绝对值不等式的性质及其解法

1、a1绝对值不等式性质及解法a2考纲要求考纲要求a3二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式 O=a(a0)A(a)x|a|xA(a)B(b)|a-b|任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。 实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：=-a(a0、ab0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|a5（2）当ab0,b0，如下图可得：|a+b|a|+|b|Obaxa+b如果a0，如下图可得：|a+b|00，|x-a|,|y-b|x-a|,|y-b|，求证：，求证： |2x+3y-2a-3b|5. |2x+3y-2a-3b

2、|5.证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2 +3=5.所以所以 |2x+3y-2a-3b|5.|2x+3y-2a-3b|0，则 |x|a的解集是(-,-a)(a,+)Oa-axO-aax|x|aa17（1）|ax+b|c和|ax+b|c(c0)型不等式的解法：换元法：令t=ax+b, 转化为|t|c和|t|c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。分段讨论法：00|(0)()axbaxbaxbc caxbcaxbc或00|(0)()axbaxbaxbc caxbc

3、axbc或a18例3 解不等式|3x-1|2例4 解不等式|2-3x|7补充例题：解不等式211(1)(3| 1)| 342(2)34|.xxxxa19|ax+b|c(c0)型不等式比较：类型化去绝对值后集合上解的意义区别|ax+b|c-cax+b-c x|ax+bcax+bcx|ax+bc, 并 课堂练习：P20第6题a20型型不不等等式式的的解解法法和和）（cbxaxcbxax 2a21521 5 xx解不等式解不等式例例 ，。A，BA；BA，BA，BBAB，BB，；BAAA，AA。，A，A，B，：2355511231211111111111式式的的解解集集是是故故原原不不等等的的距距离离

4、之之和和都都大大于于的的任任何何点点到到点点的的右右边边的的左左边边或或点点点点的的距距离离之之和和都都小小于于之之间间的的任任何何点点到到点点与与从从数数轴轴上上可可以以看看到到点点这这时时也也有有右右移移动动一一个个单单位位到到点点向向将将点点同同理理这这时时有有到到点点个个单单位位向向左左移移动动将将点点数数都都不不是是原原不不等等式式的的解解上上的的因因此此区区间间两两点点的的距距离离是是那那么么对对应应的的点点分分别别是是设设数数轴轴上上与与解解法法x12-2-3ABA1B1a22521 5 xx解不等式解不等式例例 ，xxxx，xxxxxx，x：23 , 2 , 2, 5)2()1

5、( ,1 , 53, 5)2()1( ,123, , 3, 5)2()1( , 22的解集为的解集为综上所述可知原不等式综上所述可知原不等式此时不等式的解集为此时不等式的解集为解得解得原不等式可以化为原不等式可以化为时时当当此时不等式的解集为此时不等式的解集为矛盾矛盾即即原不等式可以化为原不等式可以化为时时当当此时不等式的解集为此时不等式的解集为解得解得原不等式可以化为原不等式可以化为时时当当解法解法 a23521 5 xx解不等式解不等式例例 , 23,1x , 4-2x1x2- 2,-2x , 6252105213解集为解集为由图象可知原不等式的由图象可知原不等式的作出函数图象作出函数图象

6、即即构造函数构造函数将原不等式转化为将原不等式转化为解法解法，xy，xxyxx：yxO-32-2a24型型不不等等式式的的解解法法和和）（cbxaxcbxax 2利用绝对值不等式的几何意义利用绝对值不等式的几何意义零点分区间法零点分区间法构造函数法构造函数法作业：作业：P20第第7题、第题、第8题题(1)(3)练习：练习：P20第第8题题(2)432)2.(8 xx解不等式解不等式a25补充练习：解不等式：（1）1|2x+1|3.（2）|x-1|-4|x+3.答案：（1）x|0 x1或-2x-1 （2）x|-5x-1或3x7 （3）1 |22x xx 或a26作业作业6431)1(720 xP

7、解解不不等等式式题题第第第第.32, 135,3103213531032310351 6436143143643143: 故原不等式的解集为故原不等式的解集为或或解得解得或或或或即即等式组等式组原不等式等价于下列不原不等式等价于下列不解解xxxxxxxxxxa278.解不等式解不等式:.,).,24322,23,4)3()2(,2).2,3(43223,45,4)3()2(,23.3,(4323,25,4)3()2(,3:432)2(Rxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原原不不等等式式的的解解集集是是综综上上所所述述的的解解集集是是不不等等式式组组即即原原不不等等式式可可化化为为时时当当的的解解集集为为所所以以不不等等式式组组显显然然成成立立即即原原不不等等式式可可化化为为时时当当的的解解集集是是即即不不等等式式组组解解得得原原不不等等式式可可化化为为时时当当解解 a28.25,21,.25,22212,25,221,2).2, 1(22121,21,2)2()1(,21.1 ,212211,21,2)2()1(,1:221)3( 原原不不等等式式的的解解集集是是综综上上所所述述的的解解集集是是所所以以不不等等式式组组即即原原不不等等式式