲线的坡度，曲线的坡度i=1:5i=1:5。又知同坡曲面的。又知同坡曲面的坡度坡度1:2.51:2.5和坡面的倾斜方向。作同坡曲面整数高程的和坡面的倾斜方向。作同坡曲面整数高程的等高线。等高线。1:51:2.50 1324 5ma6解：解： 1 1：计算曲线上高差为计算曲线上高差为1的高程点平距的高程点平距l0=1:1/5=5ma6作图区作图区b5c4d32.2.计算同坡曲面整数等高线之间的平距计算同坡曲面整数等高线之间的平距l0=1:1/2.5=2.5mr=2.5m3456例：例：如图在高程为如图在高程为0 0的地面上修建一弯道，路面自的地面上修建一弯道，路面自0 0逐渐逐渐向上升为向上升为4m4m，与干道相接。作出干道和弯道坡面的坡脚，与干道相接。作出干道和弯道坡面的坡脚线以及干道和弯道的坡面交线。线以及干道和弯道的坡面交线。00.004.001:21:21:21:20 2 4 6 8 10m0101323210123半径半径r=2r=2半径半径r=4r=423坡脚线坡脚线坡面交线坡面交线间距间距2m2m在曲导线上定出整数标高点在曲导线上定出整数标高点（即将曲导线平均分为（即将曲导线平均分为4 4段）段）解：解： 1.先作